第15讲 正弦定理和余弦定理（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·知识梳理手册

第15讲　正弦定理和余弦定理 1.正弦定理 (1)文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. (2)符号语言：在△ABC中，若角A，B及C所对边的边长分别为a，b及c，则有＝ ＝. 2.正弦定理的推广及常用变形公式 在△ABC中，若角A，B及C所对边的边长分别为a，b及c，其外接圆半径为R，则 (1)＝＝＝2R； (2)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA. (3)sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c； (4)＝＝ ＝ ＝＝ ＝＝2R； (5)a＝2R sinA，b＝2R sinB，c＝2R sinC(可实现边到角的转化)； (6)sinA＝，sinB＝，sinC＝(可实现角到边的转化). 3.余弦定理 (1)文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. (2)符号语言：在△ABC中，内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，则： a2＝ b2＋c2－2bc cosA ； b2＝ a2＋c2－2ac cosB ； c2＝ a2＋b2－2ab cosC . 4.余弦定理的推论 cosA＝； cosB＝； cosC＝. 5.三角形常用面积公式 (1)S＝×底×高； (2)S＝(其中，a，b，c是三角形ABC的各边长，R是三角形ABC的外接圆半径). (3)S＝(a＋b＋c)r(其中，a，b，c是三角形ABC的各边长，r是三角形ABC的内切圆半径)； (4)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA； 6.常用结论 在三角形中的三角函数关系 (1)sin(A＋B)＝sinC； (2)cos(A＋B)＝－cosC； (3)tan(A＋B)＝－tanC； (4)sin＝cos； (5)cos＝sin； (6)sinA＝sinB⇔A＝B； (7)sin2A＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝. 7.解三角形的实际应用 1.测量中的术语 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1). (2)方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2). (3)方向角 相对于某一正方向的水平角. ①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图3)； ②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向； ③南偏西等其他方向角类似. (4)坡角与坡度 ①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角). ②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡度).坡度又称为坡比. 2.解三角形实际应用题的步骤 典型例题1　 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝，A＝30°，B为锐角，那么A∶B∶C为(　　) A.1∶1∶3 B.1∶2∶3 C.1∶3∶2 D.1∶4∶1 【答案】B 【解析】方法一：由正弦定理＝，得sinB＝＝.∵B为锐角，∴B＝60°，则C＝90°，故A∶B∶C＝1∶2∶3，选B. 方法二：由a2＝b2＋c2－2bccosA，得c2－3c＋2＝0，解得c＝1或c＝2.当c＝1时，△ABC为等腰三角形，B＝120°，与已知矛盾，当C＝2时，a<b<c，则A<B<C，排除选项A，C，D，故选B. 及时巩固 1 在△ABC中，已知BC＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积等于(　　) A.9 B.18 C.9 D.18 【答案】C 【解析】根据正弦定理得＝，∴AC＝＝6， ∵C＝180°－B－A＝30°，∴S△ABC＝×CA×CB×sinC＝9.故选C. 典型例题2　 在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 【答案】A 【解析】　(1)方法一：∵bcosC＋ccosB＝b·＋c·＝＝a，∴asinA＝a，即sinA＝1，故A＝，因此△ABC是直角三角形． 方法二：∵bcosC＋ccosB＝asinA， ∴sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A， 即sin(B＋C)＝sin2A，∴sinA＝sin2A， 故sinA＝1，即A＝，因此△ABC是直角三角形． 及时巩固 2 在△ABC中，已知sinC＝2sin(B＋C)cosB，那么△ABC一定是(　　) A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 【答案】B 【解析】∵sinC＝2sin(B＋C)cosB，sin(B＋C)＝sinA， ∴sinC＝2sinAcosB， ∴由正余弦定理得c＝2a·，化简得a2＝b2， ∴a＝b， ∴△ABC为等腰三角形．故选B. 典型例题3　 △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosC＝. (1)求A的大小； (2)若△ABC的面积为，求a的最小值. 　【答案】(1)由正弦定理及cosC＝知，cosC＝， ∴2sinAcosC＋sinC＝2sinB＝2sin(A＋C)＝2sinAcosC＋2cosAsinC， ∴sinC＝2cosAsinC， ∵sinC≠0，∴cosA＝， ∵A∈(0，π)，∴A＝. (2)∵△ABC的面积为， ∴S＝bcsinA，即＝bc，∴bc＝4， 由余弦定理知，a2＝b2＋c2－2bc·cosA＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc＝4， ∴a≥2，当且仅当b＝c＝2时，等号成立， 故a的最小值为2. 及时巩固 3 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，sin2A＝sin2B＋sin Bsin C. (1)若D是BC上的点，且AD平分∠A，AD＝2，c＝6，求C； (2)若cos(B－A)＝，c＝，求△ABC的面积. 【答案】(1)因为sin2A＝sin2B＋sin Bsin C，所以a2＝b2＋bc. 又因为a2＝b2＋c2－2bccos A，所以b2＋c2－2bccos A＝b2＋bc，即b＝c－2bcos A， 所以sin B＝sin C－2sin Bcos A，因为sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)， 所以sin B＝sin Acos B＋cos Asin B－2sin Bcos A，sin B＝sin Acos B－sin Bcos A， 则sin B＝sin(A－B)，所以A＝2B，或π－B＝A－B(舍)，所以∠BAD＝∠B，BD＝AD＝2， 所以cos B＝＝.因为A，B，C为三角形ABC的内角，所以B＝，A＝，故C＝. (2)因为A＝2B，所以cos B＝cos(A－B)＝cos(B－A)＝，B∈，则sin B＝， 所以sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B＝，cos A＝cos 2B＝1－2sin2B＝. 所以sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝. 因为＝，所以a＝＝3，所以△ABC的面积为×3××＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$