第14讲 平面向量的数量积（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·知识梳理手册

第14讲　平面向量的数量积 知识点一：平面向量数量积的有关概念 1.向量的夹角 (1)已知两个非零向量a和b，如图所示，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫作向量a与b的夹角，记作<a，b>. (2)范围：夹角θ的范围是 [0，π] . 当θ＝0时，两向量a，b同向； 当θ＝时，两向量a，b相互垂直，记作a⊥b； 当θ＝π时，两向量a，b反向. 2.数量积的定义 已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角，记作θ＝<a，b>. 规定：零向量与任一向量的数量积为零.记作0·a＝0. 3.向量的投影向量 (1)定义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. (2)投影向量计算公式 当θ为锐角(如图1)时，与e方向相同，λ＝||＝|a|cosθ，所以＝||e＝|a|cosθe； 当θ为直角(如图2)时，λ＝0，所以＝0＝|a|cose； 当θ为钝角(如图3)时，与e方向相反，所以λ＝－||＝－|a|cos∠MOM1＝－|a|cos(π－θ)＝|a|cosθ，即＝|a|cosθe. 当θ＝0时，λ＝|a|，所以＝|a|e＝|a|cos0e； 当θ＝π时，λ＝－|a|，所以＝－|a|e＝|a|cosπe. 综上可知，对于任意的θ∈[0，π]，都有＝ |a|cosθe . 知识点二：平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a和b的夹角： 1.数量积a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2. 2.模：|a|＝＝. 3.夹角：cosθ＝＝ . 4.非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 5.三角不等式：|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔x1x2＋y1y2≤·. 知识点三：平面向量数量积的运算 1.a·b＝b·a. 2.λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb). 3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 知识点四：极化恒等式 1.平行四边形形式：若在平行四边形ABCD中，则·＝ (2－2) . 2.三角形形式：在△ABC中，M为BC的中点，所以·＝2－2＝2－2. 5.常用结论 1.(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. 2.(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. 3.(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 典型例题1　 已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 【答案】C 【解析】∵|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4b， 又∵|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3， ∴9＝1－4a·b＋4×3＝13－4a·b， ∴a·b＝1，故选C. 及时巩固 1 已知向量a与b的夹角为60°，且|a|＝2，|a－2b|＝2，则|b|＝(　　) A. B.1 C.2 D.4 【答案】C 【解析】向量a，b夹角为60°，且|a|＝2，|a－2b|＝2， ∴(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝22－4×2×2|b|×cos60°＋4|b|2＝12， 即|b|2－|b|－2＝0， 解得|b|＝2或|b|＝－1(舍)， ∴|b|＝2，故选C. 典型例题2　 已知＝(2,3)，＝(3，t)，＝1，则·＝(　　) A.－3 B.－2 C.2 D.3 【答案】C 【解析】∵＝(2,3)，＝(3，t)，∴＝－＝(1，t－3)，∴||＝＝1，解得t＝3，即＝(1,0)，则·＝(2,3)·(1,0)＝2×1＋3×0＝2.故选C. 及时巩固 2 (多选)已知向量a＝(2,1)，b＝(－3,1)，则下列说法正确的是(　　) A.∥a B.向量a在向量b上的投影向量为－b C.a与a－b的夹角的余弦值为 D.若c＝，－，则a⊥c 【答案】BD 【解析】a＋b＝(－1,2)，∵－1×1≠2×2，∴a＋b与a不平行，故A错误； 向量a在向量b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉＝·＝·b＝－b，故B正确； a－b＝(5,0)，∴a与a－b的夹角的余弦值cos〈a，a－b〉＝＝＝， 故C错误； ∵2×＋1－＝0，∴a·c＝0， ∴a⊥c，故D正确． 典型例题3　 如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，M是线段AC上一动点，若以M为圆心，1为半径的圆与线段AC交于P，Q两点，则·的最小值为(　　) A.1　　　 B.2　　　 C.3　　　 D.4 【答案】B 【解析】·＝||2－||2＝||2－1≥3－1＝2. 及时巩固 3 如图放置边长为1的正方形ABCD，顶点A，D分别在x轴，y轴正半轴上(含原点)滑动，则·的最大值为 . 【答案】2 【解析】如图，BC，AD中点E，F， ·＝＝(2OE)2－22－， OE＜OF＋EF＝1＋＝⇒·≤－＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$