第13讲 平面向量的坐标表示及坐标运算（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·知识梳理手册

第13讲　平面向量的坐标表示及坐标运算 知识点一：平面向量的坐标表示及坐标运算 1.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标中，分别取与x轴，y轴正半轴方向相同的两个 单位向量 i，j作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a＝(x，y). 2.向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是 一一对应 的，即有向量(x，y)―→向量―→点A(x，y). 3.设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的 和与差 . 若a＝(x，y)，λ为实数，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标. 4.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝－＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的 终点 坐标减去 始点 坐标. 知识点二：平面向量的直角坐标运算 1.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. (2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1). a·b＝x1x2＋y1y2，|a|＝. a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 【方法技巧与总结】 1.向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称之为多边形法则.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量.即＋＋…＋An－1An＝. 2.||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 3.特别地：||a|－|b||≤|a±b|或|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b至少有一个为0或者两向量共线时，向量不等式的等号成立. 4.减法公式：－＝，常用于向量式的化简. 5.A，P，B三点共线⇔＝(1－t)＋t(t∈R)，这是直线的向量式方程. 典型例题1　 已知向量a＝(0,2)，b＝(－1，3)，c＝(－2,5)，且c＝xa＋2b，则x的值为(　　) A.－ B. C.－2 D.2 【答案】A 【解析】∵c＝xa＋2b，∴(－2,5)＝x(0,2)＋2(－1，3)＝ (－2,2x＋6)，∴5＝2x＋6，解得x＝－. 故选A. 及时巩固 1 已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在第二象限内，＝2，且∠AOC＝，设＝λ＋，则λ的值为(　　) A.1 B.－ C. D. 【答案】D 【解析】由已知设C(x，y)， 则有y＝2sin＝2，x＝－2cos＝－2，即C为(－2,2)，又＝λ＋， 由向量相等的充要条件得－2＝－3λ，即λ＝， 故选D. 典型例题2　 已知向量a，b满足a＝，＝1，＝2，则a在b方向上的投影向量为(　　) A.b B.b C.－b D.－b 【答案】D 【解析】推导出|a|＝2，|a＋b|＝＝＝2⇒cos〈a，b〉＝－， ∴则a在b方向上的投影向量：|a|cos〈a，b〉＝－b.故选D. 及时巩固 2 已知a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　) A.－6 B.－5 C.5 D.6 【答案】C 【解析】由已知有c＝(3＋t,4)，cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，故＝，解得t＝5. 典型例题3　 (多选)已知O为坐标原点，点P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，－sinβ)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1,0)，则(　　) A.＝ B.＝ C.·3＝· D.·＝· 【答案】AC 【解析】＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，－sinβ)，所以 ||＝＝1，|| ＝＝1，故||＝||，A正确； ＝(cosα－1，sinα)，＝(cosβ－1，－sinβ)，所以，||＝ ＝＝ ＝＝2，同理 ||＝＝2sin，故||，||不一定相等，错误； 由题意得OA·＝1×cos(α＋β)＋0×sin(α＋β)＝cos(α＋β)， ·＝cosα·cosβ＋sinα·(－sinβ)＝cos(α＋β)，C正确； 由题意得·＝1×cosα＋0×sinα＝cosα， ·＝cosβ×cos(α＋β)＋(－sinβ)×sin(α＋β) ＝cos(β＋(α＋β))＝cos(α＋2β)，故一般来说·≠·，故D错误．故选AC. 及时巩固 3 (多选)已知对任意平面向量＝(x，y)，把绕其起点A沿逆时针方向旋转θ角得到向量＝(xcosθ－ysinθ，xsinθ＋ycosθ)，叫作把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面内点A(1,2)，点B，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P1，逆时针旋转，后分别得到点P2，P3，则(　　) A.·＝0 B.＝ C.·＝· D.点P1的坐标为(0，－1) 【答案】ABD 学科网（北京）股份有限公司 $$