第12讲 平面向量的概念和线性运算（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·知识梳理手册

第12讲　平面向量的概念和线性运算 知识点一：平面向量的有关概念 (1)定义：既有 大小 又有 方向 的量叫作向量，向量的大小叫作向量的 长度 (或 模 ). (2)向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作||. (3)特殊向量 ①零向量：长度为0的向量，记作：0，其方向是任意的. ②单位向量：长度等于1个单位长度的向量. ③平行向量：方向 相同或相反 的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行. ④相等向量：长度相等且方向相同的向量. ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量. 知识点二：向量的线性运算和向量共线定理 (1)向量的线性运算(见下表) 运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 ①交换律 a＋b＝b＋a ②结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b 的和的运算 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a (λ＋μ)a＝λa＋μa λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点三：平面向量的基本定理和性质 1.共线向量基本定理 如果a＝λb(λ∈R)，则a∥b；反之，如果a∥b且b≠0，则一定存在唯一的实数λ，使a＝λb.(口诀：数乘即得平行，平行必有数乘) 2.平面向量基本定理 如果e1和e2是同一个平面内的两个 不共线 向量，那么对于该平面内的任一向量a，都存在唯一的一对实数λ1，λ2，使得a＝λ1e1＋λ2e2，我们把不共线向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底. 注意　由平面向量基本定理可知：只要向量e1与e2不共线，平面内的任一向量a都可以分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式，并且这样的分解是唯一的.λ1e1＋λ2e2叫作e1，e2的一个线性组合.平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础. 3.三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数λ，μ，使＝λ＋μ，其中λ＋μ＝1，O为平面内一点.此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握. A，B，C三点共线 ⇔存在唯一的实数λ，使得＝λ ⇔存在唯一的实数λ，使得 ＝＋λ ⇔存在唯一的实数λ，使得 ＝(1－λ)＋λ ⇔存在λ＋μ＝1，使得 ＝λ＋μ. 典型例题1　 如图所示，方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【答案】D 【解析】在方格纸上作出＋，如图所示，则容易看出＋＝.故选D. 及时巩固 1 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　) A.－ B.－ C.＋ D.＋ 【答案】A 【解析】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，∴＝－＝－ ＝－×(＋)＝－，故选A. 典型例题2　 如图，设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△ABC与△AOC的面积之比为 . 【答案】2∶1 【解析】取AC的中点D，连接OD，则＋＝2，所以＝－，所以O是AC边上的中线BD的中点，所以S△ABC＝2S△AOC，所以△ABC与△AOC的面积之比为2∶1. 及时巩固 2 (多选)设M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　) A.若＝＋，则M是边BC的中点 B.若＝2－，则点M在边BC的延长线上 C.若＝－－，则点M是△ABC的重心 D.若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的 【答案】ACD 【解析】若＝＋，则M是边BC的中点，故A正确； 若＝2－，即有－＝－，即＝，则点M在边CB的延长线上，故B错误； 若＝－－，即＋＋＝，则点M是△ABC的重心，故C正确； 若＝x＋y，且x＋y＝，可得2＝2x＋2y，设＝2， 由图可得M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确．故选ACD. 典型例题3　 已知e1，e2是平面内的一组基底，＝3e1＋2e2，＝4e1＋ke2，＝5e1－4e2，若A，B，C三点共线，则实数k的值为(　　) A.－1　　　 B.0　　　 C.1　　　 D.2 【答案】A 【解析】∵＝3e1＋2e2，＝4e1＋ke2，＝5e1－4e2， ∴＝－＝(4e1＋ke2)－(3e1＋2e2)＝e1＋(k－2)e2， ＝－＝(5e1－4e2)－(3e1＋2e2)＝2e1－6e2， 又∵A，B，C三点共线， ∴＝λ，即e1＋(k－2)e2＝λ(2e1－6e2)， ∴解得k＝－1，λ＝，故选A. 及时巩固 3 如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.若＝m，＝n，则(　　) A.m＋n是定值，定值为2 B.2m＋n是定值，定值为3 C.＋是定值，定值为2 D.＋是定值，定值为3 【答案】D 【解析】方法一：如图，过点C作CE平行于MN，交AB于点E.由＝n可得＝，∴＝＝，由BD＝DC可得＝，所以＝＝，∵＝m， ∴m＝， 整理可得＋＝3. 方法二：∵M，D，N三点共线，∴＝λ＋(1－λ). 又＝m，＝n，∴＝λm＋(1－λ)·n.又＝，∴－＝－，∴＝＋.比较系数知λm＝，(1－λ)n＝，∴＋＝3，故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $$