第11讲 三角恒等变换（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·知识梳理手册

第11讲　三角恒等变换 知识点一：两角和与差的正余弦与正切 1.sin(α±β)＝ sinαcosβ±cosαsinβ ； 2.cos(α±β)＝ cosαcosβ∓sinαsinβ ； 3.tan(α±β)＝ . 知识点二：二倍角公式 1.sin2α＝2sinαcosα； 2.cos2α＝cos2α－sin2α＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α ； 3.tan2α＝ . 知识点三：降次(幂)公式 sinαcosα＝ sin2α ；sin2α＝ ；cos2α＝ . 知识点四：辅助角公式 asinα＋bcosα＝ sin(α＋φ)其中sinφ＝，cosφ＝，tanφ＝. 【方法技巧与总结】 1.两角和与差正切公式变形 tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα tanβ). 2.降幂公式与升幂公式 sin2α＝；cos2α＝；sinαcosα＝sin2α； 1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α；1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2；1－sin2α＝(sinα－cosα)2. 3.其他常用变式 sin2α＝＝； cos2α＝＝； tan＝＝. 4.拆分角问题： (1)α＝2·；α＝(α＋β)－β； (2)α＝β－(β－α)； (3)α＝[(α＋β)＋(α－β)]； (4)β＝[(α＋β)－(α－β)]； (5)＋α＝－－α. 注意　把特殊的角也看成已知角，如α＝－. 典型例题1　 cos75°cos15°－sin255°·sin165°的值是(　　) A.－ B. C. D.0 【答案】B 及时巩固 1 tan255°＝(　　) A.－2－ B.－2＋ C.2－ D.2＋ 【答案】D 【解析】tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(45°＋30°) ＝＝＝2＋. 典型例题2　 已知α∈，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】3cos2α－8cosα＝5，得6cos2α－8cosα－8＝0，即3cos2α－4cosα－4＝0，解得cosα＝－或cosα＝2(舍去)，又∵α∈(0，π)，∴sinα＝＝，故选A. 及时巩固 2 已知tanθ＝2，则cos2θ＝ ，tan . 【答案】－　 【思路导引】利用二倍角余弦公式以及弦化切得cos2θ，根据两角差正切公式得tan. 【解析】cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝－，tan＝＝，故答案为：－；. 典型例题3　 已知函数f(x)＝sin＋cos. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的单调增区间. 【答案】(1)f(x)＝sinx＋cosx＋cosx＋sinx，得f(x)＝sinx＋cosx＝sin，所以最小正周期为2π. (2)可知－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ， 得－＋2kπ≤x≤＋2kπ， 故单调增区间为，k∈Z. 及时巩固 3 已知函数f(x)＝sinx·cosx＋cos2x＋. (1)当x∈时，求函数y＝f(x)的值域； (2)已知ω>0，函数g(x)＝f，若函数g(x)在区间上是增函数，求ω的最大值. 【答案】(1)f(x)＝sin2x＋＋＝sin＋2， ∵x∈，∴2x＋∈， ∴－≤sin≤1， ∴函数y＝f(x)的值域为. (2)g(x)＝f＝sin＋2， 当x∈，ωx＋∈， ∵g(x)在上是增函数，且ω＞0， ∴⊆，k∈Z， 即化简得 ∵ω＞0，∴－＜k＜，k∈Z，∴k＝0，解得ω≤1， 因此，ω的最大值为1. 学科网（北京）股份有限公司 $$