第10讲 三角函数的图象和性质（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·知识梳理手册

第10讲　三角函数的图象和性质 知识点一：正弦函数和余弦函数的图象与性质 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是： (0,0)，，(π，0)，，(2π，0) . (2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是： (0,1)，(π，－1)，，(2π，1) . 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(见下表，表中k∈Z) 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称 中心 (kπ，0) 对称轴 方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 注：正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正(余)弦曲线相邻两个对称中心的距离是；正(余)弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离是. 知识点二：y＝Asin(wx＋φ)与y＝ Acos(wx＋φ)(A>0，w>0)的图象与性质 1.最小正周期：T＝ . 2.定义域与值域：y＝Asin(wx＋φ)，y＝Acos(wx＋φ)的定义域为R，值域为 [－A，A] . 3.最值 (1)对于y＝Asin(wx＋φ)， (2)对于y＝Acos(wx＋φ)， 4.对称轴与对称中心 (1)对于y＝Asin(wx＋φ)， (2)对于y＝Acos(wx＋φ)， 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大(小)值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与x轴交点的位置. 5.单调性 (1)对于y＝Asin(wx＋φ)， (2)对于y＝Acos(wx＋φ)， 6.平移与伸缩 由函数y＝sinx的图象变换为函数y＝2sin＋3的图象的步骤： 方法一：x→x＋→2x＋.先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”(相—期—幅)三角函数图象，使之变形. y＝sinx的图象 y＝sin的图象 y＝sin的图象 y＝2sin的图象 y＝2sin＋3 方法二：.先周期变换，后相位变换，再振幅变换. y＝sinx的图象 y＝sin2x的图象 y＝sin2＝sin的图象 y＝2sin的图象y＝2sin＋3 注：在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩(先相位后周期，即“想欺负”)，但先伸缩后平移(先周期后相位)在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x而言的，即图象变换要看“变量x”发生多大变化，而不是“角(wx＋φ)”变化多少. 典型例题1　 (多选)设函数f(x)＝cos，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)的一个周期为－2π B.y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C.f(x＋π)的一个零点为x＝ D.f(x)在单调递减 【答案】ABC 【解析】∵f(x)＝cos的周期为2kπ，k∈Z， ∴A正确；∵f＝cos3π＝－1，∴B正确； 设g(x)＝f(x＋π)＝cos，而g＝cos＝0，C正确；f(x)在单调递减，在单调递增，D错误．故选ABC. 及时巩固 1 (多选)关于函数y＝tan，下列说法正确的是(　　) A.是奇函数 B.在区间上单调递增 C.为其图象的一个对称中心 D.最小正周期为π 【答案】BC 【解析】函数y＝tan2x－是非奇非偶函数，A错；在区间上单调递增，B对；最小正周期为，D错；由2x－＝，k∈Z得x＝＋，当k＝0时，x＝，所以它的图象关于中心对称，C对．故选BC. 典型例题2　 由y＝2sin的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数解析式为(　　) A.y＝2sin B.y＝2sin C.y＝2sin D.y＝2sin 【答案】A 【解析】由y＝2sin的图象向左平移个单位长度，可得y＝2sin＝2sin＝2sin的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin的图象，故所得图象对应的函数解析式为y＝2sin，故选A. 及时巩固 2 为得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin2x的图象(　　) A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 【答案】B 【解析】∵y＝sin2x＝cos＝cos，y＝cos＝cos，∴将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度可得到函数y＝cos的图象．故选B. 典型例题3　 已知函数f(x)＝cosωx－sinωx(ω>0)在上是单调函数，则ω的最大值是(　　) A.2 B.4 C.8 D.10 【答案】B 及时巩固 3 设函数f(x)＝cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为 . 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $$