第9讲 三角函数的概念和诱导公式（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·知识梳理手册

第9讲　三角函数的概念和诱导公式 知识点一：三角函数基本概念 1.角的概念 (1)任意角 ①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置 旋转 到另一个位置所成的图形. ②分类：角按旋转方向分为 正角 、 负角 和 零角 . (2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是 {β|β＝k·360°＋α，k∈Z} . (3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在 坐标轴 上，就认为这个角不属于任何一个象限. (4)象限角的集合表示方法： 2.弧度制 (1)定义：把长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad，1°＝ rad， 1rad＝ °. (3)扇形的弧长公式：l＝ |α|·r .扇形的面积公式：S＝lr＝ |α|·r2 . 3.任意角的三角函数 (1)定义：任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，则sinα＝ y ，cosα＝ x ，tanα＝ (x≠0). (2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，设点P到原点O的距离为r，则sinα＝ ，cosα＝ ，tanα＝(x≠0). 三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象 限符号 第二象 限符号 第三象 限符号 第四象 限符号 y＝sinα R ＋ ＋ － － y＝cosα R ＋ － － ＋ y＝tanα {α|α≠kπ＋ ，k∈Z} ＋ － ＋ － 【记忆口诀】三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 知识点二：同角三角函数基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝ 1 . (2)商数关系：＝ tanαa≠＋kπ，k∈Z . 知识点三：三角函数的诱导公式 诱导 公式一 sin(2kπ＋α)＝sinα cos(2kπ＋ α)＝cosα tan(2kπ＋α) ＝tanα 诱导 公式二 sin(π＋α)＝ －sinα cos(π＋α)＝ －cosα tan(π＋α)＝tanα 诱导 公式三 sin(－α)＝－sinα cos(－α)＝cosα tan(－α)＝－tanα 诱导 公式四 sin(π－α)＝sinα cos(π－α)＝ －cosα tan(π－α)＝tanα 诱导 公式五 sin(－α)＝cosα cos(－α)＝sinα / 诱导 公式六 sin(＋α)＝cosα cos(＋α)＝ －sinα / 诱导 公式七 sin－α＝ －cosα cos－α＝ －sinα / 诱导 公式八 sin＋α＝ －cosα cos＋α＝sinα / 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：(1)先将诱导三角函数式中的角统一写作n·±α.(2)无论角α有多大，一律视为锐角，判断n·±α所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负.(3)当n为奇数时，“奇变”，正变余，余变正；当n为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可. 【方法技巧与总结】 1.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化. 2.“sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα”方程思想知一求二. (sinα＋cosα)2＝sin2α＋cos2α＋2sinα·cosα＝1＋sin2α (sinα－cosα)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝1－sin2α (sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2 典型例题1　 (1)已知角θ的终边经过点P(x,3)(x<0)，且cosθ＝x，则x等于(　　) A.－1 B.－ C.－3 D.－ 【答案】A 【解析】cosθ＝＝x，x＜0，∴x＝－1. (2)已知扇形的周长为8 cm，则该扇形的面积S最大时，圆心角的大小为(　　) A.4弧度 B.3弧度 C.2弧度 D.1弧度 【答案】C 【解析】设扇形半径为r，弧长为l.∵扇形的周长为8 cm，∴2r＋l＝8，即l＝8－2r(0＜r＜4)， ∴S＝lr＝(8－2r)·r＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4，∴当半径r＝2 cm时，扇形的面积最大，为4 cm2， 此时，α＝＝＝2(rad)． 及时巩固 1 (1)若sinαtanα＜0，且<0，则角α是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【答案】C 【解析】由题，因为sinαtanα＜0，则α的终边落在第二象限或第三象限；因为＜0，则α的终边落在第三象限或第四象限．综上，α的终边落在第三象限． (2)中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图2，在半圆O(半径为20 cm)中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1，扇形OAB的面积为S2，当＝时，扇形的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径为 cm. 【答案】10(－1) 【解析】设∠AOB＝θ，半圆O的半径为r，扇形OCD的半径为r1， ∵＝，所以＝，即＝， 所以＝＝＝2，所以＝，又r＝20 cm，所以r1＝10(－1)cm， 故答案为：10(－1)． 典型例题2　 (多选)给出下列命题中，正确的是(　　) A.存在实数α，使sinαcosα＝1 B.存在实数α，使sinα＋cosα＝ C.函数y＝sin是偶函数 D.若α，β是第一象限的角，且α>β，则sinα>sinβ 【答案】BC 【解析】对于A，由sinαcosα＝1，得sin2α＝2，矛盾，错误； 对于B，由sinα＋cosα＝，得sin＝， 当α＝时成立，正确； 对于C，y＝sin＝－cosx，显然是偶函数，正确； 对于D，取α＝π，β＝，α，β是第一象限的角， 且α＞β，但sinα＜sinβ，错误．故选BC. 及时巩固 2 (1)已知sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值为(　　) A.－ B. C.－ D. 【答案】B 【解析】因为<α<，所以cosα<0，sinα<0且|cosα|<|sinα|，所以cosα－sinα>0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，所以cosα－sinα＝.故选B. (2)已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是 . 【答案】－1. 【解析】sinα＋2cosα＝0⇒tanα＝－2， 2sinαcosα－cos2α＝＝ ＝－1. 典型例题3　 (1)化简：＝(　　) A.－1 B.1 C.2 D.3 【答案】A 【解析】 ＝＝＝－1. (2)若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是(　　) A.cos(A＋B)＝cosC B.sin(A＋B)＝－sinC C.cos＝sin D.sin＝－cos 【答案】C 【解析】∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，＝，＝，∴cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，cos＝cos＝sin，sin＝sin＝cos. 及时巩固 3 点A(sin2022°，cos2022°)位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【解析】2022°＝6×360°－138°，点A(sin 2022°，cos 2022°)位于第三象限． 学科网（北京）股份有限公司 $$