第8讲 函数的应用（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·知识梳理手册

第8讲　函数的应用 1.函数的零点：对于一般函数y＝f(x)，我们把使 f(x)＝0 的实数x叫作函数y＝f(x)的零点. 方程f(x)＝0有 实数解 ⇔函数y＝f(x)有 零点 ⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有 公共点 . 2.函数零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条 连续不断 的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内 至少 有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 3.二分法：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断且 f(a)·f(b)<0 ，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的 两个端点 逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法. 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： ①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证 f(a)·f(b)<0 . ②求区间(a，b)的中点c. ③计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (i)若 f(c)＝0 (此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (ii)若 f(a)·f(c)<0 (此时x0∈(a，c))，则令b＝c； (iii)若 f(c)·f(b)<0 (此时x0∈(c，b))，则令a＝c. ④判断是否达到精确度ε：若 |a－b|<ε ，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤②～④. 4.函数的应用 建立数学模型⇒解决数学模型⇒解释实际意义. 典型例题1　 方程logx＝2x－2014的实数根的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.不确定 【答案】B 【解析】令f(x)＝logx－2x＋2014(x＞0)，则 ∵f(x)＝logx－2x＋2014(x＞0)在(0，＋∞)上单调递减， 且f(1)＝2012＞0，f(11)＝log11－211＋2014＜0，即f(1)·f(11)＜0， ∴函数有一个零点，即方程有一个实数根，故选B. 及时巩固 1 设函数y＝x3与y＝x的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 【答案】A 【解析】令f(x)＝x3－x，∵y＝x3与y＝－x均为单调增函数，∴f(x)＝x3－x在R上单调递增；又f(1)＝1－＝＞0，f(0)＝0－1＝－1＜0，∴f(x)＝x3－x在(0,1)内存在零点， ∵函数y＝x3与y＝x的图象的交点为(x0，y0)，∴x0所在的区间是(0,1)，故选A. 典型例题2　 已知f(x)＝若g(x)＝f(x)－kx－2k有5个不同的零点，则k取值范围为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】作出函数y＝f(x)的图象，直线y＝k(x＋2)过定点(－2,0)，即y＝f(x)和y＝k(x＋2)图象有5个交点，由两者图象知，x＝5，k(x＋2)＜1且x＝6， k(x＋1)≥1时恰有5个交点． 则得k的范围是.故选C. 及时巩固 2 已知0＜a＜1，则函数y＝a|x|－|logax|的零点的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】函数y＝a|x|－|logax|(0＜a＜1)的零点的个数即方程a|x|＝|logax|(0＜a＜1)的根的个数，也就是函数f(x)＝a|x|(0＜a＜1)与g(x)＝|logax|(0＜a＜1)的图象的交点的个数． 画出函数f(x)＝a|x|(0＜a＜1)与g(x)＝|logax|(0＜a＜1)的图象，如图所示， 观察可得函数f(x)＝a|x|(0＜a＜1)与g(x)＝|logax|(0＜a＜1)的图象的交点的个数为2，从而得函数y＝a|x|－|logax|的零点的个数为2.故选B. 典型例题3　 截至2022年10月，杭州地铁运营线路共12条.杭州地铁经历了从无到有，从单线到多线，从点到面，从面到网，形成网格化运营，分担了公交客流，缓解了城市交通压力，激发出城市新活力.已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20，经市场调研测算，列车的载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时，列车为满载状态，载客量为600人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与10－t的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时的载客量为502人，记列车载客量为p(t). (1)求p(t)的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时的载客量； (2)若该线路每分钟净收益为Q(t)＝－60(单位：元)，则当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？请求出最大值. 【答案】(1)当10≤t≤20时，p(t)＝600.当2≤t＜10时，设p(t)＝600－k(10－t)2，p(3)＝502，∴k＝2， ∴p(t)＝，∴p(5)＝550，即发车时间间隔为5分钟时的载客量为550人． (2)当2≤t＜10时，Q(t)＝－60＝－4＋260≤116，当且仅当4t＝，即t＝时等号成立．当10≤t≤20时，Q(t)＝－60单调递减，∴当t＝10时，Q(t)取到最大67.6.∵67.6＜116∴当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大值为116元． 及时巩固 3 用打点滴的方式治疗病患时，血药浓度(血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度)随时间变化的函数符合c1(t)＝(1－2－kt)，其函数图象如图所示，其中V为中心室体积(一般成年人的中心室体积约为600)，m0为药物进入人体时的速率，k是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值.此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合c2(t)＝c·2－kt，其中c为停药时的人体血药浓度. (1)求出函数c1(t)的解析式. (2)一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？(结果保留小数点后一位，参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.48) 【答案】(1)由条件可知，V＝600，由图象可知点(4,8)，(8,12)在函数图象上，则两式相除，得＝⇔＝，解得k＝，m0＝2400，所以函数c1(t)＝16(t≥0)． (2)16≤15⇒1－2－≤，得2－≥＝2－4，解得0≤t≤16，所以从开始注射后，最迟隔16小时停止注射．∵k＝∴c2(t)＝c·2－t，由题意可知c＝15，∴c2(t)＝15·2－，当15·2－≥4时，得2－≥，即－≥log2⇒－≥2－log215⇒－≥2－，得－≥2－⇒－≥2－，解得0≤t≤7.7，所以为保证治疗效果，最多再隔7.7小时后开始进行第二次注射． 学科网（北京）股份有限公司 $$