第7讲 指数函数、对数函数和幂函数（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·知识梳理手册

第7讲　指数函数、对数函数和幂函数 1.指数及指数幂 (1)一般地，如果xn＝a，那么x叫作a的 n次方根 .其中n>1，n∈N*. (2)当n为奇数时，＝ a ；当n为偶数时，＝ |a| . (3)①a＝ (a>0，m，n∈N*，n>1)； ②a－＝＝ (a>0，m，n∈N*，n>1). (4)指数幂的运算性质 ①aras＝ ar＋s (a>0，r，s∈R)； ②(ar)s＝ ars (a>0，r，s∈R)； ③(ab)r＝ arbr (a>0，b>0，r∈R). 2.对数及对数运算 (1)一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫作以a为底N的对数，记作 x＝logaN ， 其中a叫作对数的 底数 ，N叫作 真数 .则当a>0且a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN. 负数和0没有对数.loga1＝ 0 ，logaa＝ 1 . (2)对数的换底公式及运算法则 ①换底公式：logaN＝(a>0，且a≠1，m>0，且m≠1，N>0). 对数恒等式：alogaN＝ N (a＞0，且a≠0，N＞0). 推论：logambn＝ logab (m，n∈R，m≠0). ②四则运算法则：若a>0，a≠1，M>0，N>0. (i)loga(MN)＝logaM＋logaN； (ii)loga＝ logaM－logaN ； (iii)logaMn＝nlogaM(n∈R). 3.指数函数及其性质 (1)一般地，函数 y＝ax (a>0，且a≠1)叫作指数函数，自变量为x，定义域为R. (2)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的性质. 0＜a＜1 a＞1 图 象 定 义 域 R 值 域 (0，＋∞) 性质 (1)过定点 (0,1) ，即x＝0时，y＝1 (2)减函数 (2)增函数 4.对数函数及其性质 (1)一般地，函数 y＝logax (a>0，且a≠1)叫作对数函数，自变量为x，定义域为(0，＋∞). (2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的性质： 0＜a＜1 a＞1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 (1)过定点 (1,0) ，即x＝1时，y＝0 (2)减函数 (2)增函数 5.幂函数：形如y＝ xα (α∈R)的函数为幂函数. (1)幂函数的图象 ①若α＝1，则y＝x，图象是一条直线； ②当α＝0时，y＝x0(x≠0)的图象是除点 (0,1) 外的直线y＝1； ③当0<α<1时，图象过(0,0)与(1,1)两点，在第一象限内是上凸的； ④当α>1时，在第一象限内，图象是下凹的. (2)单调性 ①当α>0时，函数y＝xα在区间(0，＋∞)上是 增 函数； ②当α<0时，函数y＝xα在区间(0，＋∞)上是 减 函数. 典型例题1　 化简或求值： (1)－ (2)(0.064) －－0＋[(－2)3]－＋16－0.75＋|－0.01| (3)·(lg32－lg2) (4)2log32－log3＋2log38－52log53－log964 【答案】(1)－2x－y－　(2)　(3)4　(4)－7 及时巩固 1 化简或求值： (1)÷1－2× (2)(1＋2－)(1＋2－)(1＋2－)(1＋2－)(1＋2－) (3)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25 (4)＋lg 【答案】(1)a　(2)( 1－2－)－1　(3)2　(4) 典型例题2　 已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)x3m－3是奇函数. (1)求f(x)的解析式； (2)若f(3t)＋f(2t－3t＋1)＜0，求实数t的取值范围. 【答案】(1)因为f(x)＝(m2－m－1)x3m－3是幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2，当m＝－1时，f(x)＝x－6，函数f(x)为偶函数，不合题意，当m＝2时，f(x)＝x3，函数f(x)为奇函数，符合题意，综上知f(x)＝x3. (2)由(1)得f(x)为R上的增函数，且是奇函数，由f(3t)＋f(2t－3t＋1)＜0，得f(3t)＜－f(2t－3t＋1)，即f(3t)＜f(3t＋1－2t)，所以3t＜3t＋1－2t，即t＞，所以t＞log，即实数t的取值范围为t＞log. 及时巩固 2 已知函数f(x)＝4x－a·2x＋1＋1. (1)若函数f(x)在x∈[0,2]上有最大值－8，求实数a的值； (2)若函数f(x)在x∈[－1,2]上有且只有一个零点，求实数a的取值范围. 【答案】令t＝2x∈[1,4]，∴y＝f(t)＝t2－2at＋1. (1)若a≤，则ymax＝16－8a＋1＝－8，∴a＝>，不成立，舍去； 若a>，则ymax＝1－2a＋1＝－8，∴a＝5，满足题意．则a＝5. (2)由f(x)＝0得t2－2at＋1＝0，则a＝t＋在t∈，4上有且仅有一个解， 由对勾函数的图象易得a＝1或<a≤. 典型例题3　 设函数f(x)＝loga(a2x)·loga(ax)(a＞0且a≠0)，≤x≤9.令t＝logax. (1)若t∈[－2,2]，求a的取值范围； (2)当a＝时，求函数f(x)的最大值与最小值及对应的x值. 【答案】(1)由题意得－2≤logax≤2，即logaa－2≤logax≤logaa2. ①若0<a<1，则a2≤x≤a－2，则由，得0<a≤； ②若a>1，则a－2≤x≤a2，同理解得a≥3. 综合可得0<a≤或a≥3. (2)∵a＝，∴y＝(logaa2＋logax)(logaa＋logax)＝(t＋2)(t＋1)＝t2＋3t＋2， 令g(t)＝t2＋3t＋2，∵≤x≤9，∴t∈[－4,4]． 当t＝4，即x＝9时，f(x)max＝30； 当t＝－，即x＝3－时，f(x)min＝－. 及时巩固 3 已知f(x)＝log3x，x∈，求函数y＝f·f(3x)的值域. 【答案】由≤≤9及≤3x≤9得x∈[，3]，令log3x＝t∈[－1,1]，y＝(2t－1)(t＋1)＝2t2＋t－1.得所求的函数的值域为[－，2]. 学科网（北京）股份有限公司 $$