第6讲 函数的性质（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·知识梳理手册

第6讲　函数的性质 1.函数的单调性：一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I. (1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1) < f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递 增 ； 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它为 增函数 . (2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1) > f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递 减 ； 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它为 减函数 . (3)如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或者单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性 ，区间D叫作y＝f(x)的 单调区间 . (4)用定义法判断函数的单调性：取值⇒作差⇒变形⇒定号⇒结论. 2.函数的最值 【函数的最大值】一般地，函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)∀x∈I，都有f(x) ≤ M； (2)∃x0∈I使得f(x0) ＝ M. 则称M是函数y＝f(x)的最 大 值. 【函数的最小值】一般地，函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)∀x∈I，都有f(x) ≥ m； (2)∃x0∈I使得f(x0) ＝ m. 则称m是函数y＝f(x)的最 小 值. 3.对于复合函数y＝f[g(x)]，令u＝g(x). 若y＝f(u)为增，u＝g(x)为增，则y＝f[g(x)]为 增 函数； 若y＝f(u)为减，u＝g(x)为减，则y＝f[g(x)]为 增 函数； 若y＝f(u)为增，u＝g(x)为减，则y＝f[g(x)]为 减 函数； 若y＝f(u)为减，u＝g(x)为增，则y＝f[g(x)]为 减 函数. 4.奇偶性的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I. (1)如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝ f(x) ，那么函数f(x)就叫作偶函数； (2)如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫作 奇 函数. 5.奇偶性的判断方法：先判断定义域是否关于原点对称，若是，则找f(－x)与f(x)的关系，用定义判断. 分类：偶函数、奇函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数. 典型例题1　 判断f(x)＝－x3＋1在(－∞，0)上是增函数还是减函数，并证明你的判断；如果x∈(0，＋∞)，函数f(x)是增函数还是减函数？ 【答案】f(x)＝－x3＋1在(－∞，0)上是减函数，用定义证明如下： 【答案】f(x)＝－x3＋1在(－∞，0)上是减函数，用定义证明如下： 设x1<x2<0，则f(x1)－f(x2)＝－x＋1－(－x＋1)＝x－x＝(x2－x1)(x＋x1x2＋x)＝(x2－x1)x2＋x12＋x>0，即f(x1)>f(x2) 则f(x)＝－x3＋1在(－∞，0)上是减函数．同理可得f(x)在(0，＋∞)上也是减函数． 及时巩固 1 判断函数f(x)＝(a≠0)在区间(0,1)上的单调性，并证明. 【答案】当a>0时，f(x)在(0,1)单调递增；当a<0时，f(x)在(0,1)单调递减，证明如下： 设0<x1<x2<1，则 f(x1)－f(x2)＝－ ＝a ＝a＝a. ∵0<x1<x2<1，∴(x－1)(x－1)>0，x2－x1>0，x2x1＋1>0，则f(x1)－f(x2)的符号由a决定： ①若a<0，则f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，则f(x)在(0,1)上单调递增； ②若a>0，则f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，则f(x)在(0,1)上单调递减． 典型例题2　 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝ 【答案】(1)因为f(x)＝，所以所以－2≤x≤2且x≠0，所以函数y＝f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称，又f(－x)＝＝＝f(x)，所以函数y＝f(x)为偶函数． (2)∵函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，并且当x＞0时，－x＜0， ∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)(x＞0)． 当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)(x＜0)． 故函数f(x)为奇函数． 及时巩固 2 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝(x－1)·. 【答案】(1)f(x)既是奇函数，也是偶函数． 因为f(x)＝＋，所以解得x＝±1，则f(x)＝＋的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，故f(x)既是奇函数，也是偶函数． (2)先确定函数的定义域．由≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 典型例题3　 已知奇函数f(x)是定义在(－2,2)上的减函数，若f(m－1)＋f(2m－1)＞0，求实数m的取值范围. 【答案】∵f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数， ∴对任意x∈(－2,2)有f(－x)＝－f(x)， 由条件f(m－1)＋f(2m－1)＞0得f(m－1)＞－f(2m－1)＝f(1－2m)． ∵f(x)是定义在(－2,2)上的减函数， ∴2＞1－2m＞m－1＞－2，解得－＜m＜， ∴实数m的取值范围是－＜m＜. 及时巩固 3 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞，0)内单调递增，已知f(2a2＋a＋1)<f(3a2－2a＋1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y＝a2－3a＋1的单调递减区间. 【答案】设0<x1<x2，则－x2<－x1<0， ∵f(x)在区间(－∞，0)内单调递增， ∴f(－x2)<f(－x1)，∵f(x)为偶函数，∴f(－x2)＝f(x2)，f(－x1)＝f(x1)， ∴f(x2)<f(x1)．∴f(x)在(0，＋∞)内单调递减． 又2a2＋a＋1＝22＋＞0,3a2－2a＋1＝32＋＞0. 由f(2a2＋a＋1)<f(3a2－2a＋1)得2a2＋a＋1>3a2－2a＋1.解之，得0<a<3. 又a2－3a＋1＝2－.∴函数y＝a2－3a＋1的单调减区间是 结合0<a<3，得函数y＝a2－3a＋1的单调递减区间为. 学科网（北京）股份有限公司 $$