第5讲 函数的概念和表示（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·知识梳理手册

第5讲　函数的概念和表示 1.函数的概念：一般地，设A，B为非空的实数集，如果对于集合A中 任何 一个数x，按照某种 确定 的对应关系f，在集合B中都有 唯一 确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y＝f(x) ，x∈A. 2.区间的概念及表示方法：设a，b是两个实数，且a<b. (1)满足a≤x≤b的实数x的集合叫作闭区间，记作 [a，b] ； (2)满足a<x<b的实数x的集合叫作开区间，记作 (a，b) ； (3)满足a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫作半开半闭区间，分别记作[a，b)，(a，b]； (4)满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合分别记作[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b). 3.函数的表示方法：解析法、列表法、图象法. 4.函数值域的求法 (1)观察法；　　　　　 (2)配方法； (3)判别式法； (4)不等式法； (5)换元法； (6)反表示法； (7)数形结合法； (8)单调性法. 5.函数解析式的常用求法 (1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)方程组法(消元法). 典型例题1　 下列四组函数中，表示相同函数的一组是(　　) A.f(x)＝|x|，g(x)＝ B.f(x)＝，g(x)＝()2 C.f(x)＝，g(x)＝x＋1 D.f(x)＝·，g(x)＝ 【答案】A 【解析】B选项，定义域不同；C选项，定义域不同；D选项，定义域不同．则选A. 及时巩固 1 下列各组函数中表示相同函数的是(　　) A.y＝与y＝x＋3 B.y＝－1与y＝x－1 C.y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0) D.y＝2x＋1(x∈Z)与y＝2x－1(x∈Z) 【答案】C 【解析】A选项，定义域不同；B选项，对应法则不同；C选项，是相同的函数；D选项，对应法则不同．则选C. 典型例题2　 存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有(　　) A.f(sin2x)＝sinx B.f(sin2x)＝x2＋x C.f(x2＋1)＝|x＋1| D.f(x2＋2x)＝|x＋1| 【答案】D 【解析】A选项，分别令x＝，，则f(1)＝，f(1)＝－，矛盾，故A错误；B选项，分别令x＝，，则f(1)＝2＋，f(1)＝2＋，矛盾，则B错误；C选项，分别令x＝1，－1，则f(2)＝2，f(2)＝0，矛盾，则C错误；D选项正确． 及时巩固 2 (多选)存在函数f(x)满足：对任意x∈R，都有(　　) A.f(sinx)＝cosx B.f(sinx)＝sin2x C.f(cosx)＝cos2x D.f(sinx)＝sin3x 【答案】CD 【解析】由于f(0)＝f(sin0)＝cos0＝1，另一方面f(0)＝f(sinπ)＝cosπ＝－1，矛盾，故A错误；由于f＝fsin＝sin＝，另一方面f＝fsin＝sin＝－，矛盾，故B错误；显然若存在函数f(x)＝2x2－1，则f(cosx)＝cos2x，C正确；若存在函数f(x)＝3x－4x3，则f(sinx)＝sin3x，D正确．综合上述，选CD. 典型例题3　 求下列函数的解析式： (1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)； (2)已知一次函数f(x)使f{f[f(x)]}＝－8x＋3，求f(x)； (3)已知f(x)满足f(x)＋2f()＝3x，求f(x). 【答案】(1)f(x)＝x2－2x＋3(x≥1) (2)f(x)＝－2x＋1　(3)f(x)＝－x(x≠0) f(sin x) 学科网（北京）股份有限公司 $$