第4讲 复数的概念和四则运算（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·知识梳理手册

第4讲　复数的概念和四则运算 1.虚数单位i：满足i2＝－1，实数可以与它进行四则运算，原有的加法、乘法运算律仍成立. i具有周期性：i4n＋1＝ i ，i4n＋2＝ －1 ，i4n＋3＝ －i ，i4n＋4＝ 1 . 2.复数的定义：形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数；全体复数构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫作 复数集 . 3.复数的表示方法：z＝a＋bi(a∈R，b∈R)，a叫作复数的 实部 ，b叫作复数的 虚部 ，i叫做虚数单位. 4.复数相等：当且仅当 a＝c 且 b＝d 时，a＋bi与c＋di相等.(a，b，c，d∈R) 5.复数的分类：复数a＋bi 6.复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. 7.复数的几何意义：复数z＝a＋bi(a，b∈R)―→复平面内的点Z(a，b)―→向量. 8.复数的模(或绝对值)：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)z＝a＋bi(a，b∈R)z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|.即|z|＝|a＋bi|＝，其中a，b∈R. 9.共轭复数：复数z＝a＋bi(a∈R，b∈R)的共轭复数记为＝a－bi，则|z|＝||＝ . 10.复数的四则运算 复数的运算：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R). (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ (a＋c)＋(b＋d)i ；向量的加法. (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ (a－c)＋(b－d)i ；向量的减法. (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i ；多项式的乘法. (4)除法：＝＝＝ ＋i (c＋di≠0)，分母实数化. 典型例题1　 设m∈R，复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i). (1)当m为何值时，z为实数？ (2)当m为何值时，z为纯虚数？ 【答案】(1)z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i. 由题意得m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2. (2)依题意得2m2－3m－2＝0且(m2－3m＋2)≠0，解得m＝－. 及时巩固 1 已知复数z＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i(其中i为虚数单位). (1)当复数z是非纯虚数时，求实数m的值； (2)若复数z对应的点在直线y＝x上，求实数m的值. 【答案】(1)当复数z＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i，为非纯虚数时， 应有2m2－3m－2≠0且m2－3m＋2≠0，求得m≠1且m≠2且m≠－. (2)若复数z对应的点在直线y＝x上，则2m2－3m－2＝m2－3m＋2，求得m＝±2. 典型例题2　 已知关于x的方程x2－2ax＋a2－4a＋4＝0(a∈R)的两根为α，β，且|α|＋|β|＝3，求实数a的值. 【答案】①当Δ≥0即a≥1时，由可知两根都是非负实根，∴|α|＋|β|＝α＋β＝3＝2a⇒a＝； ②当Δ<0即a<1时，此时方程两根为共轭虚根，设α＝m＋ni，则β＝m－ni， ∴∴|α|＋|β|＝2＝2|a－2|＝3⇒a＝. 综上，a＝或. 及时巩固 2 已知复数z1，z2满足条件|z1|<2，|z2|<2.是否存在非零实数m，使得z1＋z2＝和＝同时成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】＝，则z1·z2＝，z1＋z2＝，则z1，z2是方程x2－x＋＝0的两个根． 当Δ＝－≥0即m≤且m≠0时，z1，z2∈R，记f(x)＝x2－x＋，|z1|<2，|z2|<2，故解得m<－； 当Δ＝－<0即m>时，z1，z2为一对共轭虚根，则|z1|<2，则<4，即m>或m<0(舍)． 综上，存在实数m<－或m>，使得z1＋z2＝和＝同时成立． 典型例题3　 已知复数z0＝lg(a2－4a＋4)＋(a2－3a＋2)i(i为虚数单位，a∈R)为纯虚数，z0和b是关于x的方程x2－(3＋2i)x＋6i＝0的两个根. (1)求a，b的值； (2)若复数z满足1≤|z|≤|a＋bi|，则说明在复平面内z对应的点Z的集合是什么图形？请求出该图形的面积. 【答案】(1)∵z0＝lg(a2－4a＋4)＋(a2－3a＋2)i为纯虚数， ∴即解得a＝3， 此时z0＝2i，由韦达定理得解得b＝3. (2)复数z满足1≤|z|≤|a＋bi|，即1≤|z|≤3， 不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1的外部(包括边界)所有点组成的集合， 不等式|z|≤3的解集是圆|z|＝3的内部(包括边界)所有点组成的集合， ∴所求点Z的集合是以原点为圆心，以1和3为半径的两个圆所夹的圆环(包括边界)． 则S圆环＝π＝17π. 及时巩固 3 已知复数z0满足z0＋2＝2019. (1)求z0的共轭复数； (2)复数z1满足|z0|≤|z1|≤|3－4i|，求z1在复平面内对应点的集合所表示的图形面积. 【答案】(1)由于复数z0满足z0＝2019－2＝i2019－2＝i3－2＝－i－2，所以＝－2＋i. (2)由(1)可得|z0|＝，且|3－4i|＝5，可得≤|z1|≤5，所以z1在复平面内对应点的集合表示外半径为R＝5，内半径为r＝的圆环，所以面积为S＝πR2－πr2＝π×52－π×()2＝20π. 学科网（北京）股份有限公司 $$