第3讲 一元二次函数与一元二次方程、不等式（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·知识梳理手册

第3讲　一元二次函数与一元二次方程、不等式 1.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0) {x|x＜x1，或x＞x2} x|x≠－ R ax2＋bx＋c＜0(a＞0) {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 2.含参的二次函数(方程) ①先讨论二次项系数； ②再讨论判别式； ③再讨论根是否在定义域范围内； ④最后讨论根的大小. 典型例题1　 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的函数值的取值范围是{y|y≥0}，若关于x的不等式f(x)<c的解集为{x|m<x<m＋6}，求实数c的值. 【答案1】由于函数的值域为{y|y≥0}，则对于x2＋ax＋b＝0，有Δ＝a2－4b＝0，即b＝， 则f(x)＝x2＋ax＋b＝x2＋ax＋＝x＋2，由f(x)＝x＋2<c解得－－<x<－， 又由题意得－－－－＝2＝6，则c＝9即为所求． 【答案2】f(x)<c的解集是函数y＝f(x)位于直线y＝c下方部分图象的横坐标的取值范围，显然图象的平移不改变不等式的解集的长度，将问题转化为g(x)＝x2<c的解集为(－3,3)，则c＝9. 及时巩固 1 若不等式ax2＋5x＋1≤0的解集为，则不等式≤0的解集为 . 【答案】[2,3) 【解析】由题意得－，－是方程ax2＋5x＋1＝0的两根，则＝－×－＝，解得a＝6. 则不等式为≤0，解集为[2,3) 典型例题2　 函数f(x)＝x2＋ax＋b有两个不同零点x1，x2,3<x1<x2<4，则在f(3)，f(4)两个函数值中(　　) A.只有一个小于 B.至少有一个小于 C.都小于 D.可能都大于 【答案】B 【解析】设f(x)＝(x－x1)(x－x2)，则f(3)＝(3－x1)(3－x2)>0，f(4)＝(4－x1)(4－x2)>0， 则f(3)·f(4)＝(3－x1)(3－x2)(4－x1)(4－x2)＝(x1－3)(4－x1)(x2－3)(4－x2) <22＝，则选B. 及时巩固 2 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点x1，x2，满足0＜x1＜x2＜2，则f(0)·f(2)的取值范围是(　　) A.(0,1) B.(0,2) C.(1,2) D.(1,4) 【答案】A 【解析】设f(x)＝(x－x1)(x－x2)，由题意得f(0)·f(2)＝x1x2(2－x1)(2－x2)<22＝1，则选A. 典型例题3　 已知函数f(x)＝9x2－6ax＋a2－10a－6在[－3，b]上恒大于或等于0，其中实数a∈[3，＋∞)，求实数b的范围. 【答案】f(x)＝92－10a－6，x∈[－3，b]． (1)若≥b时，f(x)在[－3，b]上是减函数，∴ymin＝f(b)＝92－10a－6＝a2－(6b＋10)a＋9b2－6， 令u＝g(a)＝a2－(6b＋10)a＋9b2－6，a∈[3，＋∞)，即g(a)≥0， 当3b＋5≥3时，b≥－，umin＝g(3b＋5)＝－30b－31，若－30b－31≥0解得b≤－，与b≥－矛盾； 当3b＋5<3即－3<b<－时，umin＝g(3)＝9b2－18b－27，令9b2－18b－27≥0，解得b≤－1或b≥3，所以－3<b≤－1. (2)若－3<<b，ymin＝f＝－10a－6，即－10a－6≥0，解得a≤－，与a∈[3，＋∞)矛盾． (3)若≤－3，则a≤－9，与a∈[3，＋∞)矛盾． 综上所述：－3<b≤－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$