第2讲 等式与不等式、基本不等式（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·知识梳理手册

第2讲　等式与不等式、基本不等式 1.作差比较法 a>b⇔a－b > 0； a＝b⇔a－b ＝ 0； a<b⇔a－b < 0. 2.不等式的性质 性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b，即a>b⇔b < a. 性质2：如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c⇒a > c. 性质3：如果a>b，那么a＋c > b＋c. 性质4：如果a>b，c>0，那么ac > bc；如果a>b，c<0，那么ac < bc. 性质5：如果a>b，c>d，那么a＋c > b＋d. 性质6：如果a>b>0，c>d>0，那么ac > bd. 性质7：如果a>b>0，那么an > bn(n∈N，n≥2). 3.基本不等式 结论1：∀a，b∈R，则a2＋b2 ≥ 2ab(当且仅当a＝b时取等号). 结论2： ≤ (a>0，b>0)(当且仅当a＝b时取等号). 结论3：不等式链：≤≤≤(a，b，c均为正数). 典型例题1　 已知a，b∈R，A＝a2＋b2，B＝ab＋a＋b－1，则A与B的大小关系为 . 【答案】A≥B 【解析】A－B＝a2＋b2－(ab＋a＋b－1)＝(2a2＋2b2－2ab－2a－2b＋2) ＝[(a2＋b2－2ab)＋(a2－2a＋1)＋(b2－2b＋1)] ＝[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，则A≥B. 及时巩固 1 已知a，b∈R，且P＝，Q＝，则P，Q的大小关系是 . 【答案】P≤Q 【解析】由题意得P2＝，Q2＝，则P2－Q2＝－＝－≤0， 当且仅当a＝b时取等号，P2≤Q2，又∵Q≥0，则P≤Q. 典型例题2　 已知三个正数a，b，c满足a≤b＋c≤2a，b≤a＋c≤2b，则的取值范围是(　　) A. B. C.[2,3] D.[1,2] 【答案】A 【解析】由条件得1≤＋≤2①，≤1＋≤，即－≤－1－≤－②， ①＋②得1－≤－1≤2－，解得≤≤，故选A. 及时巩固 2 已知a，b，c∈R，a>b>c且2a＋b＋c＝0，则的取值范围是 . 【答案】(－3，－1) 【解析】由题意易得a>0，c<0，又b＝－2a－c，则解得－3<<－1. 典型例题3　 已知x>0，y>0且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值. 【答案】由2x＋8y－xy＝0，x＞0，y＞0得＋＝1， 则x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)＋＝10＋＋≥10＋2＝18， 当且仅当x＝12，y＝6时取等号，∴x＋y的最小值为18. 及时巩固 3 已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值. 【答案1】∵＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)·＋＝10＋＋.∵x＞0，y＞0，∴＋≥2＝6，∴x＋y≥10＋6＝16. 当且仅当＝，即y＝3x时，取等号．又＋＝1，∴x＝4，y＝12.∴当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16. 【答案2】由＋＝1得x＝，则x＋y＝＋y＝10＋＋y－9≥16，后略． 学科网（北京）股份有限公司 $$