第1讲 集合与常用逻辑用语（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·知识梳理手册

第1讲　集合与常用逻辑用语 1.集合 (1)集合的概念：一般地，把一些元素组成的 总体 叫作集合，也简称为集. (2)集合的表示：集合一般用大括号表示，且常用 大写字母 表示；如：A＝{与一个角的两边距离相等的点}(大括号已经表示“所有”的意思，里面不能再出现“所有”“全部”等语言). (3)特定的集合： 非负整数集(自然数集)： N . 正整数集： N*或N . Z： 整数集 .　Q： 有理数集 .　R： 实数集 . (4)集合中元素的特点：确定性、 互异性 、无序性. (5)元素和集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a 属于 A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a 不属于 A，记作a∉A. (6)集合的表示方法：列举法、 描述法 、图示法(Venn图). (7)集合间的基本关系： 子集：对于两个集合A，B，如果集合A的 任何 一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A 含于 集合B，或集合B包含集合A，记作 A⊆B(或B⊇A) . 真子集：如果A⊆B，但 存在 元素x∈B，且x∉A，就说集合A是集合B的真子集，记作 A B (或BA). 空集：表示为∅，空集是 任何集合 的子集，是任何 非空集合 的真子集. (8)集合的基本运算： 并集：由所有属于集合A 或 属于集合B的元素所组成的集合，记作A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}. 交集：由所有属于集合A 且 属于集合B的元素所组成的集合，记作A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}. (9)补集：对于一个集合A，由全集U中 不属于 集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}. 相关结论：A∩B＝A⇔ A⊆B ； A∩B＝∅⇔ A＝∅或B＝∅或A，B无公共元素 ； A∪B＝A⇔ B⊆A . 2.充分条件与必要条件 一般地，“若p，则q”为真命题，记作p⇒q，则说p是q的 充分 条件，q是p的 必要 条件. 若p既是q的充分条件，也是q的必要条件，则说p是q的 充分必要 条件，简称为充要条件. 3.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等等. 全称量词命题：含有 全称量词 的命题.“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x). (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等等. 存在量词命题：含有 存在量词 的命题.“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为：∃x∈M，p(x). (3)全称量词命题的否定是存在量词命题.∀x∈M，p(x)，它的否定是： ∃x∈M，綈p(x) . 存在量词命题的否定是全称量词命题.∃x∈M，p(x)，它的否定是： ∀x∈M，綈p(x) . 典型例题1　 (1)设集合A＝{a|a＝3n＋2，n∈Z}，集合B＝{b|b＝3k－1，k∈Z}，求集合A与B的关系. (2)若集合A＝{a|a＝3n＋2，n∈N*}，集合B＝{b|b＝3k－1，k∈N*}，求集合A与B的关系. 【答案】(1)A＝B　(2)A⊆B 及时巩固 1 (1)设集合A＝{a|a＝n2＋1，n∈N*}，集合B＝{b|b＝k2－4k＋5，k∈N*}，求集合A与B的关系. (2)设集合A＝{a|a＝n2＋1，n∈Z}，集合B＝{b|b＝k2－4k＋5，k∈N*}，求集合A与B的关系. 【答案】(1)A⊆B　(2)A＝B 典型例题2　 已知集合A＝{x|x2－4ax＋2a＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围. 【答案】a≤－1　方法1：正面(反面)讨论．方法2：分离变量　 及时巩固 2 已知集合A＝{x|x2＋(m＋2)x＋1＝0}，B＝{x|x>0}，若A∩B＝∅，求实数m的取值范围. 【答案】m>－4 典型例题3　 “对于任意x∈R，不等式|x＋2|－|3－x|≥a恒成立”的一个充分必要条件是(　　) A.a∈(－∞，－2]∪[3，＋∞) B.a∈[－2,3] C.a∈(－∞，5] D.a∈(－∞，－5] 【答案】D 【解析】∵对于任意x∈R，不等式|x＋2|－|3－x|≥a恒成立，∴a≤[|x＋2|－|3－x|]min， 由x＋2＝0，得x＝－2，由3－x＝0，得x＝3，当x<－2时，|x＋2|－|3－x|＝－x－2－3＋x＝－5， 当－2≤x≤3时，|x＋2|－|3－x|＝x＋2－3＋x＝2x－1∈[－5,5]，当x>3时，|x＋2|－|3－x|＝x＋2－x＋3＝5. 综上，|x＋2|－|3－x|∈[－5,5]．∴a≤[|x＋2|－|3－x|]min＝－5， ∴“对于任意x∈R，不等式|x＋2|－|3－x|≥a恒成立”的一个充分必要条件是(－∞，－5]． 故选D. 及时巩固 3 (多选)“关于x的不等式x2－2ax＋a>0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是(　　) A.0<a<1 B.0≤a≤1 C.0<a< D.a≥0 【答案】BD 【解析】由题意可知，关于x的不等式x2－2ax＋a>0恒成立，则Δ＝4a2－4a<0，解得0<a<1， 对于选项A，“0<a<1”是“关于x的不等式x2－2ax＋a>0对∀x∈R恒成立”的充要条件； 对于选项B，{a|0<a<1}{a|0≤a≤1}， 故“0≤a≤1”是“关于x的不等式x2－2ax＋a>0对∀x∈R恒成立”的必要不充分条件； 对于选项C，{a|0<a<}{a|0<a<1}， “0<a<”是“关于x的不等式x2－2ax＋a>0对∀x∈R恒成立”的充分不必要条件； 对于选项D，{a|0<a<1}{a|a≥0}，“a≥0”是“关于x的不等式x2－2ax＋a>0对∀x∈R恒成立”的必要不充分条件．故选BD. 学科网（北京）股份有限公司 $$