精品解析：广东省潮州市潮安区华南师范大学附属潮州学校2024-2025学年高二上学期开学摸底考试数学检测卷

潮州华附2024-2025学年度第一学期高二级开学摸底考试 数学科 检测卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 在复平面内，复数对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 现采用随机模拟方式估计一运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，若向量与向量平行，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 5. 已知向量 ，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论错误的是（ ） A. 当时，是直角三角形 B. 当时，是锐角三角形 C. 当时，是钝角三角形 D. 当时，是钝角三角形 7. 已知是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（ ） A. 若，且与不垂直，则与一定不垂直 B. 若与不平行，则与一定异面直线 C. 若，且，则与可能平行 D. 若，则与可能垂直 8. 已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ） A B. C. D. 10. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（    ） A. 图（1）的平均数中位数众数 B. 图（2）的平均数<众数<中位数 C. 图（2）的众数中位数<平均数 D. 图（3）的平均数中位数众数 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 存在点，使四点共面 B. 存在点，使平面 C. 三棱锥的体积为 D. 经过四点的球的表面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙两人下中国象棋，若甲获胜的概率是，下成和棋的概率是，则乙获胜的概率是_______________________． 13. 《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，其中为正八边形的中心，则______. 14. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，△ABC外接圆面积为则∠A=______，△ABC周长的最大值为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数是纯虚数． （1）求实数的值； （2）若复数满足，，求复数． 16. 如图，已知平面，，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的大小． 17. 在一次射击游戏中，规定每人最多射击3次；在A处击中目标得3分，在B，C处击中目标均得2分，没击中目标不得分；某同学在A处击中目标的概率为，在B，C处击中目标的概率均为，该同学依次在A，B，C处各射击一次，各次射击之间没有影响，求在一次游戏中： （1）该同学得4分概率； （2）该同学得分不超过3分的概率. 18. 某地为了了解市场经营户年收入情况，随机抽取60家经营户，经统计，这60家经营户去年经营收入（单位：万元）均在区间内，按，，，，，分成6组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第80百分位数为8.9. （1）求，的值； （2）估计这60经营户年收入的平均值（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； （3）用分层抽样的方法在收入区间为的营业户中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1户在收入区间为内的概率. 19. 设是半径为1圆O内接正2024边形，M是圆O上的动点． （1）求的取值范围； （2）试探究是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 潮州华附2024-2025学年度第一学期高二级开学摸底考试 数学科 检测卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的运算可知阴影部分为，利用集合运算求解即可. 【详解】由图可知，阴影部分的集合为， 因为，， 所以，其元素个数为4. 故选：B 2. 在复平面内，复数对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】求出复数所对点的坐标即可判断作答. 【详解】在复平面内，复数对应的点位于第三象限. 故选：C 3. 现采用随机模拟的方式估计一运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型概率计算公式即可求解． 【详解】依题意在组随机数中三次投篮恰有两次命中的有：，，共个， 所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率， 故选：A． 4. 已知向量，若向量与向量平行，则值为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得,由与向量平行,可得,进而求解即可. 【详解】∵向量, ∴，又向量与向量平行, ∴,，解得. 故选：A. 5. 已知向量 ，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，结合投影向量的定义分析求解. 【详解】因为， 则， 所以在方向上的投影向量为. 故选：A. 6. 在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论错误的是（ ） A. 当时，是直角三角形 B. 当时，是锐角三角形 C. 当时，是钝角三角形 D. 当时，是钝角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理化简已知可得，利用余弦定理，勾股定理，三角形两边之和大于第三边等知识逐一分析各个选项即可得解． 【详解】对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 显然是直角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 显然是等腰三角形，， 说明为锐角，故是锐角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 可得，说明为钝角，故是钝角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 此时，不等构成三角形，故命题错误. 故选：D. 7. 已知是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（ ） A. 若，且与不垂直，则与一定不垂直 B. 若与不平行，则与一定是异面直线 C. 若，且，则与可能平行 D. 若，则与可能垂直 【答案】D 【解析】 【分析】结合点线面之间的关系逐项判断即可得. 【详解】对A：平面内，存在无数条直线和垂直，故A错误； 对B：当时，与不是异面直线，故B错误； 对C：若，且，与为异面直线，故C错误； 对D：若，在内存在直线与垂直，故其可能与垂直，故D正确. 故选：D. 8. 已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相切结合勾股定理可得，即可求解，由圆台和球的体积公式即可求解. 【详解】设圆台的高为，外接球半径为，作出轴截面如图： 的上､下底面面积分别为，则圆，的半径分别为2，6， 则，解得， 故所求体积之比为 故选：B 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据共线向量定理逐项判定向量是否共线即可. 【详解】对于A，，则，为共线向量，故不能作为平面向量的基底； 对于B，若存在实数使，则，无解，可以作为平面向量的基底； 对于C，，则，为共线向量，故不能作为平面向量的基底； 对于D，若存在实数使，则，无解，可以作为平面向量的基底； 故选：AC． 10. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（    ） A. 图（1）的平均数中位数众数 B. 图（2）的平均数<众数<中位数 C. 图（2）的众数中位数<平均数 D. 图（3）的平均数中位数众数 【答案】ACD 【解析】 【详解】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【分析】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A正确； 图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B错误，C正确； 图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 存在点，使四点共面 B. 存在点，使平面 C. 三棱锥的体积为 D. 经过四点的球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】连接，证得和，得到，可判定A正确；连接，证得，利用线面平行的判定定理，可证得B正确；连接，结合，可判定C错误；分别取的中点，构造长方体，结合正方体的性质和球的表面积公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，如图所示，在正方体中，连接， 因为分别是的中点，所以, 又因为，所以，所以四点共面， 即当与点重合时，四点共面，所以A正确； 对于B中，连接，当是的中点时， 因为，所以， 因为平面，平面，所以平面，所以B正确； 对于C中，连接，因为， 则，所以C错误； 对于D中，分别取的中点，构造长方体， 则经过四点的球即为长方体的外接球， 设所求外接球的直径为，则长方体的体对角线即为所求的球的直径， 即， 所以经过四点的球的表面积为，所以D正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙两人下中国象棋，若甲获胜的概率是，下成和棋的概率是，则乙获胜的概率是_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率性质可知所有可能的概率和为1. 【详解】乙获胜的概率是， 故答案为： 13. 《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，其中为正八边形的中心，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】连接，则，根据给定条件及正八边形的特征，利用数量积的定义求解即可. 【详解】在正八边形中，连接，则， 而，即，于是，在等腰梯形中， ，所以. 故答案为： 14. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，△ABC外接圆面积为则∠A=______，△ABC周长的最大值为______. 【答案】 ①. ②. 9 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算、正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，求得，利用三角形外接圆的面积求得，利用余弦定理、基本不等式等知识求得三角形周长的最大值. 【详解】已知向量， 则，则， 所以， 则，所以， 又，故且， 所以，又，则； 由余弦定理有：，则， 由正弦定理可得：的外接圆半径为，则，即， 所以， 则，当且仅当且，即时等号成立， 故三角形周长的最大值为 故答案为：； 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数是纯虚数． （1）求实数的值； （2）若复数满足，，求复数． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】 【分析】（1）由复数为纯虚数，可得，从而可求出的值； （2）由（1）知，令，由，，列方程可求出的值，从而可求出复数 【详解】解：（1）由复数为纯虚数，有，得． （2）由（1）知，令，有． 又由，得，有． 由上知或． 16. 如图，已知平面，，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，所以，从而平面，再由中位线得到，得到平面，证明出面面平行，得到线面平行； （2）由平面，得到平面平面，由三线合一得到，从而得到线面垂直； （3）由（1）得，所以直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，由线面垂直得到即为直线与平面所成角，结合勾股定理求出各边长，得到，求出，得到答案. 【小问1详解】 取中点，连接，，，如图所示， 又因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为点为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． 【小问2详解】 因为平面，， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， 因为，点为的中点，所以， 因为平面平面平面， 所以平面， 【小问3详解】 由（1）得四边形为平行四边形，所以， 所以直线与平面所成角和直线与平面所成角相等， 因为平面，所以即为直线与平面所成角， 因为点为的中点，， 所以， 所以，由，所以， 所以直线与平面所成角为． 17. 在一次射击游戏中，规定每人最多射击3次；在A处击中目标得3分，在B，C处击中目标均得2分，没击中目标不得分；某同学在A处击中目标的概率为，在B，C处击中目标的概率均为，该同学依次在A，B，C处各射击一次，各次射击之间没有影响，求在一次游戏中： （1）该同学得4分的概率； （2）该同学得分不超过3分的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析该同学得4分的情况，利用独立事件的概率公式即可得解； （2）利用独立事件的概率公式，依次求出该同学得0分、2分，3分的概率，从而得解. 【小问1详解】 设该同学在A处击中目标为事件A，在B处击中目标为事件B， 在C处击中目标为事件C，事件A，B，C相互独立， 依题意， 则该同学得4分的概率为 . 【小问2详解】 该同学得分不超过3分的情况为得0分、2分，3分， 该同学得0分的概率为； 得2分的概率为； 得3分概率为； 则该同学得分不超过3分的概率为. 18. 某地为了了解市场经营户年收入情况，随机抽取60家经营户，经统计，这60家经营户去年经营收入（单位：万元）均在区间内，按，，，，，分成6组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第80百分位数为8.9. （1）求，的值； （2）估计这60经营户年收入的平均值（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； （3）用分层抽样的方法在收入区间为的营业户中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1户在收入区间为内的概率. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1，以及80百分位数计算公式，列式求解； （2）根据频率分布直方图的平均数公式，列式求解； （3）首先计算出区间和的频数，再利用分层抽样，计算出抽取的户数，结合样本空间，和古典概型公式，即可求解. 【小问1详解】 依题意得，即，又第80百分位数在， ，解得，. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 有9户，在有18户，所以在抽取2户，在上抽取4户， 设在抽取的2户，设为,在上抽取4户，设为， 任取2户的所有情况为，，共15种情况， 其中至多有1户在内的样本点包含共9个， 设至多有1户在内为事件，则. 19. 设是半径为1的圆O内接正2024边形，M是圆O上的动点． （1）求的取值范围； （2）试探究是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】（1） （2）是，4048 【解析】 【分析】（1）根据向量加法的多边形法则，化简可得原式.然后根据已知，即可得出答案； （2）根据已知可得出， .根据向量的减法运算可得，代入原式，根据数量积的运算律展开化简，即可得出，进而得出答案. 【小问1详解】 由已知可得，. 因为是半径的圆O内接正2024边形，M是圆O上的动点， 所以， 所以，． 【小问2详解】 是定值，定值为4048. 因为是半径为1的圆O内接正2024边形， 所以，， 所以，， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$