精品解析：重庆市两江新区西南大学附属中学校2024-2025学年高二上学期开学定时练习（9月）数学试题

两江新区西南大学附中2024～2025学年度上期开学定时练习 高二数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整． 3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生留存，以备评讲）． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知 (为虚数单位)，则复数的共轭复数等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由复数的运算法则，化简复数，再根据共轭复数的概念，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，复数满足，即， 所以复数的共轭复数等于，故选A． 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及共轭复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确求解复数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 2. 若两个向量，的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用数量积公式求出，然后由数量积定义可得夹角； 【详解】因为， ， ， 设与的夹角为，则， 又，所以. 故选：B. 3. 已知表示两个不同的平面，表示三条不同的直线，（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】ABC选项，可举出反例；D选项，可由平行和垂直的性质和判定证明. 【详解】A选项，若，则或，A错误； B选项，若，不能推出，B错误； C选项，若，则不能推出，C错误； D选项，因为，所以， 又，由面面垂直的判定定理，可得，D正确. 故选：D 4. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且，若，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用余弦定理和面积公式可得，利用正弦定理结合三角恒等变换可得，代入面积公式结合角C的范围运算求解. 【详解】因为，则， 整理可得，且，可知， 由题意可得：，解得， 由正弦定理可得， 则面积， 因为，则，可得， 所以面积. 故选：B. 5. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出圆台上下底面半径，圆台的高，代入圆台的体积计算公式即可求解. 【详解】设圆台上下底面的半径分别为，由题意可知，解得， ，解得：，作出圆台的轴截面，如图所示： 图中，， 过点向作垂线，垂足为，则， 所以圆台的高， 则上底面面积，，由圆台的体积计算公式可得： ， 故选：. 6. 如图，在中，为上一点，且满足，若则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及三点共线的条件，再利用平面向量的基本定理及向量的数量积的运算律即可求解. 【详解】因为所以 因为三点共线， 所以即, 又因为， 所以,且为不共线的非零向量， 所以，解得， 所以， 所以 . 故选：B. 7. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，确定，得到球半径，计算体积得到答案. 【详解】将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，如图所示： 则，故，球的半径， 故体积为. 故选：D 8. 在直角梯形中，分别为 的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（如图所示）．若，其中，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设，根据解得，再根据的范围可得答案. 【详解】 建立如图所示平面直角坐标系， 则， 设， ， 因为，所以， 可得，解得， 所以 ， 因为，所以， 可得， 所以. 故选：B. 【点睛】点睛：向量平行(共线)、垂直、线性运算与三角函数的综合此类题型的解答一般是利用向量平行(共线)、垂直关系、线性运算得到三角函数式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（ ）． A. B. C. bc最大值为 D. 为钝角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据余弦定理、商关系、二倍角公式和基本不等式计算分别判断各个选项； 【详解】对于A，因为，结合余弦定理推论可得， ，化简得，解得（舍）或，A正确； 对于B，因为， 所以，又， 所以，B正确； 对于C，解得， 根据余弦定理可得，代入得 利用基本不等式， 当且仅当时取等号； 所以，C错误； 对于D，是钝角，D正确； 故选：ABD. 10. 下列四个命题为真命题的是（ ）． A. 若，，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则 B. 若向量，，则在上的投影向量为 C. 已知向量，，则的最大值为 D. 若，则动点O的轨迹一定通过的重心 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据正弦定理可求得，所以，所以，可求得取值即可判断；对于B，直接根据投影公式计算出投影向量的值即可；对于C，由向量坐标的模长公式代入计算，即可判断，对于D，令边中点为，则，再根据正弦定理将变形即可判断. 【详解】对于A，根据正弦定理可求得，所以， 所以，且，，可求得，故A错误； 对于B，直接根据在上的投影向量，故B正确； 对于C， ， 则，令 ， 则， 当时，取最大，最大值为，故C正确； 令边中点为，则，再根据正弦定理， 所以， 代入到， 因此点的轨迹在直线上，所以点的轨迹经过重心，故D正确. 故选：BCD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是侧面内的一点，点E是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 当点P是线段的中点时，存在点E，使得平面 B. 当点E为线段的中点时，过点A，E，的平面截该正方体所得的截面的面积为 C. 点E到直线的距离的最小值为 D. 当点E为棱的中点且时，则点P的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意分别画出图形，再逐项解决线面垂直、截面面积、距离最值和轨迹问题即可. 【详解】对于A，如下图所示，连接， 因为点是线段的中点，所以点也是线段的中点， 所以平面即为平面. 根据正方体的性质，平面，平面， 所以， 又因为，平面，平面， 所以平面，所以与重合时，平面，故A正确； 对于B，如下图所示，取的中点， 根据分别为的中点，易得， 所以四点共面， 所以截面为四边形，且该四边形为等腰梯形. 又因为， 所以等腰梯形的高为， 所以截面面积为，故B错误； 对于C，如图建立空间直角坐标系， 由图可得，，所以， 设，所以， 所以点到直线的距离， 所以时，距离最小，最小为，故C正确； 对于D，如图所示，取的中点，连接， 易得平面， 又因为平面，所以， 所以， 则点在侧面内的运动轨迹为以为圆心，半径为2的劣弧，圆心角为， 所以点的轨迹长度为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量．若，则________． 【答案】. 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值 【详解】, ，解得 故答案为：. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积. 13. 如图所示，在四棱锥中，//，且，若，，则二面角的余弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，借助平面和平面的法向量，结合图形，求出二面角的余弦值. 【详解】 取中点，中点,连接，，由已知可得//，// ∵，∴，， ∴，， ∴平面，∴， 又∵，∴ ∴以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则， ∵，∴, ∴，，，. 所以，， ， 设是平面的一个法向量，则 即， 令，则，，∴. 设是平面的一个法向量，则 即， 令，则，，∴. 则， 由图可知二面角的平面角为钝角， 所以二面角的余弦值为. 故答案为：. 14. 如图，在三棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】已知三棱锥外接球球心到每个顶点的距离都是相同，等于外接球半径，在平面上，三角形外接圆圆心为外心（直角三角形的外心为斜边中点），是该三角形边中垂线的交点，过该交点作三角形所在平面的垂线，该垂线上的所有点到三角形的顶点距离相同，故我们只需用该方式，找两个面的垂线，其交点为外接球球心，然后计算其半径即可. 【详解】先分别作,中点，连接； 再过点在平面内作垂线，与相交于点,相交于点； 分别过点作平面,平面垂线，相交于点,连接，如图所示. 由题可知，二面角的平面角为,点分别为的外心，故为该三棱锥外接球球心，为外接球半径， 可得，， 所以 在中， 所以, 所以, 由正弦定理可知 因为， 所以 因 所以有 所以外接表面积为 故答案为： 【点睛】思路点睛：球外接球相关的所有问题，只需要找到外接球的球心。然后求出半径；找外接球球心的一般方法，就是找出相关三角形的外接圆圆心，然后过圆心作该三角形所在平面的垂线，外接球球心一定在该垂线上，所以当我们作两个垂线时，有交点，交点为外接球球心. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知中，， P在线段上，且，，设，. （1）用向量，表示； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1） 利用向量的线性运算计算即可； （2）根据条件求出，再根据数量积的定义计算即可. 【小问1详解】 由题意得. 【小问2详解】 根据题意知， 所以 16. 如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，,,垂足为，是四棱锥的高． （Ⅰ）证明：平面平面; （Ⅱ）若,60°,求四棱锥的体积． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）因为PH是四棱锥P-ABCD的高． 所以ACPH,又ACBD,PH,BD都在平面PHD内,且PHBD=H. 所以AC平面PBD. 故平面PAC平面PBD. （Ⅱ）因为ABCD为等腰梯形，ABCD,ACBD,AB=. 所以HA=HB=. 因为APB=ADR=600 所以PA=PB=,HD=HC=1. 可得PH=. 等腰梯形ABCD的面积为S=AC x BD = 2+. 所以四棱锥的体积为V=x（2+）x= 考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，体积的计算． 点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算．在计算问题中，有“几何法”和“向量法”．利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程．本题（I）较为简单，（II）则体现了“一作、二证、三计算”的解题步骤． 17. 在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，． （1）求的值； （2）若的面积为，求AB边上的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角的正弦公式、正弦定理和余弦定理求解即可. （2）由（1）求出，由同角三角函数的基本关系求出，最后由三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 ∵， ∴， 由正余弦边角关系得，①， 又，② 由①②得，， ∴，∴ 【小问2详解】 由（1）得，， （或由余弦定理得） ∵为锐角，∴， ∴的面积， ∴， 设边上的高为， 则的面积， ∴，即边上的高为. 18. 如图，在四棱锥中，，，，，，，且O是AD的中点． （1）求证：平面平面ABC； （2）若四棱锥体积为，求二面角的正弦值； （3）若二面角的大小为，求直线PB与平面PAD所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理及勾股定理的逆定理证得，再利用线面垂直判定、面面垂直的判定推理即得. （2）结合（1）中信息确定二面角的平面角，利用锥体的体积公式求出四棱锥的高，再求出二面角的正弦值. （3）由（1）中信息，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面PAD的法向量，再利用线面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 由及余弦定理， 得，解得， 则，即，， 由，得四边形为平行四边形，则， 而，即，于是， 又平面，因此平面，而平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）知为二面角的平面角， 在平面内，过点作，交直线于， 而平面平面，平面平面，则平面， 梯形的面积， 四棱锥的体积，解得， 因此， 所以二面角的正弦值为. 【小问3详解】 平面内，过点作，交于，由平面平面， 平面平面，得平面，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 由（1）知为二面角平面角，即，则， ， 于是， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的余弦值. 19. 现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形. （1）求出所有可能的三角形的面积. （2）如图，在平面凸四边形中，，，，. ①当大小变化时，求四边形面积的最大值，并求出面积最大时的值. ②当时，所在平面内是否存在点P，使得达到最小？若有最小值，则求出该值；否则，说明理由. 【答案】（1）答案见解析 （2）①，；②存在， 【解析】 【分析】（1）分三角形三边分别为3，3，4和2，4，4两种情况，利用三角形面积公式，求得三角形面积即可； （2）①利用余弦定理及三角恒等变换，结合已知条件计算可得； ②假设存在符合条件的点，把绕点逆时针旋转，结合图形及线段关系可得最小值． 【小问1详解】 根据三角形两边之和大于第三边，由题意可知，所有可能符合情况的三角形的三边长为，3，4和2，，4， 当三角形三边为，3，4时，由余弦定理知等腰三角形顶角的余弦值，，. 当三角形三边为2，，4时，由余弦定理知等腰三角形顶角的余弦值，，. 【小问2详解】 ①连接BD，由余弦定理知，， ∴，， ∴， ∴. 又， ∴. 又∵， ∴. ∴. 故 ， 当且仅当时，，取得最大值， 此时，， ∴，，，，. ②把绕A逆时针旋转60°，如图，则，，连接. 为等边三角形，则，，，， ∴（当且仅当，，P，B共线时取得最小值）， 此刻， ∴最小值为. 【点睛】关键点点睛：①对和平方，由三角恒等变换求解面积最值. ②将绕A逆时针旋转60°得为等边三角形，利用三点共线求最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 两江新区西南大学附中2024～2025学年度上期开学定时练习 高二数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整． 3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生留存，以备评讲）． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知 (为虚数单位)，则复数的共轭复数等于 A. B. C. D. 2. 若两个向量，的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知表示两个不同的平面，表示三条不同的直线，（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 4. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且，若，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，为上一点，且满足，若则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的体积是（ ） A. B. C. D. 8. 在直角梯形中，分别为 的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（如图所示）．若，其中，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（ ）． A. B. C. bc的最大值为 D. 为钝角三角形 10. 下列四个命题为真命题的是（ ）． A. 若，，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则 B. 若向量，，则在上的投影向量为 C. 已知向量，，则的最大值为 D. 若，则动点O的轨迹一定通过的重心 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是侧面内的一点，点E是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 当点P是线段的中点时，存在点E，使得平面 B. 当点E为线段的中点时，过点A，E，的平面截该正方体所得的截面的面积为 C. 点E到直线距离的最小值为 D. 当点E为棱的中点且时，则点P的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量．若，则________． 13. 如图所示，在四棱锥中，//，且，若，，则二面角的余弦值为______． 14. 如图，在三棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知中，， P线段上，且，，设，. （1）用向量，表示； （2）若，求. 16. 如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，,,垂足为，是四棱锥的高． （Ⅰ）证明：平面平面; （Ⅱ）若,60°,求四棱锥的体积． 17. 在中，内角A、B、C对边分别为a、b、c，且，． （1）求的值； （2）若的面积为，求AB边上的高． 18. 如图，在四棱锥中，，，，，，，且O是AD的中点． （1）求证：平面平面ABC； （2）若四棱锥体积为，求二面角的正弦值； （3）若二面角的大小为，求直线PB与平面PAD所成角的余弦值． 19. 现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形. （1）求出所有可能的三角形的面积. （2）如图，在平面凸四边形中，，，，. ①当大小变化时，求四边形面积最大值，并求出面积最大时的值. ②当时，所在平面内是否存在点P，使得达到最小？若有最小值，则求出该值；否则，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$