江苏省苏州市2024-2025学年高三上学期期初阳光调研数学试卷

2025届高三年级期初阳光调研试卷 数学 2024.9 注意事项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回. 2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若i是虚数单位，则 A. B. C. D. 2.已知集合，，则 A. B. C. D. 3.将函数的图象先向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，则 A. B.1 C. D.－1 4.已知向量，，则“”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.“绿水青山就是金山银山”的理念深入人心，人民群众的生态环境获得感、幸福感、安全感不断提升.某校高一年级举行环保知识竞赛，共500人参加，若参赛学生成绩的第60百分位数是80分，则关于竞赛成绩不小于80分的人数的说法正确的是 A.至少为300人 B.至少为200人 C.至多为300人 D.至多为200人 6.已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则该正四棱锥侧棱和底面所成角的余弦值为 A. B. C. D. 7.已知函数（e为自然对数的底数），的零点分别为，，则的最大值为 A.e B. C.1 D. 8.在平面直角坐标系xOy中，A，B为双曲线右支上两点，若，则AB中点横坐标的最小值为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知二项式的展开式，则 A.二项式系数最大的项为第3项 B.常数项为第5项 C.展开式中含的项为 D.展开式中所有项的系数和为64 10.如图，已知直线，A是，之间的一定点，A到的距离，A到的距离.B，C分别在，上，设，则 A.若，AB⊥AC，则AB=2 B.若AB⊥AC，则△ABC面积的最小值为2 C.若△ABC为等边三角形，则 D.若∠BAC=60°，则的最大值为1 11.若数列满足：，对，有成立.则 A. B.，使得 C.对，都有 D.对，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=30°，，c=2，则a=________. 13.已知直线（其中k为常数），圆，直线l与圆O相交于A，B两点，则AB长度最小值为________. 14.如图，线段AD，BC相交于O，且AB，AD，BC，CD长度构成集合，∠ABO=∠DCO=90°，则x的取值个数为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 2024年7月26日第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，为了保证奥运赛事的顺利组织和运行，以及做好文化交流、信息咨询、观众引导等多方面的工作，每项比赛都需要若干名志愿者参加服务，每名志愿者可服务多个项目.8月7日100米跨栏、200米、400米、800米、1500米、5000米比赛在法兰西体育场举行. （1）志愿者汤姆可以在以上6个项目中选择3个参加服务，求汤姆在选择200米服务的条件下，选择1500米服务的概率； （2）为了调查志愿者参加服务的情况，从仅参加1个项目的志愿者中抽取了10名同学，其中6名参加5000米服务，4名参加800米服务.现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查.将其中参加800米服务的人数记作X，求随机变量X的分布列和数学期望. 16.（15分） 如图，在三棱锥D－ABC中，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，△ABD是边长为2的正三角形，E为AD的中点，F为DC上一点，且平面BEF⊥平面ABD. （1）求证：AD⊥平面BEF； （2）若平面ABC⊥平面ABD，求平面BEF与平面BCD夹角的余弦值. 17.（15分） 已知函数，e为自然对数的底数，函数. （1）若在处的切线也是的切线，求实数a的值； （2）求在上的零点个数. 18.（17分） 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，A为椭圆左顶点，已知点，且直线PA的斜率为.过点作直线l交椭圆于B，C两点（B在x轴上方，C在x轴下方），设PB，PC两直线分别交椭圆于另一点D，E（B，E分别在线段PD，PC上）. （1）求椭圆的标准方程； （2）当时，若l的斜率小于零，且△PBC的面积为，求证：∠BMD=∠DPC； （3）若存在实数，使得，求此时直线DC的斜率. 19.（17分） 如果数列满足，则称之为凸数列. 现给定函数及凸数列，它们满足以下两个条件： ①； ②对，有（为正常数）. （1）若数列满足，，且数列满足，请判断是否为凸数列，并说明理由； （2）若，求证：； （3）对任何大于等于2的正整数i，j且，求证：. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$苏州市2025届高三期初阳光调研试卷 高三数学 2024.9.19 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若1是虚数单位，则21= i () A.1-21 B.-1-2i C.1+2i D.-1+2i 【答案B 【解折12-i-2-1=-（2-9=-1-21选B 2.已知集合A={x|2≤x<6},B={x|x2-4x<0},则A∩B= ( A.(0,6) B.(4,6) C.[2,4) D.(-o∞，0)U[2,+o∞) 【答案C 【解析1因为B={xlx2-4r<0}={z0x<4},所以A∩B=[2,4),故选C 3.将函数f()=sinx的图象先向左平移牙个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变 为原来的号，得到函数y=g)的图象，则9（受） A.-② 2 B.1 c D.-1 【答案】A 【解折lg()=sin(2x+年)，所以g(受)=sin(云+)=-sin牙 ,故选A 4.已知向量a=(1,-1),b=(x-2,x),则“x=-2”是“a∥b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案]A 【解析1若4∥五，则x2=-(红-2)→x=-2或1，所以“x二-2”地“a∥b”的充分不必要条件，故选A 5.“绿水青山就是金山银山”的理念深入人心，人民群众的生态环境获得感、幸福感、安全感不断提升某校 高一年级举行环保知识竞赛，共500人参加，若参赛学生成绩的第60百分位数是80分，则关于竞赛成绩 不小于80分的人数的说法正确的是 () A.至少为300人 B.至少为200人 C.至多为300人 D.至多为200人 【答案B 【解析1若第60百分位数是80分，至少有00×60%=300人小于或等于80分，则不小于80分的人数至 少为500-300=200人，故选B 6.已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则该正四棱锥侧棱和底面所成角的余弦值为 A B号 c D 【答案D 【解析1如图，设正四棱锥底面边长为BC=2a,侧高PE=h,则由题得2×4a=4×亏·2a·h→2a=h, 1 所以侧棱PC=√CE+PE=√5a,因为OC=√2a,正四棱锥侧棱和底面所成角即为∠PCO PC0=%-会=，放选D 5a D E B 7.已知函数f(a)=e+e(x-a-1)(e为自然对数的底数)，ga)=ln(re)-a的零点分别为，x,则三的 最大值为 A.e B日 C.1 D. e 【答案】C 【解析1由题得 [e+e(x1-a-1)=0 In(xze)-a=0 =e+e(m1-ln(ae)-1)=0 →e+ex1=e(ln(ze)+l)→c+em1=e·lnex2+ex2 令h(z)=e+ez,则h(x)=h(ner),易知h(z)为R上单增函数，所以x,=lnex 9=e2=+1,令m(句=x+1,m)=-g=0→x=1, 2 2 当x∈(0,1)时，m'(x)>0,m(x)单调递增，当x∈(1，+o∞)时，m'(x)<0,m(x)单调递减， 所以m()最大值为m(1)=1,即马的最大值为1，故选C 8.在平面直角坐标系xOy中，A,B为双曲线C:x2-=1右支上两点，若AB=6,则AB中点横坐标的最 小值为 () A.2W2 B.√1o C.4⑤ 3 D.9 【答案1A 【解折1取右焦点F(√2,0)，设A(1,),B(2,h,AB中点M(x,), A,B,M在右准线工=三上的射影分别为C,D,N, 2 则MN=- =C生D=>≥号=9，当ABP三点共钱时取停，所以≥2同 2 2 2W2 故选A y B D B wA.... 2 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部进对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9已知二项式(+是广的展开式，则 ( A.二项式系数最大的项为第3项 B.常数项为第5项 C.展开式中含x3的项为G0x3 D.展开式中所有项的系数和为64 【答案BC 【解析1由二项式系数的性质知，二项式系数最大的项为第4项，系数为C=20,A错误； 二项式的通项为T1=C%x-+· (层厂=2C立，当6-多r=0r=4所以常数项为第4+1=5 项，B正确 当6-是r=3→r=2,所以含士项为第3项，即2.C=0C正确 对于D,令x=1,则展开式所有项的系数和为3=729，D错误 故选BC 10.如图，已知直线l1∥l2,A是，2之间的一定点，A到l1的距离AE=1,A到l2的距离AD=2.B,C分别在 ,上，设∠ACD=a,则 E B A.若a=30°，AB⊥AC,则AB=2 B.若AB⊥AC,则△ABC面积的取小值为2 C.若△ABC为等边三角形，则ana=号 D.若∠BAC=60,则店+名的取大值为1 【答案BCD 【解析1对于A,若AB⊥AC,a=30°，则∠EAB=30°，所以AB= AD 2W3 ,A错误： C0s30° 3 ·3 对于B,若AB⊥AC,则AC= 2 .AB=- ,所以SAAC=2ABAC= 2 sina sa 2 -≥2，当且仅当a sin2a =受时取最小，B正确： 若∠BAC=60,则AC=2 1 ,AB= sing c0s(a+30)' 若△ABC为等边三角形，则AC=AB→2= 1 sina cos(a+309)→2cos(a+30)=sina→tana= 2 C正确： 品+品=cos(a+30+na=号 ina+3 cosa=sinu+60)≤1，当a=30°时取等，D正确 故选BCD 11.若数列{a}满足：a=1,对ym,neN有1=L+L成立.则 A.a2mt=2024 1 B.neN,使得+a++>号 C.对neN+,都有a,十a2+a4++a.>ln(n+1) D.对neN',都有a2+ag+a1+…+a+1<ln(n+1) 【答案】ACD 【解折1冷m=1则。上+→工-=1，故 是首项为1公差为1的等差数列， an+l On+l 故女=n即a=员 an 1 所以a@=2024,A正确 对FB.因为是=泰<n=2(行) 所以++…t=++叶n十<2哈-+片-+点)》 1 对于C,因为h(1+)≤红，当=0时取等，所以h(1+)<1,n(1+号)<号，…，ln(+)< 累加得}+号++片>h(停号n)-a+a+a++a,>h+i).C正确 对于D.因为h1+>千2h1+2)>中所以中<n+)2本<n(+号) n<h+》,累加得号+号+…+n<ha+).即a+a+a+…+a<lhnn+D正 确 故选ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b、c,若B=30°，b=√13，c=2,则a= 【答案13V3 【解折1由余弦定理cosB=4±-b-a2-2W3a-9=0→(a-3W3)(a+V3)=0→a=3W3 AA 13.已知直线：(2k+1)x-ky-1=0(其中k为常数)，圆O:x2+y=8,直线1与圆O相交于A,B两点，则AB 长度最小值为 【答案2√3 4 【解析1因为直线1过定点D(1,2),由圆的几何性质知，当直线1与OD垂直时，弦AB最小， 因为OD=√5，所以此时AB=2√R-OD=2√3.即AB长度最小值为2√3 D 14.如图，线段AD,BC相交于O,且AB,AD,BC,CD长度构成集合{1,5,9，x},∠ABO=∠DCO=90°，则x 的取值个数为 【答案】6 【解折1(AB+CD)}+BC=AD,①x<9时，AD=9, 若AB或CD=x,则(x+1)2+25=81,得x=2W14-1或(c+)+1=81,得x=45-5 若BC=x,则36+x2=81得x=3W5, ②x>9时，AD=x,则x=3√13或5√5或√197 故x的可能取值有6个 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 2024年7月26日第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，为了保证奥运赛事的顺利组织和运行， 以及做好文化交流、信息咨询、观众引导等多方面的工作，每项比赛都需要若干名志愿者参加服务，每名 志愿者可服务多个项目.8月7日100米跨栏、200米、400米、800米、1500米、5000米比深在法兰西体 育场举行 (1)志愿者汤姆可以在以上6个项目中选择3个参加服务，求汤姆在选择200米服务的条件下，选择1500 米服务的概率： (2)为了调查志愿者参加服务的情况，从仅参加1个项目的志愿者中抽取了10名同学，其中6名参加 5000米服务，4名参加800米服务.现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查.将其中参加800米服 务的人数记作X,求随机变量X的分布列和数学期望， 【解析1(1)设汤姆选择200米服务为事件A,汤姆选择1500米为事件B, 5 则P(BA)= 2(A) (2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3， 则P(X=0)=C 0' 20 P(X=1)= a.c Cio P(X=2)= 36 4 C品 =需PX=)= X的分布列为： X 0 1 2 3 P 20 6) 36 4 120 120 120 120 数学期望E()=0×品+1× 36 ,+2×12 +3×高=号 或随机变量X服从超几何分布X-H3,4.10):则E()=3×4=6 10 16.(15分) 如图，在三棱锥D一ABC中，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，△ABD是边长为2的正三角 形，E为AD的中点，F为DC上一点，且平面BEF⊥平面ABD (1)求证：AD⊥平面BEF: (2)若平面ABC⊥平面ABD,求平面BEF与平面BCD夹角的余弦值. 【解析I因为平面BEF⊥平面ABD,平面BEF∩平面ABD=BE, 因为△ABC为正三角形，E为AD中点，所以AD⊥BE,ADC平面ABD,所以AD⊥平面BEF (2)取AB中点O,连结CO,DO,因为△ABC为正三角形，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形， 则DO⊥AB,CO⊥AB, 因为平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB, 则DO⊥平面ABC,即DO⊥AB,DO LCO,即OC,OA,OD两两垂直，以OA,OC,OD为空间基底 建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0,1,0),B(0,-1,0),C(1,0,0),D(0,0,√) 所以BC=(1,1,0),BD=(0,1,设平面BCD的法向量为元=（红，，z) ∫BC=0。x+y=0 则C0+52=0令红=1.则y=-1=9,即方=1-1.9) 因为AD⊥平面BEF,则AD=(0,-1,√3)为平面BEF的一个法向量 6 设平面平面BEF与平面BCD夹角为0，则cos0=|cos(元，AD)川= 元AD 1+1 √21 ·AD B 即平面BEF与平面BCD夹角的余弦值为②T 17.(15分) 已知函数fx)=sinx+e-4x,e为自然对数的底数，函数g(x)=x-ax+3. (1)若f(x)在(0,1)处的切线也是g(x)的切线，求实数a的值： (2)求f(x)在(-元，+∞)上的零点个数. 【解析1(1)f(x)=cosx+e-4,f”(0)=-2,即f(x)在(0,1)处切线的斜率k=-2,所以f(x)在(0,1)处 的切线为y=-2x+1,设直线与g(x)的切点为(og(x),因为g(x)=3-a 所以g(x)在(x,g(x)处切线为y-g(a)=(3x-a)(x-x)→y=(3a端-a)x-2x+3 由题意得8一白所以实数a的值为3 (2)f(x)=cosx+e-4,当x∈(-π，0)时，f(z)=cosx+e-4<cosx-3<0,所以f(x)在(-元，0) 上单调递减，f(x)>f0)=1,所以f()在(-元，0)上无零点， 当x>0时，f”"(z)=e-sinx>1-sinx≥0，所以f'(x)在(0.+∞)上单调递增 f'(1)=cos1+e-4<0,f(2)=cos2+e2-4>0,所以3x6∈(1,2)，f(x)=0, 当x∈(0，x)时，f(x)<0,f()单调递减，当x∈(x,+o∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增 而f(0)=1>0,f(1)=sin1+e-4<0,所以存在g:e(0,1),f(x)=0, 又f(3)=sin3+e3-12>0,所以存在2∈(1,3)，f(x)=0 综上，f(x)在(-π，+∞)上共有2个零点. 18.(17分) 在平面直角坐标系：0y中，椭圆若+芳=1(@>6>0)的离心率为号，A为椭圆左顶点，已知点 P1,2),且直线PA的斜率为号.过点M,0)作直线1交椭圆于B,C两点(B在x轴上方，C在x轴下 方)，设PB,PC两直线分别交椭圆于另一点D,E(B,E分别在线段PD,PC上) (1)求椭圆的标准方程 (2)当t=1时，若L的斜率小于零，且△PBC的面积为号，求证：∠BMD=∠DPC ·7 (3)若存在实数1，使得B死=ADC,求此时直线DC的斜率. 【解折10因为A(-a,0).km=子。=号→a=2,又椭圆离心*0=会= 2 →c=W5, a 2 所以=。2一-心=1，即精圆的标准方程为等+矿=1 (2)由题意可设直线1方程为x=my+1,B(,h),C(,h), (x=my+1 联立方程得{学+y16m+0+2加侧-3=0.△>0*数= m+4·助=二3 m2+4 所以S。me=合PM西-=m(-1=mlV+r-A=ml,4=是 m2+4 →m=±1，因为直线l斜率小于零，所以m=-1 即直线：y=-x+1,联立方程即为5-2y-3=0 →g-0(6y+3)=0→y=1或y=-号， 可得点B(0,1).C(停-子) y=x+1 法1：此时直线PB:y=x+1,联立椭圆方程 →x(5x+8)=0 =0或-，即0=一 所以p=一 ，即点D(--所以kD= --0 所以tan∠BMD kmt-kpMt 1+koM'kpM 5 因为krc= 2+ 3 1-s =-号k=km==1.ian∠DPC= kre-krp 5 所以tan∠BMD=tan∠DPC,即∠BMD=∠DPC 法2：因为kPB=1,kc=-1,则BD=BC,又BC⊥PD,BM=BP=√2，所以Rt△BPC≌△BMD 所以∠BMD=∠DPC 法3：根据km=1.ke=-L,所以对称性可得到D(-号，一号，所以DC⊥PM, 因此M为△PBC的垂心，设DM与PC交于点N彦P,B,M,N四点共圆，则∠BMD=∠DPC (3)法1：若存在实数A,使得B亟=DC,则有BE∥DC,所以P元=P元，P它=PC 由题意可知，1∈(0,1). 设C(z2),D(ah),由PB=PD得B(+1-A,+2-2), 又B,D均在椭圆上，所以 9+=1 +1-Y+w+2-2P=1 上式变形为 停+=1 +时++0+a-m+4-=1 2 所以1-二西+ -+401-5+41-水=1-化简得21+16+13-211=0， 4 +8 同理可得22+16+13-21A=0, 即直线DC:2Ac+16y+13-211=0, 所以DC的斜率为-合， 法2：设C(,).D(x2,),CD中点N(,,由点差法 +=12.业=- 型千5=1 2x% 4 即owkco=一 同理取BE中点G,可得koc·ka=-},若酝=D心，则BE∥DC,所以kam=k儒，所以kaw=ko@ 则点O,N,G,P共线，所以ka=kp=2,所以kg=-号·号=-名 19.(17分) 如果数列{a}满足a1≤ana+2(n∈N),则称之为凸数列. 现给定函数f(x)及凸数列{a},它们满足以下两个条件： ①0<an<a+ii ②对yn≥2，有f(a)-f(a+i)川≤严an-an+l≤f(an-)-f(a)1(a为正常数) ()若数列满是6，>16=安6+安)且数列e}满足c=h哈告，请判断6)是否为凸数 列，并说明理由； (2若fa)-ftal=2,求证之la-a>18 (3)对任何大于等于2的正整数i,j且i≤j,求证：(a,)-f(a川≤a-al: 0图>一+哈)-cn=哈昌= +安)=n(》 2(6+)-1 =am哈 =2Ca,即c+1=2c,而c华0，所以{cn}为等比数列，cn+=cnCn+,符合凸数列要求， 即数列{cn}为凸数列： (②)因为a1>a>0,所以a1≤a,a2<ta2,故a1-a.<an2-a,又a.<an 2 所以lan+1-an|<lan+2-aa+il lf(a)-f(a)l≤la2-aal≤f(a)-f(a)l,且lf(a)-f(a)川≤la-al≤f(a)-f(a)l, 故laa-al≤a-al 又la2-a<lag-al,故1ag-al<lag-al, 因为0<an<an,所以a-al>0,则<，又>0，得0<1<1. ·9 所以f(an)-f(ail≤"la.-al<la,-ail lom-a.l=lan-aml+..+-lox-oal>9las-oal>9lf(a)-f(aJl- (3)当i=j时，f(a)-f(a川=la-a,结论显然成立当2≤i<j时， lf(a)-f(aj)l=lf(a)-f(aj-1)+f(aj-1)-f(aj-2)+..+f(a)-f(a)l ≤f(a）-f(a-i川+lf(a-）-f(ay-川+…+f(a)-f(a)l<a-西-l+la-a-+…+la4-al =(a-a-)+(a-1-a-2）+…+(a+1-a)=la-al 综上，f(a,)-f(a)川≤a-al