精品解析：重庆市巴蜀中学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷（B）

高2026届高二（上）入学考试数学试题卷（B） 命题人：黄颖 审题人：詹乐 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（   ） A. B. C. D. 3. 已知两条不同的直线，两个不同的平面，则（ ） A. 若则 B. 若则 C. 若则 D. 若则 4. 平均数､中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关在下图分布形态中，a，b，c分别对应这组数据的平均数､中位数和众数，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面四边形ABCD中，若，，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 6. 用平行于底面的平面截正四棱锥，截得几何体为正四棱台.已知正四棱台的上､下底面边长分别为1和2，侧棱与底面所成的角为，则该四棱台的体积是（ ） A B. C. D. 7. 在矩形中，，，为矩形所在平面内的动点，且，则的最大值是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 8. 已知正四棱锥的所有棱长均为2，点为正四棱锥的外接球球面上一动点，，则动点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ） A. 考生参赛成绩的平均分约为72.8分 B. 考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分 C. 分数在区间内的频率为0.2 D. 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人 10. 在中，设角所对边分别为，则下列命题一定成立的是（ ） A. 若，则锐角三角形 B. 若，，，则有唯一解 C. 若是锐角三角形，，，设的面积为S，则 D. 若锐角三角形，则 11. 如图，在直三棱柱中，与相交于点，点是侧棱上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 直三棱柱的体积是6 B. 三棱锥的体积为定值 C. 的最小值为 D. 直三棱柱的外接球表面积是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角，，的对边依次为，，，，，，的面积为 __ 13. 如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，则的最小值为_____. 14. 如图，已知点是圆台的上底面圆上的动点，在下底面圆上，，，，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，点是的中点，是线段上靠近的三等分点，. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 16. 在中，点D在上，，. （1）求的值； （2）若，求的长. 17. 随着科技的发展，互联网也随之成熟，网络安全也涉及到一个国家经济，金融，政治等安全．为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会．已知甲每次解开密码的概率为，乙每次解开密码的概率为，每次是否解开密码也互不影响．设，，， （1）已知概率， （i）求值． （ii）求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率． （2）若，求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值． 18. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 19. 如图，已知是的外心，，，，，． （1）判断的形状，且求时的值； （2）当时， ①求的值（用含的式子表示）； ②若，求集合中的最小元素． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2026届高二（上）入学考试数学试题卷（B） 命题人：黄颖 审题人：詹乐 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的模长公式及除法运算求解复数，然后求其共轭复数即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以. 故选：B 2. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据在这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有3组，根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有：共3组， 故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为. 故选：A. 3. 已知两条不同的直线，两个不同的平面，则（ ） A. 若则 B. 若则 C. 若则 D. 若则 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行的性质结合线线的位置关系，判断A；根据面面垂直的性质结合线面的位置关系，判断B；根据线面垂直的性质结合线面的位置关系，判断C；根据线面平行的性质定理判断D. 【详解】对于A，若则可能平行，也可能异面，A错误； 对于B，若则可能有，也可能有，B错误； 对于C，若则有可能是，也可能，C错误， 对于D，根据线面平行的性质定理可知若则，正确， 故选：D 4. 平均数､中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关在下图分布形态中，a，b，c分别对应这组数据的平均数､中位数和众数，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用数据分布图左拖尾，即平均数小于中位数，再利用众数是用最高矩形的中点值来估计，可判断众数大于中位数，即可作出判断. 【详解】由数据分布图知，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数为右起第二个矩形下底边的中点值， 直线左右两边矩形面积相等，而直线左边矩形面积大于右边矩形面积，则， 又数据分布图左拖尾，则平均数小于中位数，即， 所以. 故选：A 5. 如图，在平面四边形ABCD中，若，，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由余弦定理得出，再应用正弦定理求边长即可. 【详解】在中，由余弦定理， 得，所以， 因为，所以， 在中，， 由正弦定理，得，所以． 故选:D． 6. 用平行于底面的平面截正四棱锥，截得几何体为正四棱台.已知正四棱台的上､下底面边长分别为1和2，侧棱与底面所成的角为，则该四棱台的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正四棱台性质可求得该棱台的高，代入棱台的体积公式即可求得结果. 【详解】如下图所示：分别为上下底面的中心，作于点， 根据题意可知，侧棱与底面所成的角即为，可知； 因此可得， 易知，由正四棱台性质可得； 所以该正四棱台的高为， 因此该四棱台的体积是. 故选：B 7. 在矩形中，，，为矩形所在平面内的动点，且，则的最大值是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设，根据条件得到，从而得到，又，结合图形，得，即可求出结果. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，设，中点为， 因为，，所以,，，， 得到，所以， 又因为，所以， 又，当且仅当（在的延长线上）三点共线时取等号， 所以， 故选：B. 【点睛】关键点点晴：设，利用向量数量积的坐标运算，得到，再利用圆的几何性质，即可求解. 8. 已知正四棱锥的所有棱长均为2，点为正四棱锥的外接球球面上一动点，，则动点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接、，设，连接，分析可得为正四棱锥外切球的球心，且外接球的半径，作出正四棱锥外接球的轴截面（过点、、），过点作交于点，即可求出，从而求出轨迹长. 【详解】依题意，正四棱锥的所有棱长均为，连接、， 设，连接，则平面，则， 所以，所以， 则为正四棱锥外切球的球心，且外接球的半径， 作出正四棱锥外接球的轴截面（过点、、）如下所示： 因为，所以为等边三角形，所以， 过点作交于点，则， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 所以动点的轨迹长度为. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ） A. 考生参赛成绩的平均分约为72.8分 B. 考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分 C. 分数在区间内的频率为0.2 D. 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人 【答案】BC 【解析】 【分析】利用频率分布直方图估计平均数判断A；求出第75百分位数判断B；求出分数在区间内的频率判断C；用分层随机抽样求出区间内应抽人数判断D. 【详解】对于A，平均成绩为，A错误； 对于B，由频率分布直方图知，分数在内的频率为0.7，在内的频率为0.9， 因此第75百分位数位于内，第75百分位数为，B正确； 对于C，分数在区间内的频率为，C正确； 对于D，区间应抽取人，D错误. 故选：BC 10. 在中，设角所对的边分别为，则下列命题一定成立的是（ ） A. 若，则是锐角三角形 B. 若，，，则有唯一解 C. 若是锐角三角形，，，设的面积为S，则 D. 若是锐角三角形，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由余弦定理可判断； 由正弦定理可判断； 利用边化角结合面积公式可得，求的范围，结合正弦函数的性质可得的范围，即可判断； 由锐角三角形可得及，利用在上的单调性结合诱导公式可判断. 【详解】， ， ， 为锐角，但不能确定角是否为锐角， 故不一定是锐角三角形，故错误； 由正弦定理得， ， ， 有唯一解，故正确； ， ，， ， 又，解得， ，， ， ， ，即，故正确； 是锐角三角形，， 又， ，， 又在上单调递增， ，， ，故正确； 故选：. 11. 如图，在直三棱柱中，与相交于点，点是侧棱上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 直三棱柱的体积是6 B. 三棱锥的体积为定值 C. 的最小值为 D. 直三棱柱的外接球表面积是 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，求出，从而根据柱体体积公式得到答案；B选项，为定值，点到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值；C选项，将矩形与矩形展开到同一平面内，由勾股定理求出最小值；D选项，将直三棱柱补形为长方体，求出外接球半径，得到外接球表面积. 【详解】A选项，直三棱柱中，， 所以，直三棱柱的体积是，A正确； B选项，矩形的面积为， 当是侧棱上运动时，为定值， 又点到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值，B正确； C选项，将矩形与矩形展开到同一平面内，如图所示， 连接，与相交于点， 故的长即为的最小值，故最小值为， 的最小值为5，C错误； D选项，将直三棱柱补形为长方体， 则长方体的外接球即为直三棱柱的外接球， 故外接球的半径为， 表面积为，D正确, 故选：ABD 【点睛】特殊几何体的内切球或外接球的问题，常常进行补形，转化为更容易求出外接球或内切球球心和半径的几何体，比如墙角模型，对棱相等的三棱锥常常转化为棱柱来进行求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角，，的对边依次为，，，，，，的面积为 __ 【答案】1或 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理，结合二倍角余弦公式、正弦定理、三角形面积公式分类讨论进行求解即可. 【详解】因为， 所以，即， 所以，或， 因为， 所以，或． 因为，， 当时，，可得，； 当时，由正弦定理，可得， 可得． 故答案为：1或 13. 如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，则的最小值为_____. 【答案】3 【解析】 【分析】先由题意得，进而由共线定理得，接着结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，， 所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立. 所以的最小值为3. 故答案为：3. 【点睛】思路点睛：根据已知条件关系和所求问题的特征，结合向量的环境优先考虑共线定理中的三点共线系数和为1，故先由题意得，从而由共线定理得，接着结合基本不等式可求解. 14. 如图，已知点是圆台的上底面圆上的动点，在下底面圆上，，，，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标，设出未知点的坐标，利用向量法求线面角正弦值的最大值，再求余弦值的最小值即可. 【详解】解：连接，过点作垂直于的延长线于点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示： 在三角形中，因为， 故， 则， 则， ， 故点，又，，， 设点，，由，可得， ，， 设平面的法向量， 则，即， 取，则， 故平面的法向量， 又， 设直线与平面所成角为，， 则， 因为，且， 故令，，， 则，，， 又，所以， ，即， 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，点是的中点，是线段上靠近的三等分点，. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：如图， 连接交于点，连接， 四边形是正方形，为中点， 是中点，， 平面平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，由中位线证明线线平行，然后由线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面垂直证明出，计算出三角形的面积，设点到平面的距离为，由等体积法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面，平面，. 又四边形是正方形，. 又，平面，平面. 又平面. 点是的中点，. 又，平面，平面. 又平面. 又易知. . . 又是线段上靠近的三等分点， ， . 设点到平面的距离为，则，解得. 点到平面的距离为. 16. 在中，点D在上，，. （1）求的值； （2）若，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理与正弦定理依次求得，从而得解； （2）利用向量的线性运算与数量积的运算法则即可得解. 【小问1详解】 在中，，，则， 所以 ，所以， 又，则. 【小问2详解】 因为，则， 所以， 又， 所以 ， 则. 17. 随着科技的发展，互联网也随之成熟，网络安全也涉及到一个国家经济，金融，政治等安全．为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会．已知甲每次解开密码的概率为，乙每次解开密码的概率为，每次是否解开密码也互不影响．设，，， （1）已知概率， （i）求的值． （ii）求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率． （2）若，求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值． 【答案】（1）（i）；（ii）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）根据独立性性质建立方程，即可求解；（ii）由（i）知：，设“甲乙两人两次一共解开密码3次的事件”，则，再根据互斥加法公式和独立性乘法公式即可求解； （2）由可得，从而求得，再利用基本不等式即可求得最小值. 【小问1详解】 （i）由题知， 解得：， （ii）由（i）知：， 设“甲乙两人两次一共解开密码3次的事件”，则 与互斥，与与分别相互独立， 所以 ， 因此，甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率为． 【小问2详解】 由题知：， ， 设“甲乙两人两次一共解开密码3次的事件”，则 与互斥，与与分别相互独立， 所以 ， ，当且仅当时等号成立， ． 故甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值为. 18. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，， 又平面， 所以平面，平面，所以， 又已知，且都在面内，所以平面； （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系； （2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小； （3）假设存在点，使平面与平面成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. 因为，故， 由几何关系可知，，，， 故，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 不妨令，则，，. 设与平面所成角的大小为， 则有， 设为与平面所成角，故， 即与平面所成角的大小为； 【小问3详解】 假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为. 在空间直角坐标系中，，，， 设，则，， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 若平面与平面成角余弦值为. 则满足， 化简得，解得或，即或， 故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或. 19. 如图，已知是的外心，，，，，． （1）判断的形状，且求时的值； （2）当时， ①求的值（用含的式子表示）； ②若，求集合中的最小元素． 【答案】（1）为等边三角形； （2）①② 【解析】 【分析】（1）借助向量的数量积公式计算即可得其夹角，即可得其形状，由题意可得的中点为，即可结合向量的线性运算得解； （2）①由题意可得、、分别为，，的等分点，借助向量的线性运算与数量积公式计算即可得；②借助一次函数的单调性逐步计算即可得. 【小问1详解】 ，， 则，即，故为等边三角形， 由题意知的中点为，且， ，， 故； 【小问2详解】 ①由为等边三角形，为外接圆的圆心， 故，，，， ，，， ，， 又，故、、分别为，，的等分点， ； 同理， 故； ②令， 由，故， 可以看为自变量为的一次函数， 在时取得最小值， 同理，由，在时取得最小值，， 在时取得最小值，， 故的最小值为， 即集合中的最小元素为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $