上海市南洋模范中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷

南洋模范中学高三开学考数学试卷 2024.09 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 已知a，b均为实数，，则___________. 2. 的展开式中，常数项为______． 3. 已知平面向量的夹角为，则___________ 4. 不等式的解集为________． 5. 设，若，则实数的取值为______. 6. 圆的半径的最大值为______. 7. 已知，则______. 8. 已知点为双曲线右支上的一点，点，分别为双曲线的左、右焦点，若M为的内心，且，则双曲线的离心率为________． 9. 在一座尖塔的正南方向地面某点，测得塔顶的仰角为，又在此尖塔北偏东地面某点，测得塔顶的仰角为，且，两点距离为，在线段上的点处测得塔顶的仰角为最大，则点到塔底的距离为______m. 10. 已知是定义在上的奇函数，且，都有，当时，，则函数在区间内所有零点之和为______． 11. 已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为__________. 12. 定义：对于函数和数列，若，则称数列具有“函数性质”.已知二次函数图象的最低点为，且，若数列具有“函数性质”，且首项为1的数列满足，记的前项和为，则数列的最小值为__________. 二、单选题（本大题共4题，满分20分） 13. 某校高一年级个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，抽得个班的比赛得分如下：，则这组数据的分位数为（ ） A. B. C. D. 14. 已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面，，则（ ） A. 若∥，，，则∥ B. 若，，，则 C. 若，，则∥ D. 若，，∥，则∥ 15. 已知函数．若存在，，使得，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 16. 在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点与直线上任意一点，称的最小值为点与直线间的“切比雪夫距离”，记作，给定下列两个命题： ①已知点，直线，则； ②定点、，动点满足则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的是（ ） A. 命题①成立，命题②不成立 B. 命题①不成立，命题②成立 C. 命题①②都成立 D. 命题①②都不成立 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的正弦值． 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求的解析式； （2）求当时，函数的值域. 19. 某大学数理教学部为提高学生的身体素质，并加强同学间的交流，特组织以“让心灵沐浴阳光，让快乐充满胸膛”为主题的趣味运动比赛，其中A、B两名学生进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每场比赛不存在平局，获胜者得1分，失败者不得分，其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利，但本次比赛最多进行6场．假设每场比赛中A同学获胜的概率均为，且各场比赛的结果相互独立． （1）求趣味比赛进行到第2场时比赛就结束的概率； （2）此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的场数为X，求X的分布列及数学期望． 20. 已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点. （1）若椭圆上点满足，求的值； （2）点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围； （3）已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足（），求的最大值. 21. 我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为.幂指函数在求导时，可以将函数“指数化”再求导.例如，对于幂指函数，. （1）已知，，求曲线在处的切线方程； （2）若且，研究函数的单调性； （3）已知，，，均大于0，且，讨论和的大小关系. 南洋模范中学高三开学考数学试卷 2024.09 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 【1题答案】 【答案】21 【2题答案】 【答案】3 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】## 【7题答案】 【答案】## 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、单选题（本大题共4题，满分20分） 【13题答案】 【答案】A 【14题答案】 【答案】D 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】C 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 【17题答案】 【答案】（1）证明：连接交于， 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，所以是的中点，而D是AB的中点， 因此有，而平面，平面， 所以平面； （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）分布列： 2 4 6 数学期望为 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【21题答案】 【答案】（1） （2）在单调递增. （3）当时， ； 当时， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $