精品解析：甘肃省武威市凉州区2024-2025学年高二上学期暑期学习质量检测（开学考）数学试卷

2024-2025学年度第一学期暑期学习检测卷 高二数学 考试时间：120分钟　　　总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 76是等差数列4，7，10，13，…的第（ ）项 A. 25 B. 26 C. 27 D. 28 【答案】A 【解析】 【分析】先求出该等差数列的通项公式，再代入，即可得到答案. 【详解】设该等差数列为， 由题意可知，首项为4，公差为3， 则 故， 得 故选：A 2. 若数列满足，，（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过计算数列的前几项，可得数列为3为周期的数列，计算可得所. 【详解】解：数列满足，， 可得，可得； ，可得， 可得数列为3为周期的数列， 又 . 故选：C. 3. 在等差数列中，，则数列的前8项和等于（ ） A. 16 B. 24 C. 32 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用等差数列的性质求解数列的和即可. 【详解】由题意， 所以. 故选：C 4. 在等比数列中，若，，则的值为（ ） A. 12； B. -12； C. ； D. 144． 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的性质直接计算作答. 【详解】在等比数列中，，，则，且，解得， 所以的值为12. 故选：A 5. 若数列满足，其前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，数列为等差数列，设数列的公差为，根据已知条件求出的值，可得出的值，利用等差数列的求和公式可求得的值. 【详解】因为数列满足，则数列为等差数列， 设数列的公差为，则，可得， 所以，， 所以，. 故选：B. 6. 已知是数列的前项和，，数列是公差为1的等差数列，则（ ） A. 479 B. 480 C. 291 D. 290 【答案】B 【解析】 【分析】令，由基本量法求出通项，再由等差数列的前项和公式求出结果即可； 【详解】因为是数列的前项和，，且数列是公差为1的等差数列，令，可得， 所以， 所以． 故选：B． 7. 等比数列的前n项和为，已知，则（ ） A. B. C. 10 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的前n项和的定义以及公式即可求出． 【详解】因为，可得，设数列的公比为q，则． 所以． 故选：C． 8. 观察图中各正方形图案，每条边上有个圆点，第个图案中圆点的个数是，按此规律推断出所有圆点总和与的关系式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先观察给出的正方形图案，将各圆点的个数列出来，探讨规律,将其转化为特殊的数列，再用求和公式求解. 【详解】解：观察各个正方形图案可知各圆点的个数为：，，，，…， 归纳为：圆点个数为首项为4，公差为4的等差数列， 因此所有圆点总和即为等差数列前项和，即， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知数列是等比数列，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 数列是等比数列 C. 数列是等比数列 D. 若，则数列是递增数列 【答案】BD 【解析】 【分析】利用等比数列的性质一一判定即可. 【详解】设的公比为，所以，所以，， 所以，故A错误； 因为数列是等比数列，所以，所以， 又，所以数列是等比数列，故B正确； 当时，，此时不是等比数列，故C错误； 因为，故，化简得，故， 所以，故， 所以数列是递增数列，故D正确． 故选:BD． 10. 已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由等差数列求和公式结合已知即可验算；对于B，由等差数列求和公式结合即可验算；对于CD，由等差数列性质即可验算. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，当时， ，即，故D错误. 故选：BC. 11. 已知数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】依次求出数列的前几项，观察可知数列是周期数列，周期是3.根据数列的周期性，即可求出答案. 【详解】对于A项，因为，所以，故A项正确； 对于B项，因为，所以，故B项错误； 对于C项，因为， 所以，，， 观察可知，所以数列是周期数列，周期是3， 则，故C项正确； 对于D项，，故D项正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列，a，b，成等差数列，，c，成等比数列，则的值为_______. 【答案】或 【解析】 【分析】利用等差数列和等比数列的性质，求出和的值，可得的值 【详解】数列，a，b，成等差数列，则有； ，c，成等比数列，则有，解得. 所以的值为或. 故答案为：或 13. 已知数列是各项均为正数的等比数列，是它的前n项和，若，且，则______． 【答案】126 【解析】 【分析】利用等比数列性质求出，再结合求出公比及首项，利用前n项和公式计算作答. 【详解】设正项等比数列的公比为，由，得，而，解得， 又，则，于是，而，解得，， 所以. 故答案为：126 14. 数列的前项和，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用裂项相消求和即可. 【详解】由题意，， 则 故答案为： 四、解答题 共77分.第17题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2－30n. (1)求数列{an}的通项公式an；(2)求Sn的最小值及对应的n值． 【答案】(1) an＝4n－32，n∈N＋. (2)当n＝7或8时，Sn最小，且最小值为S7＝S8＝－112. 【解析】 【分析】（1）根据数列的前n项和与通项的关系可求通项公式；（2）对于前n项和的最值可以用以下两种方法求解，方法一，利用二次函数的最值求法（对称轴法）求解；方法二，根据数列的单调性求解，先判断从第9项开始，有an>0，之前各项为负，故其前7项或前8项之和最小． 【详解】(1)∵Sn＝2n2－30n，∴当n＝1时，a1＝S1＝－28. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－30n)－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32. ∴an＝4n－32，n∈N＋. (2)方法一 Sn＝2n2－30n＝2(n－ )2－ ， ∴当n＝7或8时，Sn最小，且最小值为S7＝S8＝－112. 方法二 ∵an＝4n－32，∴a1<a2<…<a7<0，a8＝0，当n≥9时，an>0. ∴当n＝7或8时，Sn最小，且最小值为S7＝S8＝－112 【点睛】数列的前n项和的最值问题求解方法： （1）把前n项和看作是关于n的函数，利用具体函数的最值求法解决； （2）首先判断数列的单调性，确定它的正数项或负数项的开始位置，再求和． 16. 已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）求. 【答案】(1) ；（2）． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，根据等差数列的通项公式可得， 进而求出，由此即可求出结果； （2）由题意可知， ，表示以23为首项，公差为-6的等差数列的前项和，根据等差数列前项和公式即可求出结果. 【详解】（1）因为成等比数列，所以， 又数列是公差不为零的等差数列，所以， 又，所以； ∴． （2）由题意可知， 数列 是以23为首项，公差为-6的等差数列， 所以，表示以23为首项，公差为-6的等差数列的前项和， 所以. 【点睛】本题考查了主要考查了等差数列的通项公式、相关性质和前项和公式的应用，考生数列掌握等差数列的相关公式是解决本题的关键. 17. 已知数列是公差不为零的等差数列，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列性质得到，解得答案. （2）利用分组求和法结合等差等比数列求和公式计算即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 因为成等比数列，所以， 解得或（舍去）. 故. 【小问2详解】 由（1）可得， 故 18. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列公式，运用条件列方程求出； （2）运用裂项相消法求解. 【小问1详解】 设数列{}的公差为， 由，得 ，解得 ， ； 【小问2详解】 ， ； 综上， . 19. 已知数列的前项的和为，且，. （1）证明数列是等比数列，并求的通项公式； （2）求数列前项的和. 【答案】（1） 因为数列满足，，则，且， 所以，数列是首项和公比均为的等比数列， 则，故. （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义可证得结论成立，确定等比数列的首项和公比，可求得数列的通项公式； （2）利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，① 则，② ①②得， 所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期暑期学习检测卷 高二数学 考试时间：120分钟　　　总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 76是等差数列4，7，10，13，…的第（ ）项 A. 25 B. 26 C. 27 D. 28 2. 若数列满足，，（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3. 在等差数列中，，则数列的前8项和等于（ ） A. 16 B. 24 C. 32 D. 64 4. 在等比数列中，若，，则的值为（ ） A. 12； B. -12； C. ； D. 144． 5. 若数列满足，其前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是数列的前项和，，数列是公差为1的等差数列，则（ ） A. 479 B. 480 C. 291 D. 290 7. 等比数列的前n项和为，已知，则（ ） A. B. C. 10 D. 9 8. 观察图中各正方形图案，每条边上有个圆点，第个图案中圆点的个数是，按此规律推断出所有圆点总和与的关系式为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知数列是等比数列，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 数列是等比数列 C. 数列是等比数列 D. 若，则数列是递增数列 10. 已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 11. 已知数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列，a，b，成等差数列，，c，成等比数列，则的值为_______. 13. 已知数列是各项均为正数的等比数列，是它的前n项和，若，且，则______． 14. 数列的前项和，若，则______. 四、解答题 共77分.第17题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2－30n. (1)求数列{an}的通项公式an；(2)求Sn的最小值及对应的n值． 16. 已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）求. 17. 已知数列是公差不为零的等差数列，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 18. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求. 19. 已知数列的前项的和为，且，. （1）证明数列是等比数列，并求的通项公式； （2）求数列前项的和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $