精品解析：河南省周口市太康县第一高级中学2025届高三上学期第一次测试数学试题

太康县第一高级中学2024-2025学年高三上学期第一次测试 数学试题 满分：150分 时长：120分钟 命题人：顾本栋 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知，，且，则的最小值为（ ） A 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，满足，当，且时，恒成立，设，，（其中），则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 8. 如果函数在区间上单调递减，则mn最大值为 A 16 B. 18 C. 25 D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为9 C. 的最小值为 D. 的最大值为2 10. 函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是． A B. C. D. 11. 以数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名的“高斯函数”为，其中表示不超过x的最大整数，例如，，则（ ） A. ， B. 不等式的解集为 C. 当，的最小值为 D. 方程的解集为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数为上的奇函数，则_________． 13. 已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是_________． 14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． （1）请你利用这个结论求得函数的对称中心为_________． （2）已知函数与一次函数有两个交点，，则_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知幂函数在定义域内单调递增． （1）求的解析式； （2）求关于x的不等式的解集． 16. 设，函数（）． （1）若函数是奇函数，求a的值； （2）请判断函数的单调性，并用定义证明． 17. 已知，． （1）若，，求，； （2）若，求m的取值范围． 18. 佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）.若每台机器售价万元，且该机器能全部卖完. （1）求月利润（万元）关于月产量（台）的函数关系式； （2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润. 19. 已知二次函数． （1）若，使等式成立，求实数a取值范围． （2）解关于x的不等式（其中）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 太康县第一高级中学2024-2025学年高三上学期第一次测试 数学试题 满分：150分 时长：120分钟 命题人：顾本栋 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定，再计算补集得到答案. 【详解】，故. 故选：C 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，根据解的范围大小得到答案. 【详解】，则；，则， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】取可排除A；取可排除B；取可排除D；由可知，然后两边同乘以，可判断C. 【详解】A选项：若，，则，A错误； B选项：取，则，B错误； C选项：若，则，所以，即，C正确； D选项：取，满足，但，D错误. 故选：C 4. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用均值不等式结合指数幂的运算即可求得答案 【详解】解：因为，所以 因为 所以， 当且仅当即时，取等号， 故的最小值为6， 故选：C 5. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论. 【详解】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 故选：B. 6. 已知函数的定义域为，满足，当，且时，恒成立，设，，（其中），则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得函数的图象关于对称，且在上是减函数，根据函数的对称性的单调性比较大小即可. 【详解】因为，所以函数的图象关于对称， 因为当，且时，恒成立， 所以函数在上是减函数， 又，，且， 所以. 故选：D. 7. 已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】若存在，使得成立，则说明在上不单调，分，和三种情况讨论求解. 【详解】若存在，使得成立，则说明在上不单调， 当时，，图象如图，满足题意； 当时，函数的对称轴，其图象如图，满足题意； 当时，函数的对称轴，其图象如图，要使在上不单调，则只要满足，解得，即. 综上，. 故选：D. 【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用及二次函数的性质的应用，得出在上不单调是解题的关键. 8. 如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为 A. 16 B. 18 C. 25 D. 【答案】B 【解析】 【详解】时，抛物线的对称轴为.据题意，当时，即..由且得.当时，抛物线开口向下，据题意得，即..由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为18.选B.. 考点：函数与不等式的综合应用. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为9 C. 的最小值为 D. 的最大值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，直接运用均值不等式即可判断； 对B，，运用均值不等式即可判断； 对C，，讨论二次函数最值即可； 对D，，讨论最值即可. 【详解】，，当时，即时，可取等号，A错； ，当时，即时，可取等号，B对； ，当时，可取等号，C对； ，D错. 故选：BC 10. 函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 是奇函数，故 ；又 是减函数，， 即 则有 ，解得 ，故选D. 11. 以数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名的“高斯函数”为，其中表示不超过x的最大整数，例如，，则（ ） A. ， B. 不等式的解集为 C. 当，的最小值为 D. 方程的解集为 【答案】AB 【解析】 【分析】设整数部分为，小数部分为，则，则得到A正确，解不等式得到，计算B正确，均值不等式等号条件不成立，C错误，举反例得到D错误，得到答案. 【详解】对选项A：设的整数部分为，小数部分为，则， 的整数部分为，，故，正确； 对选项B：，则，故，正确； 对选项C：， 当且仅当，即时成立，不成立，故等号不成立，错误； 对选项D：取，则，代入验证成立，错误； 故选：AB 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数为上的奇函数，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据得到，再根据计算得到答案. 【详解】函数为上的奇函数，故，， 故答案为： 13. 已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】画出函数和的图像，根据图像知且，解得答案. 【详解】，画出函数和的图像，如图所示： 不等式恰有一个整数解，则这个整数解为， 故且，解得. 故答案为： 14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． （1）请你利用这个结论求得函数的对称中心为_________． （2）已知函数与一次函数有两个交点，，则_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）将函数对称中心设出来，利用条件列方程组，解方程组可以得到对称中心坐标. （2）利用结论进行分析，得到的对称中心为，再根据恒过点，得到点为两个函数图像交点的中点，利用中点坐标公式计算推出的值. 【详解】（1）设点为函数图象的对称中心， 令，则为奇函数， 所以，即， 可得，， 所以，解得， 所以函数的对称中心为. 故答案为： （2）若函数的图象关于点成中心对称图形则函数为奇函数，所以，即， 所以函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件可转化为， 因为， ， 所以， 即对称中心为， 因为函数的图像是恒过点的直线， 所以交点，的中点为， 所以，，即. 故答案为： 【点睛】函数的图像关于点对称，等价于，也等价于. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知幂函数在定义域内单调递增． （1）求的解析式； （2）求关于x的不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取，再验证单调性得到答案. （2）根据函数的单调性和定义域得到不等式，解得答案. 【小问1详解】 幂函数在定义域内单调递增， 故，解得或， 当时，上单调递减，在上单调递增，不满足； 当时，在上单调递增，满足； 故. 【小问2详解】 在上单调递增，， 故，解得或，即. 16. 设，函数（）． （1）若函数是奇函数，求a的值； （2）请判断函数的单调性，并用定义证明． 【答案】（1） （2）函数在上为增函数，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，，即可求解； （2）首先根据解析式的形式，判断函数的单调性，再利用函数单调性的定义，即可证明. 【小问1详解】 若函数为奇函数，则， ，则， 解得，由，得； 【小问2详解】 函数为单调递增函数，证明如下： 设， 因为，所以，即，且，， 所以，即， 所以函数在上为增函数. 17. 已知，． （1）若，，求，； （2）若，求m的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）确定，，再计算交集和并集得到答案. （2）根据并集结果得到，且，构造，得到，解得答案. 【小问1详解】 ，， ，. 小问2详解】 ，，， 故，且，则，即. ，则， 解得，即. 18. 佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）.若每台机器售价万元，且该机器能全部卖完. （1）求月利润（万元）关于月产量（台）的函数关系式； （2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润. 【答案】（1）；（2）当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元. 【解析】 【分析】 （1）根据题意分别列出当及时，关于的解析式即可； （2）根据二次函数的性质计算当时，的最大值，根据基本不等式求解当时的最大值，然后比较得出最值. 【详解】（1）当时，； 当时， ∴ （2）当时，； 当时，取最大值万元； 当时， ， 当且仅当时，取等号 综上所述，当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元. 【点睛】本题考查函数的实际应用问题，考查基本不等式的实际应用，难度一般.解答时，根据题目条件列出函数的解析式是关键. 19. 已知二次函数． （1）若，使等式成立，求实数a的取值范围． （2）解关于x的不等式（其中）． 【答案】（1） （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）设，，则，变换得到，根据函数的单调性计算最值即可. （2）变换得到，考虑，，，，几种情况，解得答案. 【小问1详解】 设，，则，， 故，函数在上单调递增，在上单调递减， ，， 故. 【小问2详解】 ，即，整理得到， ①当时，不等式的解为； ②当时，不等式的解为或； ③当时， 若，不等式的解为； 若，不等式的解为； 若，不等式的解为； 综上所述： 当时，不等式的解为 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式解为； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$