精品解析：新疆维吾尔自治区塔城市塔城地区第一高级中学2025届高三上学期第一次联考(9月月考)数学试题

2024~2025学年高三第一次联考（月考）试卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则集合的真子集的个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 31 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】计算出后计算真子集个数即可. 【详解】由题得 所以，所以真子集个数为. 故选：A 2. 已知，，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由，，可得，而得不出，，可得结论. 【详解】因为，，若“，，则， 所以“，”是“”的充分条件； 当，满足，但不满足， 所以“，”不是“”的必要条件. 故选：A. 3. 国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（ ） A. 3.8小时 B. 4小时 C. 4.4小时 D. 5小时 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，再令，解出可得，即可得解. 【详解】由题意可知，即有， 令，则有，解得， ，故还需要4小时才能消除至最初的. 故选：B. 4. 若函数的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的值域为，可得函数的值域应包含，利用即可得解. 【详解】函数的值域为， 则函数的值域应包含， 则有，解得或， 所以的取值范围是. 故选：D. 5. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】点在幂函数的图象上，求出解析式，判断单调性，通过比较指数式与对数式的大小，由单调性判断函数值的大小. 【详解】点在幂函数的图象上，则有， 解得，有，则在R上单调递增. 由，， 则，所以， 即. 故选：C. 6. 已知函数，若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得：当时，，当，，当，，再借助导数研究函数单调性与二次函数的性质计算即可得解. 【详解】由题意知，当时，恒成立，即恒成立， 即有在上恒成立，令，则， 故当时，，当，， 即在上单调递减，在上单调递增， 即，即有； 当时，， 由题意可得，当，，当，， 则有当，，当，， 分别解得，，即； 综上所述：. 故选：D. 7. 已知函数的零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得分别为函数与的交点，作出三个函数的图象，由图象可得，再由，可得，即可得答案. 【详解】令，则， 令，则， 则由题意得分别为函数与的交点， 作出三个函数图象如图所示， 由图可得，所以， 由题意得，则， 所以，即， 所以. 故选：A 8. 已知，，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，利用换元法可将原式变形再利用基本不等式即可求得结果. 【详解】由可得，且 因此， 令，则； 又； 当且仅当时，即时，等号成立； 此时的最小值为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将未知数个数减少，并合理变形利用基本不等式求解. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是相同的函数 B. 函数的最小值为6 C. 若函数在定义域上为奇函数，则 D. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据定义域以及对应关系即可判断A，由基本不等式即可求解B，根据奇函数的性质即可求解C，由抽象函数定义域的性质即可求解D. 【详解】对于A，由题意可得，解得，所以的定义域为，． 由得，所以的定义域为,． 又因为，故函数与是相同的函数，故A正确． 对于B,，当且仅当时取等号．由于方程无解，故等号不成立，故B错误． 对于C,若在定义域上为奇函数， 当时，x需要满足， 则由奇函数定义域关于原点对称，可得， 此时，，为奇函数， 所以满足题意； 若，可得函数的定义域为,故，解得，经检验符合题意， 所以，故C错误， 对于D，对于已知函数的定义域为，则，故，则函数的定义域为，D正确， 故选：AD． 10. 若，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断ABC，利用特例判断D. 【详解】因为，且，所以， 所以，即，故A正确； 因为，，所以，故B错误； 因为，所以，故C正确； 当时满足题设条件，但不成立，故D错误. 故选：AC 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若在上单调递增，则的取值范围是 B. 点为曲线的对称中心 C. 若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是 D. 若存在极值点，且，其中，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A ，求导可得对恒成立，可求以的取值范围判断A；对于B ，通过平移可得，令，可得为奇函数可判断B；对于C ，将代入得到的解析式，根据过某点处导数的几何意义的求法求解即可判断C；对于D ，利用导数在函数单调性中的应用，先分和讨论函数的单调性，得到且，此时可得的表达式，令，结合，再化简即可得到答案可判断D. 【详解】对于A，由，可得， 若在上单调递增，则对恒成立， 所以对恒成立， 所以对恒成立， 所以，所以的取值范围是，故A错误； 对于B，由，可得， 又， 所以，令， 又，所以关于原点对称， 所以点为曲线的对称中心，故B正确； 对于C ，因为，， 所以， 所以， 设切点为，则切线的斜率， 化简得， 由条件可知该方程有三个实根，所以有三个实根， 记，所以， 令，解得或， 当，，所以在上单调递增， 当，，所以在上单调递减， 当，，所以在上单调递增， 当时取得极大值，当时，取得极小值， 因为过点可作出曲线的三条切线， 所以，解得，故选项C正确； 对于D ，因为 ， 所以， 当，在上单调递增； 当，由，解得或， 由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 因为存在极值点，所以，得， 令，所以，因为，于是， 又 ， 所以 化简得：， 因为，所以，于是，.所以，故选项D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查切线方程及函数对称性，关键是利用导数求得函数的单调性结合对称性解决D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂的运算法则和对数的运算法则、换底公式计算. 【详解】, 故答案为：. 13. 已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式的解集为______；当时，的最大值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】解分式不等式可得，再结合定义可得空一；分及，结合基本不等式计算可得空二. 【详解】由，即，解得， 又表示不超过的最大整数，故； 当时，，则， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，的最大值为. 故答案为：；. 14. 设函数，若，则的最小值为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据恒成立得出条件等式，即可构造函数，再借助导数研究其最小值即可得. 【详解】当时，，则，即， 当时，，则，即， 即有，即， 则，令，， ， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故，即的最小值为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题､共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）若，求和； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算出集合及集合后，结合集合交集定义与补集定义即可得； （2）由可得，分与计算即可得解. 【小问1详解】 若，则， ， 则，； 【小问2详解】 由，则， 当时，即恒成立，即； 当时，即时，， 由， 则有或，分别解得，无解，故； 综上所述：. 16. 已知关于的不等式的解集为. （1）求，的值； （2）若，，且，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合二次不等式与二次方程的关系可求； （2）利用乘1法，结合基本不等式可求． 【小问1详解】 不等式的解集为， 和是方程的两个实数根，且， ，解得； 【小问2详解】 （2）由（1）知， 于是有，，， 所以 当且仅当且，即时等号成立， 故的最小值为 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减； （2） 【解析】 【分析】（1）求导后，分、、及进行讨论即可得； （2）可将原问题转化为对任意的恒成立，构造函数，借助导数分及计算其最小值即可得. 【小问1详解】 ， 当时，恒成立， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，解得或， 则当，即时，恒成立，即在上单调递增； 当，即时， 当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减； 当，即时， 当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 由题意可得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，，则， 当时，恒成立， 故在上单调递增，则，符合要求； 当时，令，解得， 即当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 即，则有， 令，即，令，， 则，即在上单调递减， 即，即当时，恒成立，不符合要求； 综上所述，. 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求的值，并证明：在上单调递增； （2）求不等式的解集； （3）若在区间上的最小值为，求的值. 【答案】（1） （2）或； （3）或． 【解析】 【分析】（1）由奇函数性质得，解出；由单调性的定义即可求解， （2）由函数单调性、奇偶性可把不等式转化为具体不等式，解出即可； （3），令，可化为关于的二次函数，分情况讨论其最小值，令最小值为，解出即可； 【小问1详解】 是定义域为上的奇函数， ，，，， 此时， 经检验，符合题意； 函数的定义域为，在上任取，，且， 函数在上单调递增， 【小问2详解】 由（1）可知，且在上单调递增的奇函数， 由可得， ，即， 或， 不等式的解集为或； 【小问3详解】 ， ． 令，，， ， 当时，当时，，则（舍去）； 当时，当时，，解得，符合要求， 综上可知或． 19. 已知函数． （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）若恰有两个极值点． ①求 的取值范围； ②证明：． 【答案】（1） （2）①； ②证明：由知，，且 ， 则 ， 则要证，即证， 即， 令， ， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减， 又， 故存在，使，即， 则当时，时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 则， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 由，则， 即，即， 即可得证：. 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后结合二次函数的性质与极值点定义计算即可得；结合韦达定理可将证明转化为证明函数在上恒成立，借助导数结合零点的存在性定理可得存在，使，即，即可得，再利用对勾函数性质计算即可得. 【小问1详解】 当时，， ，则 则的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 ， 令，由恰有两个极值点， 则有两个不同实数根，且， 则有，即； 略 【点睛】方法点睛：结合韦达定理可将证明转化为证明函数在上恒成立，借助导数结合零点的存在性定理可得存在，使，即，即可得，再利用对勾函数性质计算即可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年高三第一次联考（月考）试卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则集合的真子集的个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 31 D. 32 2. 已知，，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（ ） A. 3.8小时 B. 4小时 C. 4.4小时 D. 5小时 4. 若函数的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是相同的函数 B. 函数的最小值为6 C. 若函数在定义域上为奇函数，则 D. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 10. 若，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若在上单调递增，则的取值范围是 B. 点为曲线的对称中心 C. 若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是 D. 若存在极值点，且，其中，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______. 13. 已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式的解集为______；当时，的最大值为______. 14. 设函数，若，则的最小值为_________. 四､解答题：本题共5小题､共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）若，求和； （2）若，求的取值范围. 16. 已知关于的不等式的解集为. （1）求，的值； （2）若，，且，求的最小值. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围. 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求的值，并证明：在上单调递增； （2）求不等式的解集； （3）若在区间上的最小值为，求的值. 19. 已知函数． （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）若恰有两个极值点． ①求 的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $