精品解析：河南省信阳市新县高级中学2025届高三上学期适应性考试（一）数学试题

2025届高三年级上适应性考试（一） 数学 2024.09 命题人：审题人： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知， 则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】由充分条件，必要条件定义，结合即可判定. 【详解】， 若，则，又，所以， 若，，故，即， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 2. 已知，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合二项展开式的性质，列出方程，即可求解. 【详解】由，且， 可得，解得. 故选：C. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数性质可判断b的范围，利用三角函数诱导公式求得c,并利用对数函数的性质比较的大小，即得答案. 【详解】因为， 所以, 故选：B. 4. 的展开式中第四项的系数为540，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式的展开式的通项公式可得，求得，再根据余弦的二倍角公式，结合齐次弦化切即可求解. 【详解】因为的展开式中第四项为， 所以，解得， 所以. 故选：C 5. 为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为（ ） A. 26 B. 25 C. 24 D. 23 【答案】C 【解析】 【分析】用插板法求得将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，每人至少分得一份的分法总数，再减去甲、乙两人分得的份数相同的分法总数，即可求解. 【详解】将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，每人至少分得一份，有种分法， 而甲、乙两人分得的份数相同，可以都是1份，2份，3份，4份共4种分法， 所以每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为种. 故选：C 6. 在中，，，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为坐标原点，所在直线为x轴，过垂直BC的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，求得点的轨迹方程，取的中点为，求得的轨迹方程，数形结合可求. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线为x轴，过垂直的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，由，可得是以为直径的圆， 所以的轨迹方程为， 取的中点为，设， 可得，所以，所以， 所以点的轨迹方程为，圆心为，半径为， 由，所以，所以， 所以， 所以. 故选：A. 7. 斜率为的直线分别与轴，轴交于两点，且与椭圆，在第一象限交于两点，且，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，根据题意得到，即，设直线的方程为，得，得，进而得，再根据求解即得. 【详解】设，，线段AB的中点为E， 由，，两式相减可得， 即，又由，，则， 设直线的方程为，（），可得，， 又，所以线段AB的中点为E也就是线段MN的中点，得， 所以，所以，即， 得， 故选：A 8. 在满足，的实数对中，使得成立的正整数的最大值为（ ） A. 15 B. 16 C. 22 D. 23 【答案】D 【解析】 【分析】由得，构造函数，利用导数求得的单调性，求得的取值范围，结合不等式的知识求得的最大值. 【详解】因为，，所以， 设，则， 令，则，令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，，， 所以， ，又，， 要使得成立，只需，即， 所以正整数的最大值为23. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值，以及运用构造函数法和放缩法.解题的关键是由变换得，构造函数，由的单调性得，结合不等式的知识求得的最大值. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件，“乙正面向上”为事件，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件，则下列判断正确的是（ ） A. 与相互独立 B. 与互斥 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据独立事件的定义判断A，根据互斥事件的定义判断B，根据独立事件及条件概率的概率公式判断C、D. 【详解】对于A，依题意，，， 所以事件与事件相互独立，故A正确； 对于B，由题意可知，事件与事件有可能同时发生， 例如“甲正面向上且乙正面向上”，故事件与事件不是互斥事件，故B错误； 对于C、D，，因为，所以， 所以，故C正确，D错误． 故选：AC． 10. 已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为锐角的直线与抛物线相交于，两点（点在第一象限），过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，直线与抛物线的准线相交于点，则（ ） A. 的最小值为2 B. 当直线的斜率为时， C. 设直线，的斜率分别为，，则 D. 过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，设直线的方程为，代入，得，根据焦半径的计算公式即可判断；对于B，根据交点弦的计算公式求解可判断；对于C，先得再根据斜率公式结合韦达定理即可求解；对于D，求得点的坐标即可判断. 【详解】，设直线的方程为. 对于A，把代入得， 设，则， 所以，A错； 对于B，当直线的斜率为时，，B对； 对于C，由题意知 则，， 所以，C对； 对于D，由有， 因为的方程为，令得， 所以点为的中点，即，D对. 故选：BCD. 11. 在平面四边形中，，，为等边三角形，将沿折起，得到三棱锥，设二面角的大小为.则下列说法正确的是（ ） A. 当时，，分别为线段，上的动点，则的最小值为 B. 当时，三棱锥外接球的直径为 C. 当时，以为直径的球面与底面的交线长为 D. 当时，绕点旋转至所形成的曲面面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，当为中点且时，长度最短，由等面积法可得求得最小值即可判断；对于B，利用截面圆的性质求解即可；对于C，根据题意画出球与底面的交线，从而可求解判断；对于D，转过的曲面为圆锥的一部分侧面积，从而可求解判断. 【详解】对于A， 如图，取中点，连接，，则，， 所以为二面角的平面角，角， 由题意可得， 当时，根据余弦定理可得， 当为中点且时，长度最短， 由等面积法可得，求得最小值为故A对. 对于B，如图，的外接圆的圆心分别为，三棱锥外接球的球心为，连接，则， 当时，则，所以， 所以球的半径故B错. 对于C，当时，如图，过球心作 则为的中点，且，又球半径为1，球与的一交点为， 则，又过作，， 球与底面的交线如图， 所以交线长为，故C对. 对于D，转过的曲面为圆锥的一部分侧面积，该圆锥母线长为，底面圆半径为1， 故面积为，故D对. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果涉及几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 12. 设为虚数单位．若集合，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用集合的包含关系，列出方程组，即可求解. 【详解】由集合，，因为， 当时，此时，方程组无解； 当时，此时，解得， 综上可得，实数的值为. 故答案为：. 13. 已知轴为函数的图像的一条切线，则实数的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，设切点为，，由题意列关于与的方程组，求解得答案． 【详解】解：由，得， 设切点为，， 则，消去并整理，得，则． ． 故答案为：． 14. 已知函数的定义域为，，，且对于，恒有，则________________. 【答案】## 【解析】 【分析】赋值求得，由可得，从而可求，进而求得当时，，从而利用求解即可. 【详解】由可得，所以， ， ， ，. 因为对于，恒有， 所以当时，，而， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键点是根据题意求得，，进而求得当时，. 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，直四棱柱的底面为平行四边形，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）若底面为矩形，，异面直线与所成角的余弦值为，求到平面的距离. 【答案】（1）证明：连接，交于点，连接， 则为的中点， 因为为的中点，所以，且， 因为为的中点，所以， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）通过证明平行于面内的一条直线，即可证明平面； （2）建立空间直角坐标系，设出的长并表达出各点坐标，利用异面直线与所成角的余弦值得出，求出平面的一个法向量，即可得出到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意（1）及几何知识得， 在直四棱柱中，， 两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，， . 设异面直线与所成角为，则 ， 解得：， 故， 则 设平面的一个法向量为， 到平面的距离为. 所以即取， 得. 所以， 即到平面的距离为. 16. 某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，然后统计并分析测试成绩以确定员工绩效等级． （1）已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为，求的分布列和数学期望． （2）该公司统计了七个部门测试的平均成绩（满分100分）与绩效等级优秀率，如表所示． 32 41 54 68 74 80 92 0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94 根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为经验回归方程．令，经计算得，． （i）已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率； （ii）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩，其中近似为样本平均数近似为样本方差．经计算，求某个部门绩效等级优秀率高于0.7875的概率． 参考公式与数据： ①． ②经验回归方程中，． ③若随机变量，则． 【答案】（1） X 0 1 2 3 P （2）（i）0.498；（ii）0.15865 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布的分布列与数学期望计算即可； （2）（i）两边取对数，得，再求经验回归方程即可； （ii）由（i）及提供的参考数据可知，再由正态分布的性质求解即可. 【小问1详解】 随机变量服从超几何分布，且的可能取值为， 且，． X 0 1 2 3 P . 【小问2详解】 （i）第一步：取对数．依题意，两边取对数，得，即． 第二步：求经验回归方程．其中， 由提供的参考数据，可知，又，故， 由提供的参考数据，可得，故． 当时，，即估计其绩效等级优秀率为0.498． （ii）由（i）及提供的参考数据可知， 又，即，可得，即， 又，且， 由正态分布的性质，得， 记“绩效等级优秀率高于0.7875”为事件，则， 所以绩效等级优秀率高于0.7875的概率约为0.15865． 17. 已知函数. （1）当时，求在的单调区间及极值. （2）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，将代入，去掉绝对值符号后求导即可求解； （2）根据题意可得，构造函数，然后去掉绝对值符号利用导数求解函数的最小值即可得到结果. 【小问1详解】 当，时，， 则， 令，解得， 令，解得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以在处取得极小值，无极大值. 【小问2详解】 依题意可得，对，恒成立， 即，令， 当时，，单调递减， 当时，，则， 令，解得，令，解得， 综上所述，在上单调递减，在上单调递增， 则，所以，即， 所以的取值范围为. 18. 已知数列为等比数列，为等差数列，且，，. （1）求，的通项公式； （2）数列的前项和为，集合共有5个元素，求实数的取值范围； （3）若数列中，，，求证：. 【答案】（1） ， （2） . （3） 由， 则当时， ， 当时，也满足上式， 所以， ， 所以原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）设数列的公比为，数列的公差为，由已知易得，，可求，； （2）设数列，可求得，，进而可得，可得，可求的取值范围为. （3），进而计算可得不等式成立. 【小问1详解】 设数列的公比为，数列的公差为， 则由，，所以，所以， ，即，所以， 所以； 【小问2详解】 设数列， 则， 所以 ， ， 令， ， 可得， 故当时，最大， 且， 所以，即的取值范围为. 【小问3详解】 略. 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线与椭圆相切，与圆相交于两点，设为圆上任意一点，求的面积最大时直线的斜率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由已知条件得，再表示出通径长，解方程组即可求得； (2) 设直线方程为,由直线与椭圆相切可得，用圆心到直线的距离表示的面积，得到一个关于的函数最大值问题，利用导数求出取最大值时的值，再求出此时的值即可，注意斜率不存在的情况讨论与比较. 【小问1详解】 由题椭圆的左焦点为， 即①； 当时，， 又过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，所以②， 由①②得：， 所以椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 当斜率存在时，设直线方程为,与联立，消去并整理得： 已知直线与椭圆相切，所以， 化简得：； 又O到直线的距离为， 设P到直线的距离为，则， 则的面积， 令, 得, 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，取得极大值也是最大值, 当斜率不存在时，可得， 此时的面积， 因为，所以， 综上：的面积最大值为，此时 故的面积最大时直线的斜率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三年级上适应性考试（一） 数学 2024.09 命题人：审题人： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知， 则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 2. 已知，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中第四项的系数为540，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为（ ） A. 26 B. 25 C. 24 D. 23 6. 在中，，，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 斜率为的直线分别与轴，轴交于两点，且与椭圆，在第一象限交于两点，且，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在满足，的实数对中，使得成立的正整数的最大值为（ ） A. 15 B. 16 C. 22 D. 23 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件，“乙正面向上”为事件，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件，则下列判断正确的是（ ） A. 与相互独立 B. 与互斥 C. D. 10. 已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为锐角的直线与抛物线相交于，两点（点在第一象限），过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，直线与抛物线的准线相交于点，则（ ） A. 的最小值为2 B. 当直线的斜率为时， C. 设直线，的斜率分别为，，则 D. 过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点，则 11. 在平面四边形中，，，为等边三角形，将沿折起，得到三棱锥，设二面角的大小为.则下列说法正确的是（ ） A. 当时，，分别为线段，上的动点，则的最小值为 B. 当时，三棱锥外接球的直径为 C. 当时，以为直径的球面与底面的交线长为 D. 当时，绕点旋转至所形成的曲面面积为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 12. 设为虚数单位．若集合，，且，则______． 13. 已知轴为函数的图像的一条切线，则实数的值为___________. 14. 已知函数的定义域为，，，且对于，恒有，则________________. 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，直四棱柱的底面为平行四边形，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）若底面为矩形，，异面直线与所成角的余弦值为，求到平面的距离. 16. 某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，然后统计并分析测试成绩以确定员工绩效等级． （1）已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为，求的分布列和数学期望． （2）该公司统计了七个部门测试的平均成绩（满分100分）与绩效等级优秀率，如表所示． 32 41 54 68 74 80 92 0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94 根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为经验回归方程．令，经计算得，． （i）已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率； （ii）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩，其中近似为样本平均数近似为样本方差．经计算，求某个部门绩效等级优秀率高于0.7875的概率． 参考公式与数据： ①． ②经验回归方程中，． ③若随机变量，则． 17. 已知函数. （1）当时，求在的单调区间及极值. （2）若恒成立，求的取值范围. 18. 已知数列为等比数列，为等差数列，且，，. （1）求，的通项公式； （2）数列的前项和为，集合共有5个元素，求实数的取值范围； （3）若数列中，，，求证：. 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线与椭圆相切，与圆相交于两点，设为圆上任意一点，求的面积最大时直线的斜率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $