第二章 直线和圆的方程 单元基础检测-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2025新高考直线与圆基础检测一 第Ⅰ卷 (选择题) 一、单选题 1. 已知圆 圆 则两圆的公切线条数为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 已知直线 与直线l₂:3x+(m+1)y+1=0平行, 则实数m= ( ) A. -4 B. 1 C. -4或1 3. 已知P为直线l:x-y+1=0上一点, 过点 P 作圆(C 的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为 ( ) A. 1 B. C. D. 2 4. 已知直线l: x+ my-2m-1=0, 则点P(2,-1)到直线l距离的最大值为 ( ) A. C. 5 D. 10 5. 已知圆 直线y= kx+2与圆O恰有一个公共点，则k的值为( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 6. 已知直线l: x-y+1=0, 则下列结论正确的是 ( ) A. 直线/的倾斜角是π/6 B. 若直线m: x-y-1=0, 则l⊥m C. 点(1,0)到直线l的距离是1 D. 过(2,-2)与直线l平行的直线方程是x-y-4=0 7. 已知两点A(-1,0), B(0,2), 点P是圆( 上任意一点，则△PAB面积的最小值是 ( ) A. B. 2 8. 已知点A(2,3), B(3,-1), 若直线l过点P(0,1)且与线段AB相交, 则直线l的斜率k的取值范围是 ( ) 或k≥1 或0≤k≤1 或k≥1 二、多选题 9. 已知圆 则 ( ) A. 圆O与直线 mx+y-m-1=0必有两个交点 B. 圆O上存在4个点到直线 的距离都等于1 C. 圆O与圆. 恰有三条公切线，则m=16 D. 动点P在直线x+y-4=0上，过点P向圆O引两条切线，A、B为切点，则四边形PAOB面积最小值为2 试卷第1页，共3页 10. 过点A(4,-3)作圆( 的切线，所得切线方程为 ( ) A. x=4 B. 15x+8y-36=0 C. y=-3 D. 8x-15y-3=0 11. 点P在圆 上，点Q在圆( 上, 则( ) A. |PQ|的最小值为2 B. |PQ|的最大值为7 C. 两个圆心所在的直线斜率为 D. 两个圆相交弦所在直线的方程为6x-8y-25=0 第II卷 (非选择题) 三、填空题 12. 已知直线l:x+ ay-5a-3=0与( 若直线l与⊙C 相交于 A，B两点，且 则a= . 13.已知圆 关于直线2ax+y+b-3=0(a,b为大于0的数)对称,则 的最小值为 ，此时直线方程为 . 14. 两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点，则这两条直线的交点坐标为 ，过交点并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程为 . 四、解答题 15. 已知圆 C过三点(1,3),(1,-7),(4,2). (1)求圆C的方程： (2)斜率为1的直线l与圆C交于 M，N两点，若△CMN为等腰直角三角形，求直线l的方程. 16. 已知两直线 和 的交点为P. (1)直线l过点P且与直线x+3y+1=0平行，求直线l的一般式方程； (2)圆C过点(1，0)且与l₁相切于点P，求圆C的一般方程. 试卷第2页，共3页 17. 在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①垂直于直线 ；②平行于直线 ③截距相等问题：直线l经过两条直线 和x+y-3=0的交点，且 . (1)求直线l的方程； (2)直线l不过坐标原点O，且与x轴和y轴分别交于A，B两点，求VAOB的面积. 18. 已知圆(C: 关于直线. 的对称圆的圆心为D，若直线l过点(1，4). (1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程； (2)若直线l与圆D交于A，B两点， 求直线l的方程. 19. 已知圆M经过两点A(2,2)、B(4,2), 且圆M 的圆心在直线 上. (1)求圆M 的方程; (2)若点 P为直线l: 上的动点，过点P作圆M的切线PQ、PR，切点为Q、R，求四边形PQMR面积的最小值，并出此时点P的坐标. 试卷第3页，共3页 参考答案： 1. B 【分析】确定两圆的位置关系后可得公切线条数. 【详解】圆C₂标准方程为( 则已知两圆圆心分别为 半径分别为 圆心距为 因此两圆外切，它们有三条公切线， 故选: B. 2. C 【分析】由直线平行的充要条件列式运算即可求解. 【详解】已知直线l₁:(m+2)x+2y-1=0与直线 平行，则当且仅当 解得m=-4或m=1. 故选: C. 3. A 【分析】根据已知条件，结合勾股定理以及点到直线的距离公式求解即可. 【详解】连接CA, 则 而|PC|的最小值为点 C到直线l的距离 所以 故选: A. 4. B 【分析】根据直线方程，可得直线过定点A(1，2)，即可求出结果. 【详解】直线l: x+ my-2m-1=0, 即x-1+m(y-2)=0,由 得到x=1,y=2, 所以直线过定点A(1,2),当直线l垂直于直线AP时，距离最大，此时最大值为 故选: B. 答案第1页，共11页 5. B 【分析】法一，直线与圆相切转化为圆心到直线的距离与半径相等，求参数k即可； 法二，直线过圆上定点，由相切性质得垂直关系，从而得斜率. 【详解】∵直线 kx-y+2=0与圆O恰有一个公共点, ∴直线与圆O相切， 法一，圆( 的圆心为O(0,0), 半径为2, ∴圆心到直线的距离 解得k=0. 法二, 由直线y= kx+2过定点(0,2), 设直线l，定点为M， 由M在圆( 上，直线与圆O相切， 故点 M 即为切点, 故直线l⊥OM, 即斜率k=0. 故选: B. 6. D 【分析】求解直线的倾斜角判断A，B； 点到直线的距离判断 C； 求解直线方程判断D. 【详解】对于A，直线的斜率为1，倾斜角为π/4，A 错误； 对于B, 直线x-y-1=0的倾斜角为 的倾斜角为 两直线不垂直，B错误； 对于C，点(1，0)到直线l的距离为 C 错误; 对于D, 设与直线l平行的直线方程为x-y+n=0, 因为它过(2,-2), 所以2-(-2)+n=0⇒n=-4, 过(2,-2)与直线l平行的直线方程是x-y-4=0, D正确, 故选: D. 7. D 答案第2页，共11页 【分析】求出直线AB的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点P到直线AB距离的最小值即可求得最小值. 【详解】两点A(-1,0), B(0,2), 则 直线AB方程为 圆 的圆心C(2,0), 半径r=1, 点C到直线AB:2x-y+2=0的距离 因此点P到直线AB 距离的最小值为 所以△PAB面积的最小值是 故选: D 8. D 【分析】根据两点间斜率公式计算即可. 【详解】直线PA的斜率为 直线PB的斜率为 结合图象可得直线l的斜率k的取值范围是 故选: D 9. AC 【分析】根据直线切过定点(1，1)切该定点在圆内可判断A：求出圆的圆心到直线l的距离可判断B：将圆 化成标准形式为，转化为两圆外切可判断C：由 且当PO最小时S△POA最小时可判断 D. 答案第3页，共11页 【详解】对于 A, 将直线 mx+y-m-1=0整理得(x-1)m+y-1=0, 由 知x=1,y=1, 所以直线 mx+y-m-1=0过定点(1,1), 因为1 所以该定点在圆内，故A 正确； 对于B，圆 的圆心到直线 的距离为 所以过圆心且与直线l平行的直线与圆相交有两个点到直线l的距离为1，与直线l平行且与圆相切，并且与直线l在圆心同侧的直线到l的距离为1，所以只有三个点满足题意，故B 错误； 对于 C，将圆 化成标准形式为 因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，所以 解得m=16, 故 C 正确; 对于D, 连接OP,OA,OB, 因为A,B为切点, 所以OA⊥PA,OB⊥PB,所以 且当PO最小时， 最小， 所以当PO与直线垂直时， 又因为半径为2， 所以 所以 故 D 错误. 答案第4页，共11页 故选: AC. 10. AB 【分析】根据切线斜率是否存在分类讨论，利用圆心到切线距离等于半径可求结果. 【详解】 由圆心为(3,1), 半径为1, 过点A(4,-3)斜率存在时, 2切线为y=k(x-4)-3, 则 可得 所以 即15x+8y-36=0; 斜率不存在时，x=4，显然与圆相切， 综上, 切线方程为: 15x+8y-36=0或x=4. 故选: AB. 11. BC 【分析】先求出两个圆的圆心坐标和半径，根据圆心距可得两圆相离，从而求得两圆上动点的距离最值，计算直线斜率公式判断各个选项： 【详解】对于 A、B选项: 由题意得: C₁(0,0), 半径为1, 半径为1， 圆心距为 又点P在圆C₁上，点Q在圆C₂上， 故 A 错误, B正确; 对于 C 选项：两个圆心所在直线斜率为 C 正确; 答案第5页，共11页 对于D 选项：圆心距 所以无公共弦，D错误； 故选: BC. 或-1 【分析】由弦长可求得圆心到该弦的距离，由点到直线的距离公式即可列方程求解. 【详解】若直线l与⊙C 相交于A，B两点，且 则圆心C到直线l的距离 所以 解得 或a=-1. 故答案为： 或-1. 13. 9-2 2x+3y-7=0 【分析】空1：由题意得直线2ax+y+b-3=0过圆心，从而得到4a+b=2，利用基本不等式“1”的妙用求解最小值：空2：由空1结果代入回直线方程即可. 【详解】圆 整理得 则其圆心为(2,1), 由题意得: 直线2ax+y+b-3=0过圆心(2,1), 所以4a+b=2, 又a>0, b>0, 所以 (当且仅当 时,取“=”). 此时直线方程为 即2x+3y-7=0. 故答案为： 14. ( ₃ 4x-3y+9=0 【分析】方法1：联立直线方程求出交点，进而由垂直关系结合点斜式写出方程： 方法2：由垂直关系设出方程，进而代入交点，得出方程； 方法3：设出直线束方程，进而由垂直关系得出方程. 【详解】方法1：由方程组 解得 即交点为 因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直， 答案第6页，共11页 所以所求直线的斜率为 由点斜式得所求直线方程为 即4x-3y+9=0; 方法2：由垂直关系可设所求直线方程为4x-3y+m=0. 由方程组 可解得交点为 代入4x-3y+m=0得m=9, 故所求直线方程为4x-3y+9=0; 方法3: 由题意可设所求直线的方程为(2x+3y+1)+λ(x-3y+4)=0, 即(2+λ)x+(3-3λ)y+1+4λ=0①, 又因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直， 所以3(2+λ)+4(3-3λ)=0, 解得λ=2, 代入①式得所求直线方程为4x-3y+9=0. 故答案为： (2)x-y+2=0或x-y-8=0 【分析】(1) 根据圆过点(1,3),(1,-7), 得到圆心在y=-2上, 设圆心坐标( ，再由圆心到圆上的点的距离相等求解； (2)设直线l的方程为：x-y+c=0，根据△CMN为等腰直角三角形，由圆心到直线的距离 求解. 【详解】(1) 解: 因为圆过点(1,3),(1,-7), 故圆心在y=-2上, 设圆心坐标(x,-2), 则 解得x=1. 故其半径 故圆的方程为： (2) 设直线l的方程为: x-y+c=0, 因为△CMN为等腰直角三角形， 答案第7页，共11页 ∴圆心到直线的距离 即|c+3|=5, 解得c=2或-8, 所以l: x-y+2=0或x-y-8=0. 16. (1)x+3y+4=0. 【分析】(1)联立求出P(-1，-1)，根据平行关系，设出直线l为 代入点 得到 求出答案； (2) 设圆的标准方程( 将(1，0)与P(-1，-1)代入，得到方程组，并根据相切关系得到关于斜率的方程，联立求出a，b，r，求出答案. 【详解】(1) 直线l与直线x+3y+1=0平行, 故设直线l为. 联立方程组 解得 ∴直线 和l₂:3x-2y+1=0的交点P(-1,-1). 又直线l过点P，则 解得 即直线l的方程为：x+3y+4=0. (2) 设所求圆的标准方程为( 的斜率为-1，故直线CP的斜率为1， 由题意可得 解彳 故所求圆的方程为 化为一般式： 答案第8页，共11页 17. (1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】(1) 设出直线方程，利用直线平行，垂直的性质求解参数即可. (2) 求出直线与坐标轴的交点，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】(1)由 解得 所以交点坐标为(2，1). 选①, 垂直于直线3x-2y+4=0, 设直线l的方程为: 2x+3y+m=0, 其过点(2,1), 则2×2+3×1+m=0, 即m=-7, 故直线l的方程为2x+3y-7=0. 选②,平行于直线3x-2y+4=0, 设直线l的方程为: 3x-2y+n=0, 其过点(2,1), 则3×2-2×1+n=0, 即n=-4, 故直线l的方程为3x-2y-4=0. 选③，截距相等，当直线l经过原点时， 符合题意； 当直线l不过原点时， 设为 其经过点(2,1),故 即a=3.得直线 化简得x+y-3=0，故直线l的方程为 或.x+y-3=0; (2) 由(1) 知选①时, 直线l的方程为2x+3y-7=(, 可知其在x轴和y轴的交点分别为 故 选②时, 直线l的方程为3x-2y-4=0, 可知其在x轴和y轴的交点分别为.4(4,0,), B(0,-2),故 选③时, 直线l的方程为x+y-3=0, 可知其 在x轴和y轴的交点分别为A(3,0),B(0,3), 故 18. (1)x=1或3x+4y-19=0. (2)x-y+3=0或x+y-5=0 【分析】(1)分类讨论直线的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离等于圆的半径计算即可； (2)由题意知直线的斜率一定存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式和圆的半径计算即可. 【详解】(1) 由题意可知圆(C: 的圆心坐标C(2,2), 半径. 当直线的斜率不存在时，直线l过点(1，4).即l的方程为x=1时，此时直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设斜率为k，直线l过点(1，4).设直线的方程为. 答案第9页，共11页 即化为一般式: kx-y-k+4=0, 直线l与圆C相切, 则 即 解得 所以l的方程为： 即3x+4y-19=0. 综上, 当直线l与圆C相切,直线l的方程为x=1或3x+4y-19=0. (2) 圆C: 的圆心坐标C(2,2), 半径r=1, 设D(a,b), 因为圆C关于直线x-y+1=0|的对称圆的圆心为D， 所以 解得 圆D的圆心为(1,3), 半径为1. 当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x=1，此时直线l过圆D的圆心， 不符合题意； 当直线l斜率存在时，设斜率为k，直线l过点(1，4).设直线l的方程为y-4=k(x-1)，即化为一般式： kx-y-k+4=0, 圆心D到直线l的距离 若直线l与圆D交于A，B两点， 根据句段定理 ： 解得k=±1, 所以直线l的方程为x-y+3=0或x+y-5=0 (2) ₃: P(1,1 【分析】(1)根据圆上的两个已知点求得其对称轴，联立方程求得圆心，利用两点距离公式，可得答案： (2) 根据题意，作图，结合切线的性质以及动点与直线的性质，可得答案. 【详解】(1) 由A(2,2)与B(4,2), 则直线 AB 的斜率 其中点坐标为(3，2)， 所以A，B的对称轴为直线x=3，易知圆心M在直线x=3上， 联立 解得 则M(3,3), 半径. 所以圆M的标准方程为( (2) 根据题意，作图如下： 答案第10页，共11页 由图可知：四边形PQMR的面积为 且 在 RtV MRP中, 因为 所以当PR最小时， 最小，当 时, MP最小, 此时PR最小, 此时 所以四边形PQMR 面积的最小值为 由直线 则其斜率k =-1, 直线MP 的斜率 则直线MP的方程为 ，整理可得. 联立 解得 则P(1,1). 答案第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$