精品解析：广东省东莞松山湖未来学校2024-2025学年高一(人文重点班)上学期9月开学核心素养测评数学试卷

2024数学核心素养测评 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､班级等信息填写在答题卡上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一，即所谓的“”问题.1966年，我国数学家陈景润证明了“”成立.哥德巴赫猜想的内容是“每一个大于2的偶数都能写成两个质数之和”，则该猜想的否定为（ ） A. 每一个小于2的偶数都不能写成两个质数之和 B. 存在一个小于2的偶数不能写成两个质数之和 C. 每一个大于2的偶数都不能写成两个质数之和 D. 存在一个大于2偶数不能写成两个质数之和 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若实数满足，则（ ） A. 5 B. 11 C. 25 D. 26 5. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 6. 已知不等式的解集为空集，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 下列函数中，与函数是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 8. 对于任意集合，下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，那么下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C D. 10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值9 B. 有最大值 C. 有最大值 D. 有最小值 11. 定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可以是（ ） A. B. C. D. 1 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设一元二次不等式解集为，则的值为_________ 13. “不等式对一切实数都成立”，则的取值范围为________. 14. 已知，且，则的最大值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15 （1）因式分解：; （2）因式分解：; （3）解方程：; （4）化简：. 16. 已知，. （1）是否存在实数m，使是的充要条件？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由； （2）是否存在实数m，使是的必要条件？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由. 17. 解下列关于x的不等式. （1）； （2）； （3）； 18 设. （1）若对于，恒成立，求实数的取值范围； （2）若对于，恒成立，求实数的取值范围. （3）解关于的不等式. 19. 整数集的符号取自德文整数单词的首字母，这是为了纪念德国女数学家艾米·诺特对整数理论的重大贡献，她的代表著作《整环的理想理论》大幅推动了现代数学抽象代数理论的发展.数环的定义为：设A是非空数集，如果对，都有，且成立，称A是个数环. （1）分别判断下列3个集合是否是一个数环，并说明理由： （2）求证：任何数环都有元素0： （3）求证：若､是数环，则是数环. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024数学核心素养测评 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､班级等信息填写在答题卡上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合补集的定义进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：B 2. 哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一，即所谓的“”问题.1966年，我国数学家陈景润证明了“”成立.哥德巴赫猜想的内容是“每一个大于2的偶数都能写成两个质数之和”，则该猜想的否定为（ ） A. 每一个小于2的偶数都不能写成两个质数之和 B. 存在一个小于2的偶数不能写成两个质数之和 C. 每一个大于2的偶数都不能写成两个质数之和 D. 存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确否定，即可求解. 【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，A，C错误; 哥德巴赫猜想的否定为“存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和”. 故选：D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求出不等式的解集，根据为的真子集，得到答案. 【详解】解不等式得， 不等式化为，所以， 因为为的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 若实数满足，则（ ） A. 5 B. 11 C. 25 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】设，，则，，然后利用完全平方进行计算即可. 【详解】设，， ， ， ， . 故选：. 5. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据具体函数的定义域求解，列不等式求解集，即可得函数定义域. 【详解】解：函数的定义域满足：解得，且， ∴函数的定义域为. 故选：C. 6. 已知不等式的解集为空集，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由不等式的解集为空集， 根据二次函数的性质，则满足，解得. 即实数的取值范围是. 故选：A. 7. 下列函数中，与函数是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同一函数的定义和判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数的定义域为； 对于A中，函数定义域为，与定义域不同，所以不是同一函数； 对于B中，函数，与函数的对应关系不同，所以不是同一函数； 对于C中，函数定义域为，与定义域不同，所以不是同一函数； 对于D中，函数与的定义域都是，且对应关系都相同，所以是同一函数. 故选：D. 8. 对于任意集合，下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】利用韦恩图进行判断即可得到结果. 【详解】 对于：如图所知，为区域①，所以，故错误； 对于：为区域①和③；为区域③，为区域①，则也为为区域①和③；两边相等，故正确； 对于：为区域①，为区域①，不等于区域②（区域②为），故错误； 对于：为区域①和③；而为区域③，为区域①，所以为空集，所以错误； 故选：. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，那么下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用作差法可判断AC选项，根据基本不等式可判断B选项，代入特值可判断D选项. 【详解】A选项：，由，可知，即成立，A选项正确； B选项：，，当且仅当，即时取等号，所以，即成立，B选项正确； C选项：，又，所以， 当时，，即，当时，，即，当时，，即，C选项错误； D选项：当，时，，，此时，D选项错误； 故选：AB. 10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值9 B. 有最大值 C. 有最大值 D. 有最小值 【答案】AB 【解析】 【分析】根据“1”的变形技巧及基本不等式求最值判断A，直接由基本不等式判断BC，消元后利用二次函数求最值判断D. 【详解】，当且仅当时等号成立，故A对； ，则，当且仅当，即时等号成立，故B对C错； 由，则，而， 所以，当且仅当时等号成立，故D错. 故选：AB 11. 定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可以是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】AD 【解析】 【分析】根据定义列不等式，得到的解析式，然后画出函数图象，根据函数图象求出区间的长度即可. 【详解】令①， 当时，不等式可整理为，解得，故符合要求， 当时，不等式可整理为，解得，故， 所以不等式①的解为； 由上可得，不等式的解为或， 所以， 令，解得，令，解得或， 令，解得或，令，解得或， 所以区间的最小长度为1，最大长度为. 故选：AD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设一元二次不等式的解集为，则的值为_________ 【答案】 【解析】 【分析】 根据一元二次不等式的解集为，可得方程的解为，2，利用韦达定理即可解答本题． 【详解】解：一元二次不等式的解集为， 方程的解为，2 ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题重点考查一元二次不等式的解集，明确一元二次不等式的解集与方程解之间的关系是解题的关键，属于基础题． 13. “不等式对一切实数都成立”，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】对二次项系数分成等于0和不等于0两种情况进行讨论，对时，利用二次函数图象进行分析求解. 【详解】当时，不等式对一切实数都成立， 所以成立； 当时，由题意得解得：； 综上所述：. 14. 已知，且，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】对条件中的式子进行转化得，再利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 即， 由基本不等式得， 则， 解得，当且仅当取等号. 所以的最大值为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）因式分解：; （2）因式分解：; （3）解方程：; （4）化简：. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【解析】 【分析】（1）利用提公因式法和公式法进行因式分解即可； （2）利用待定系数法进行因式分解即可； （3）把分式方程化为整式方程求解即可； （4）利用完全平方公式及二次根式的性质即可求解. 【详解】（1） ； （2）令 则原式, 于是, 得, 所以； （3）由得, 去分母得,且 去括号得, 解得； （4） . 16. 已知，. （1）是否存在实数m，使是的充要条件？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由； （2）是否存在实数m，使是的必要条件？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）不存在，理由见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）要使是的充要条件，则，得到，方程无解，得到答案. （2）要使是的必要条件，则，考虑和两种情况，计算得到答案. 【小问1详解】 ， 要使是的充要条件，则，即，此方程无解， 则不存在实数m，使是的充要条件； 【小问2详解】 要使是的必要条件，则， 当时，，得； 当时，，得，要使，则有，得，故， 综上所述，当实数时，是的必要条件. 17. 解下列关于x的不等式. （1）； （2）； （3）； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将分式不等式转化为整式不等式，根据二次不等式的解法求解； （2）对于非标准形式的分式不等式，要通过移项、通分的方法将其化为标准形式再利用数轴穿根法求解； （3）分式不等式转化为整式不等式，利用数轴穿根法求解. 小问1详解】 由可得， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 原不等式可化为,即， 即且，    由图可知，原不等式的解集为． 【小问3详解】 由可得， 由数轴穿根法可知，或或， 所以不等式的解集为. 18. 设. （1）若对于，恒成立，求实数的取值范围； （2）若对于，恒成立，求实数的取值范围. （3）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）将转化为关于的一次函数，判断的单调性，得到，解不等式即可. （2）由题意将不等式整理，得，结合时，，将原不等式转化为，求出在上的最小值即可. （3）由题意将不等式整理得，然后分类讨论的情况：、、、、，从而可求解. 【小问1详解】 设 则是关于的一次函数，且一次项系数为， 所以在上单调递增． 所以等价于，解得， 故实数的取值范围为. 【小问2详解】 要使在上恒成立， 即，， 因为当时，，则有在上恒成立， 当，令，即， 所以在上恒成立，则， 即，故实数的取值范围为. 【小问3详解】 由，化简得，即， 当时，，解得. 当时，对于不等式，解得， 当时，对于不等式，解得或， 当时，对于不等式，解得或， 当时，对于不等式，解得或， 综上所述：当时，关于不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为. 【点睛】方法点睛： （1）分离参数法：结合题意，分离参数将问题转化为函数在给定区间上的最值问题，再利用函数的性质求得最值，从而得到参数的取值范围； （2）更换主次元法：结合问题，将问题的变量和参数进行转换，得到关于参数的式子，本题就是得到关于的一次函数，利用函数的单调性将问题转化为函数的最大值小于，即可得到关于的不等式解得范围． （3）利用分类讨论，并结合二次函数的性质及一元二次不等式求解，从而可求解. 19. 整数集的符号取自德文整数单词的首字母，这是为了纪念德国女数学家艾米·诺特对整数理论的重大贡献，她的代表著作《整环的理想理论》大幅推动了现代数学抽象代数理论的发展.数环的定义为：设A是非空数集，如果对，都有，且成立，称A是个数环. （1）分别判断下列3个集合是否是一个数环，并说明理由： （2）求证：任何数环都有元素0： （3）求证：若､是数环，则是数环. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据数环概念求解即可； （2）利用反证法根据数环概念证明即可； （3）根据数环概念证明即可. 【小问1详解】 取，则，但，故不是数环； 取，则，则， ，，， 同理，，故是数环； 设，， 则，，， ， ，， ， ，，，， 是数环. 【小问2详解】 假设存在一个数环，它不包含0，即对于所有，都有， 根据数环定义，对于任意，有，，， 特别地，当时，，这与不包含0的假设矛盾， 因此任何数环都有元素0. 【小问3详解】 设､数环，，， 若，，是数环，对于整数，有， 同理，，是数环. 【点睛】方法点睛：集合新定义问题的解题技巧：求解此类题的关键是读懂新定义的意义，在领会新定义的基础上，可通过举例的办法明晰新定义的内涵和外延，将其运用到新的情境中，进而对结论作出判断. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$