精品解析：陕西省西安建筑科技大学附属中学2025届高三上学期第一次模拟考试数学试卷

高三数学考试 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交集运算可得. 【详解】， 故， 故选：C 2. （ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数乘方及模的意义计算即得. 【详解】. 故选：A 3. 若数列满足，，则（ ） A. 704 B. C. 88 D. 66 【答案】C 【解析】 【分析】化简已知条件，根据等比数列的知识求得正确答案. 【详解】由可知， 两边平方得， 而，所以数列是公比为的等比数列， 所以. 故选：C 4. 已知函数，则函数的零点为（ ） A. 1 B. 0 C. e D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数解析式，求出的解析式，再由函数的零点定义，解对数方程即得. 【详解】由可得， 由可得，，解得. 故选：C. 5. 若椭圆的长轴长为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆方程确定焦点位置，求出值，依题得到的值，利用二倍角公式计算即得的值. 【详解】由题意，椭圆焦点在轴上，且，则，即， 于是，. 故选：B. 6. 在的展开式中，含的项的系数是7，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用多项式乘法法则对式子展开，合并同类项即可得到系数的值. 【详解】由题意可知展开式中含的项： ∴, 故选：D. 7. 圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用侧面展开结合图形求解最短距离. 【详解】P为圆台母线AB的中点，分别为上下底面的圆心，把圆台扩成圆锥，如图所示， 则，，， 由，有，，， 圆锥底面半径，底面圆的周长为，母线长， 所以侧面展开图的扇形的圆心角为，即，如图所示， 质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则运动的最短路径为展开图弦， ，，有. 故选：A 8. 已知函数在与上的值域均为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助辅助角公式化简后结合正弦型三角函数的性质可得，即可得与有关不等式组，解出即可得. 【详解】易知， 若，则， 若，则， 因为，， 所以，则有，解得， 即的取值范围是. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. C. 无零点 D. 在上单调递减 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性定义可判定A，利用分段函数及对数函数的单调性可判定BD，直接解方程可判定C. 【详解】易知的定义域为. 因为，所以为偶函数，故A正确. 当时，，在上单调递增， 所以在上单调递减，则，故B错误，D正确. 令,得,则有2个零点，故C错误. 故选：AD 10. 某地农研所为研究新的大豆品种，在面积相等的80块豆田上种植一种新型的大豆，得到各块豆田的亩产量（单位：kg），将所得数据按，，，，，分成六组，得到如图所示的频率分布直方图： 则下列结论正确的是（ ） A. 这80块豆田的亩产量的中位数低于180kg B. 这80块豆田的亩产量的极差不高于60kg C. 在这80块豆田中，亩产量不低于190kg的豆田所占比例为 D. 这80块豆田的亩产量的第75百分位数高于 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据中位数的定义即可求解；对于B，根据极差的定义即可求解；对于C，根据频率分布直方图纵坐标的意义即可求解；先根据百分位数的定义求出第75百分位数所在的区间，再根据分析即可求解. 【详解】对于A，前三组的频率为， 前四组的频率为：， 所以这80块豆田的亩产量的中位数在之间，故不低于180kg，则A错误； 对于B，，， 所以这80块豆田的亩产量的极差高于40kg，且不高于60kg，则B正确； 对于C，在这80块豆田中，亩产量不低于190kg的豆田所占比例为，则C正确． 对于D，，， 所以这80块豆田的亩产量的第75百分位数不低于180kg， 当亩产量在内的豆田的亩产量都是180kg时，这80块豆田的亩产量的第75百分位数为180kg，则D错误． 故选：BC. 11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点，，，…，均在x轴正半轴上，点，，，…，均在y轴正半轴上．已知，，，…，，，，四边形，，，…，均为长方形．当时，记为第个倒“L”形，则（ ） A. 第10个倒“L”形的面积为100 B. 长方形的面积为 C. 点，，，…，均在曲线上 D. 能被110整除 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求得的坐标，然后长方形的面积，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】， ，所以C正确. ，所以B正确. 第10个倒“L”形的面积为，所以A错误. 由于， 所以，所以D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤， (1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. (2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. (3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，满足，．若，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量垂直数量积为0，结合已知代入求解可得. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得. 故答案为： 13. 已知直线与曲线相切，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义以及切线过点求切线的斜率. 【详解】设直线（）与函数相切，切点为：， 因为，所以切线斜率为：. 所以切线方程为：. 由切线过点，得： 所以，解得：或. 所以（舍去）或. 故答案为： 14. 如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，分别为双曲线的左支、右支上异于顶点的点，且.若，则双曲线的离心率为________ 【答案】 【解析】 【分析】延长与双曲线交于另一点，连接.因为，所以根据对称性可得四边形是平行四边形，则，根据双曲线的定义及余弦定理建立等量关系求解即可. 【详解】延长与双曲线交于另一点，连接. 因为，所以根据对称性可得四边形是平行四边形， 则. 设，则. 根据双曲线的定义可得，则， 所以. 在中，根据余弦定理可得，得. 在中，由，得， 则双曲线的离心率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为．已知． （1）求角的大小； （2）若，，求； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角形内角的范围即可求得； （2）由余弦定理计算即得； （3）方法一：利用正弦定理化边为角，再消去角，利用和角公式化简，解三角方程即得；方法二：由角的余弦定理推得，再用角的余弦定理求出，结合角的范围，即可求得的值. 【小问1详解】 由及正弦定理得，． 因为，所以，则，即． 因为，所以． 【小问2详解】 根据余弦定理得，即，解得或（舍去），故． 【小问3详解】 方法一：由和正弦定理，得，即． ，即，则得． 方法二：根据余弦定理得， 则． ,则角是锐角，故， 则． 16. 良好的用眼习惯能够从多方面保护眼睛的健康，降低近视发生的可能性，对于保护青少年的视力具有不可替代的重要作用．某班班主任为了让本班学生能够掌握良好的用眼习惯，开展了“爱眼护眼”有奖知识竞赛活动，班主任将竞赛题目分为两组，规定每名学生从两组题目中各随机抽取2道题作答．已知该班学生甲答对组题的概率均为，答对组题的概率均为．假设学生甲每道题是否答对相互独立． （1）求学生甲恰好答对3道题的概率； （2）设学生甲共答对了道题，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 3 4 【解析】 【分析】（1）转化为“答对组的2道题和组的1道题”与“答对组的l道题和组的2道题”两个互斥事件的和事件的概率求解，再分别应用相互独立事件同时发生的乘法公式即可得； （2）按照求离散型随机变量分布列的一般步骤求解即可. 【小问1详解】 学生甲恰好答对3道题有以下两种情况： 第一种情况是学生甲答对组的2道题和组的1道题， 其概率； 第二种情况是学生甲答对组的l道题和组的2道题， 其概率． 故学生甲恰好答对3道题的概率． 【小问2详解】 由题意可知的所有可能取值为． ， ， ， ， 由（1）可知， 则的分布列为 0 1 2 3 4 故． 17. 如图，在九面体ABCDEFGH中，平面平面，平面平面，，，底面ABCDEF为正六边形． （1）证明：平面ABCDEF． （2）证明：平面AFG． （3）求GE与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 记的中点分别为，连接， 因为，所以，且 因为平面平面，平面平面， 所以平面， 因为平面平面，所以平面平面， 同理可得平面，， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面. （2） 由正六边形性质可知，， 又平面平面，平面平面， 所以平面， 因为，所以平面. （3）. 【解析】 【分析】（1）记的中点分别为，利用面面垂直性质定理证明为平行四边形，然后结合线面平行判定定理可证； （2）利用面面垂直性质定理证明平面，结合（1）可证； （3）以所在直线分别为轴，过其交点作平面的垂线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量公式可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由正六边形性质可知，， 以所在直线分别为轴，过其交点作平面的垂线为轴，建立如图所示空间直角坐标系. 则， ， 设平面的法向量为， 则，取得， 记GE与平面所成角为，则. 18. 已知抛物线的焦点为．过F作两条互相垂直的直线，，且直线与交于M，N两点，直线与交于E，P两点，M，E均在第一象限．设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． （1）求的方程． （2）直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． （3）证明：点H在直线上． 【答案】（1） （2） 直线，与抛物线各有两个交点，可知直线，斜率存在且不为0， 设直线的斜率为，则直线，设， 由，消去并整理得， 此时， 由韦达定理得，， 由A为弦MN的中点，有，则， 由垂直的条件，可将换为，设， 同理得，，有， 当或时，直线的方程为， 当且时，直线的斜率为，方程为， 即，可知时， 所以直线过定点，其坐标为. （3） ，同理得， 此时直线的方程为， 即， 同理，直线的方程为， 由，消去解得， 故直线ME与直线NP的交点在直线上. 【解析】 【分析】（1）利用焦点坐标求抛物线的方程； （2）设直线和的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理表示出A，B两点坐标，得直线AB方程，由方程判断所过定点坐标； （3）表示出直线ME与直线NP方程，联立方程组求交点坐标即可. 【小问1详解】 抛物线的焦点为，则有，， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19. 若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. （1）判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； （2）已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点. ①求的取值范围； ②证明：. 【答案】（1） 函数是上的“双中值函数”．理由如下： 因为，所以. 因为，，所以 令，得，即，解得. 因为，所以是上的“双中值函数”. （2）①； ②不妨设， 则，，即，． 要证，即证． 设， 则． 设，则， 所以在上单调递增，所以，所以， 则在上单调递减． 因为，所以，即． 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 由①可知在上单调递增，所以，即得证． 【解析】 【分析】（1）利用定义结合导数直接计算解方程即可； （2）①根据定义知，利用导数研究导函数的单调性及最值计算范围即可；②根据条件先转化问题为，构造差函数，利用多次求导判定其单调性去函数符号即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①因为，所以. 因为是上的“双中值函数”，所以. 由题意可得. 设，则. 当时，，则为减函数，即为减函数； 当时，，则为增函数，即为增函数. 故. 因为，所以，所以，即的取值范围为； ②略 【点睛】思路点睛：新定义问题审清题意，转化为已有经验、知识处理即可，本题第二问第一小问，可转化为存在导函数两个零点求参问题，利用导数研究其单调性与最值即可；第二小问，可利用等量关系消元转化证明，类似极值点偏移，构造差函数研究其单调性即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学考试 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. 3 B. 1 C. D. 3. 若数列满足，，则（ ） A. 704 B. C. 88 D. 66 4. 已知函数，则函数的零点为（ ） A. 1 B. 0 C. e D. 5. 若椭圆的长轴长为，则（ ） A. B. C. D. 6. 在的展开式中，含的项的系数是7，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为（ ） A. B. 6 C. D. 8. 已知函数在与上的值域均为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. C. 无零点 D. 在上单调递减 10. 某地农研所为研究新的大豆品种，在面积相等的80块豆田上种植一种新型的大豆，得到各块豆田的亩产量（单位：kg），将所得数据按，，，，，分成六组，得到如图所示的频率分布直方图： 则下列结论正确的是（ ） A. 这80块豆田的亩产量的中位数低于180kg B. 这80块豆田的亩产量的极差不高于60kg C. 在这80块豆田中，亩产量不低于190kg的豆田所占比例为 D. 这80块豆田的亩产量的第75百分位数高于 11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点，，，…，均在x轴正半轴上，点，，，…，均在y轴正半轴上．已知，，，…，，，，四边形，，，…，均为长方形．当时，记为第个倒“L”形，则（ ） A. 第10个倒“L”形的面积为100 B. 长方形的面积为 C. 点，，，…，均在曲线上 D. 能被110整除 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，满足，．若，则_______． 13. 已知直线与曲线相切，则__________． 14. 如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，分别为双曲线的左支、右支上异于顶点的点，且.若，则双曲线的离心率为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为．已知． （1）求角的大小； （2）若，，求； （3）若，求的值． 16. 良好的用眼习惯能够从多方面保护眼睛的健康，降低近视发生的可能性，对于保护青少年的视力具有不可替代的重要作用．某班班主任为了让本班学生能够掌握良好的用眼习惯，开展了“爱眼护眼”有奖知识竞赛活动，班主任将竞赛题目分为两组，规定每名学生从两组题目中各随机抽取2道题作答．已知该班学生甲答对组题的概率均为，答对组题的概率均为．假设学生甲每道题是否答对相互独立． （1）求学生甲恰好答对3道题的概率； （2）设学生甲共答对了道题，求的分布列及数学期望． 17. 如图，在九面体ABCDEFGH中，平面平面，平面平面，，，底面ABCDEF为正六边形． （1）证明：平面ABCDEF． （2）证明：平面AFG． （3）求GE与平面所成角的正弦值． 18. 已知抛物线的焦点为．过F作两条互相垂直的直线，，且直线与交于M，N两点，直线与交于E，P两点，M，E均在第一象限．设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． （1）求的方程． （2）直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． （3）证明：点H在直线上． 19. 若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. （1）判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； （2）已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点. ①求的取值范围； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $