专题23.8 旋转中三种几何模型十一类题型（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题23.8 旋转中三种几何模型十一类题型（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【模型图形归纳与题型目录】 【模型1】等边三角形旋转模型 在正中，为内一点，将绕点按逆时针方向旋转，使得与重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的、、三条线段集中于图（1-1-b）中的一个中，此时也为正三角形。 【模型2】正方形旋转模型 在正方形中，为正方形内一点，将绕点按顺时针方向旋转，使得与重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中的、、三条线段集中于图（2-1-b）中的中，此时为等腰直角三角形。 【模型3】等腰直角三角形旋转模型 在等腰直角三角形中，，为内一点，将绕点按逆时针方向旋转，使得与重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个为等腰直角三角形。 模型类型与题型目录 【模型1】等边三角形旋转模型 【题型1】利用等边三角形旋转模型求线段长....................................2 【题型2】利用等边三角形旋转模型求角度......................................3 【题型3】利用等边三角形旋转模型求面积......................................4 【题型4】利用等边三角形旋转模型进行推理....................................5 【模型2】正方形旋转模型 【题型5】利用正方形的旋转模型求角度........................................6 【题型6】利用正方形的旋转模型求线段长......................................7 【题型7】利用正方形的旋转模型求面积........................................8 【题型8】利用正方形的旋转模型进行推理......................................9 【模型3】等腰直角三角形旋转模型 【题型9】利用等腰直角三角形的旋转模型求角度或线段长.......................10 【题型10】用等腰直角三角形的旋转模型进行推理..............................11 【题型11】拓展与延伸......................................................11 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用等边三角形旋转模型求线段与面积 【例1】（2024九年级·全国·竞赛）如图，为一个平面内的等边三角形，在同一个平面内有一点，使得，则点到点的最大距离为（　　） A．12 B．15 C．18 D． 【变式1】（2022·贵州黔东南·二模）如图，点P是等边三角形ABC内一点，且，，，则这个等边三角形ABC的边长为 ． 【变式2】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，与都是等边三角形，连接，，，若将绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【题型2】利用等边三角形旋转模型求角度 【例2】（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转60度后得到，则的度数是 ． 【变式1】（2024·山东聊城·一模）如图，在等边三角形中，点D在边上，连接，将绕点B旋转一定角度，使得，连接．若，则为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·四川广元·二模）如图，在等边三角形中，D是边上的中点，．将绕点C顺时针旋转，得到，连接，，当时，的大小是 （    ）                              A．60°或90° B．90°或120° C．60°或300° D．120°或150° 【题型3】利用等边三角形旋转模型求面积 【例3】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，P是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．   (1)求证： (2)若．求四边形的面积． 【变式1】（21-22八年级下·江西南昌·期中）如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP，BP，CP，若AP=3，BP=4，CP=5，则S△ABP+S△BPC= ． 【变式2】（22-23八年级下·河南平顶山·期中）王老师将课本第89页11题进行了改编，如图等边三角形边长为6，点D在直线上，将绕点A逆时针旋转，使得旋转后点B的对应点为C，点D的对应点为E，设，的面积为y，则y关于x的关系式为（    ）    A． B． C． D． 【题型4】利用等边三角形旋转模型进行推理 【例4】（22-23八年级下·山东聊城·期末）在等边三角形的内部有一点，连接，，以点为中心，把逆时针旋转得到，连接，．以点为中心，把顺时针旋转得到，连接，． (1)判断和的大小关系，并说明理由； (2)求证：； (3)求证：四边形是平行四边形． 【变式1】（2021八年级·全国·专题练习）如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（2024·北京门头沟·一模）如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【题型5】利用正方形的旋转模型求角度 【例5】（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（2021·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形内有一点P，若，则的度数为 ． 【变式2】（2020·辽宁沈阳·一模）正方形ABCD，点P为正方形内一点，且满足PA=3，，PC=5，则∠APB的度数为 度． 【题型6】利用正方形的旋转模型求线段长 【例6】（22-23九年级上·四川泸州·期中）如图，已知在正方形内有一点，连接、、，将顺时针旋转得到，连接，点恰好在线段上，若，，则的长度为（    ） A．2 B． C． D． 【变式1】（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，等边三角形，边长为6，点D为边上一点，，以D为顶点作边长为6的正方形，连接，．将正方形绕点D旋转，当取最小值时，的长为 ．    【变式2】（21-22九年级上·广西河池·期中）如图，是正方形内一点，，，．则的长为（    ） A．2 B． C． D．3 【题型7】利用正方形的旋转模型求面积 【例7】（21-22九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在正方形ABCD 中，AB＝4，点E在BC上，将线段EA绕点E顺时针旋转90°，得到线段EF，连接DE，DF，CF，则的值是 ﹔设BE＝x，DEF面积为S，则S与x之间的关系式是 ． 【变式1】（20-21八年级下·湖南长沙·期中）如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2、1、，则正方形ABCD的面积为 ． 【变式2】（20-21八年级下·山东威海·期中）如图，是正方形内一点，，，，则 °．正方形的面积是 ． 【题型8】利用正方形的旋转模型进行推理 【例8】（20-21八年级下·北京平谷·期末）如图，在正方形ABCD中，点P在直线BC上，作射线AP，将射线AP绕点A逆时针旋转45°，得到射线AQ，交直线CD于点Q，过点B作BE⊥AP于点E，交AQ于点F，连接DF． （1）依题意补全图形； （2）用等式表示线段BE，EF，DF之间的数量关系，并证明． 【变式1】如图，已知正方形，，是中点，平分交于点，将绕点顺时针旋转得，则下列结论中：①；②；③平分；④；⑤．正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①③④ 【变式2】（23-24九年级上·广东东莞·期中）正方形的边长为，，分别是，边上的点，且．将绕点逆时针旋转，得到． (1)求证： ； (2)当时，求的长． 【题型9】利用等腰直角三角形的旋转模型求角度 【例9】如图所示，在等腰直角三角形中，，将绕点逆时针旋转后得到的，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2024·重庆大渡口·一模）如图，和是等腰直角三角形，，的边AF，AG交边BC于点D，E．若，，则AD的值是 ． 【变式2】（2021·河南信阳·模拟预测）如图，在中，，，以为边作等腰直角三角形（为直角顶点，、两点在直线的两侧），线段长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型10】用等腰直角三角形的旋转模型进行推理 【例12】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边交于E，F两点．下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（22-23九年级上·天津滨海新·期中）将两块斜边长度相等的等腰直角三角形板如图①摆放，如果把图①中的绕点C逆时针旋转得，连接，如图②．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 第三部分【拓展延伸】 【题型10】拓展延伸 【例1】如图，P在等边△ABC内且∠APC＝120°，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【例2】（2024九年级·全国·竞赛）如图，和都为等腰直角三角形，点在上，点在的延长线上，，现将绕点旋转，得到，连接，过点作，垂足为点，直线交于点，则线段的长度为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题23.8 旋转中三种几何模型十一类题型（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【模型图形归纳与题型目录】 【模型1】等边三角形旋转模型 在正中，为内一点，将绕点按逆时针方向旋转，使得与重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的、、三条线段集中于图（1-1-b）中的一个中，此时也为正三角形。 【模型2】正方形旋转模型 在正方形中，为正方形内一点，将绕点按顺时针方向旋转，使得与重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中的、、三条线段集中于图（2-1-b）中的中，此时为等腰直角三角形。 【模型3】等腰直角三角形旋转模型 在等腰直角三角形中，，为内一点，将绕点按逆时针方向旋转，使得与重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个为等腰直角三角形。 模型类型与题型目录 【模型1】等边三角形旋转模型 【题型1】利用等边三角形旋转模型求线段长....................................2 【题型2】利用等边三角形旋转模型求角度......................................6 【题型3】利用等边三角形旋转模型求面积......................................9 【题型4】利用等边三角形旋转模型进行推理....................................13 【模型2】正方形旋转模型 【题型5】利用正方形的旋转模型求角度........................................18 【题型6】利用正方形的旋转模型求线段长......................................21 【题型7】利用正方形的旋转模型求面积........................................24 【题型8】利用正方形的旋转模型进行推理......................................28 【模型3】等腰直角三角形旋转模型 【题型9】利用等腰直角三角形的旋转模型求角度或线段长........................32 【题型10】用等腰直角三角形的旋转模型进行推理...............................35 【题型11】拓展与延伸.......................................................38 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用等边三角形旋转模型求线段与面积 【例1】（2024九年级·全国·竞赛）如图，为一个平面内的等边三角形，在同一个平面内有一点，使得，则点到点的最大距离为（　　） A．12 B．15 C．18 D． 【答案】B 【分析】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质等知识，利用旋转构造全等三角形是解题的关键．把绕点A按逆时针方向旋转，得，则，连接，则，证明为等边三角形和，进一步即可得到答案． 解：如图，把绕点A按逆时针方向旋转，得，则，连接， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为一个平面内的等边三角形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ． 故选：B 【变式1】（2022·贵州黔东南·二模）如图，点P是等边三角形ABC内一点，且，，，则这个等边三角形ABC的边长为 ． 【答案】 【分析】将三角形BCP绕点B逆时针旋转60°得三角形BDA，过B作BH⊥直线AP于H，先证明三角形BDP为等边三角形，利用勾股定理逆定理得∠DPA=90°，进而得∠BPH=30°，利用勾股定理解直角三角形即可得答案． 解：将三角形BCP绕点B逆时针旋转60°，得三角形BDA，BC边落在AB上，过B作BH⊥直线AP于H，如图所示， 由旋转知，△BDP为等边三角形，AD=PC=， ∴BP=PD=BD=，∠BPD=60°， ∵PA=， ∴， ∴∠APD=90°， ∴∠BPH=30°， ∴BH=，PH=， 由勾股定理得：AB=， 故答案为：． 【点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定、勾股定理逆定理、旋转变换的应用等知识点，解题关键是作旋转变换，将分散的条件集中在同一三角形中． 【变式2】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，与都是等边三角形，连接，，，若将绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，构造出直角三角形是解本题的关键．分两种情况：①当点E在的延长线上时，②当点E在的延长线上时，分别画出图形，利用勾股定理，求解即可． 解：∵，是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ①当点E在的延长线上时，如图，过点B作于G，则， 在中，， ∴， 根据勾股定理得，， ∴， 在中， 根据勾股定理得，； ②当点E在的延长线上时，如图，过点B作于H，则， 在中，， ∴， 根据勾股定理得， ∴， 在中， 根据勾股定理得，． ∴或． 故选：D． 【题型2】利用等边三角形旋转模型求角度 【例2】（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转60度后得到，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型． 首先证明为等边三角形，得，由可得，在中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出，可求的度数，由此即可解决问题． 解：连接，由题意可知 则，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴ ∴， 故答案为． 【点拨】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型． 【变式1】（2024·山东聊城·一模）如图，在等边三角形中，点D在边上，连接，将绕点B旋转一定角度，使得，连接．若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，找到全等三角形是求解的关键；根据，以及可证，进而证得为等边三角形，有，再根据证≌，可得到，即可求出为． 解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， 在和中， ∴≌ ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】（2024·四川广元·二模）如图，在等边三角形中，D是边上的中点，．将绕点C顺时针旋转，得到，连接，，当时，的大小是 （    ）                              A．60°或90° B．90°或120° C．60°或300° D．120°或150° 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理的逆定理等知识．利用勾股定理的逆定理证明，分两种情形分别求解即可． 解：设，则，，， ， ， ①如图中，当点在的中点时，满足条件，此时；    ②如图中，当点落在的中点时，满足条件，此时．    综上所述，满足条件的的值为或． 故选：C． 【题型3】利用等边三角形旋转模型求面积 【例3】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，P是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．   (1)求证： (2)若．求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）证明，可得结论； （2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可，根据，求解即可． 解：（1）证明：如图1中，   是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ； （2）解：如图2中，连接，   ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ， 是直角三角形， ． 【点拨】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【变式1】（21-22八年级下·江西南昌·期中）如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP，BP，CP，若AP=3，BP=4，CP=5，则S△ABP+S△BPC= ． 【答案】6+4 【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△BP'A，根据旋转的性质可得∠PBP′=∠CBA=60°，BP=BP′，可得△BPP′为等边三角形，可得BP′=BP=4=PP'，再由勾股定理的逆定理可得△APP′是直角三角形，由三角形的面积公式可求解． 解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△BP'A，连接PP′， 根据旋转的性质可知， 旋转角∠PBP′=∠CBA=60°，BP=BP′， ∴△BPP′为等边三角形， ∴BP′=BP=4=PP'； 过点P作PD⊥BP′于点D， ∴BD=BP′=2， 由勾股定理得PD=2， ∴S△BP'P=×BP'×PD=4； 由旋转的性质可知，AP′=PC=5， 在△BPP′中PP′=4，AP=3， 由勾股定理的逆定理得△APP′是直角三角形， ∴S△ABP+S△BPC=S四边形AP'BP=S△BP'P+S△AP'P=4+×PP'×AP=6+4，故答案为：6+4． 【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，作辅助线构造出等边三角形和直角三角形是解题的关键，也是本题的难点． 【变式2】（22-23八年级下·河南平顶山·期中）王老师将课本第89页11题进行了改编，如图等边三角形边长为6，点D在直线上，将绕点A逆时针旋转，使得旋转后点B的对应点为C，点D的对应点为E，设，的面积为y，则y关于x的关系式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点E作于F，根据等边三角形的性质及旋转的性质求出，得到，利用勾股定理求出，即可得到问题的答案． 解：如图，过点E作于F，    ∵等边三角形边长为6， ∴， ∴， 由旋转得 ∴ ∵ ∴， ∴ ∴的面积，故选：D． 【点拨】此题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，直角三角形中30度角的性质，勾股定理的应用，根据图象的面积求函数解析式等知识与方法，正确地作出需要的辅助线是解题的关键． 【题型4】利用等边三角形旋转模型进行推理 【例4】（22-23八年级下·山东聊城·期末）在等边三角形的内部有一点，连接，，以点为中心，把逆时针旋转得到，连接，．以点为中心，把顺时针旋转得到，连接，． (1)判断和的大小关系，并说明理由； (2)求证：； (3)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)，理由见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【分析】（1）根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，再利用为等边三角形得到，则可得到； （2）通过证明得到； （3）根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，于是得到，再与（2）的证明方法一样证明得到，于是，加上，从而可判断四边形是平行四边形． 解：（1）解：， 理由如下： 以点为中心，把逆时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ，， ， ， ； （2）证明：在和中， ， ， ； （3）证明：以点为中心，把顺时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 由（1）可知： ， 由（2）可知：， 又， ， 四边形是平行四边形． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式1】（2021八年级·全国·专题练习）如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①设∠1=x度，把∠2=（60-x）度，∠DBC=∠4=（x+60）度，∠3=60°加起来等于180度，即可证明D、A、E三点共线； ②根据△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，判断出△CDE为等边三角形，求出∠BDC=∠E=60°，∠CDA=120°-60°=60°，可知DC平分∠BDA； ③由②可知，∠BAC=60°，∠E=60°，从而得到∠E=∠BAC． ④由旋转可知AE=BD，又∠DAE=180°，DE=AE+AD．而△CDE为等边三角形，DC=DE=DB+BA． 解：如图， ①设∠1=x度，则∠2=（60-x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度， ∴∠2+∠3+∠4=60-x+60+x+60=180度， ∴D、A、E三点共线；故①正确； ②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE， ∴CD=CE，∠DCE=60°， ∴△CDE为等边三角形， ∴∠E=60°， ∴∠BDC=∠E=60°， ∴∠CDA=120°-60°=60°， ∴DC平分∠BDA；故②正确； ③∵∠BAC=60°， ∠E=60°， ∴∠E=∠BAC．故③正确； ④由旋转可知AE=BD， 又∵∠DAE=180°， ∴DE=AE+AD． ∵△CDE为等边三角形， ∴DC=DB+DA．故④正确； 故选：D． 【点拨】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质等相关知识，要注意旋转不变性，找到变化过程中的不变量． 【变式2】（2024·北京门头沟·一模）如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】①根据等边三角形的性质得出，，根据旋转的性质得出，即可求证；②根据旋转的性质得出，即可证明是等边三角形；③根据等边三角形的性质得出根据全等三角形的性质得出，则，即可推出． 解：①∵是等边三角形， ∴，， ∵绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴，即， ∵， ∴，故①正确，符合题意； ②∵绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形，故②正确，符合题意； ③∵是等边三角形， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 综上：正确的有①②③， 故选：D． 【点拨】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键的掌握旋转前后对应边相等；全等三角形的判定方法以及全等三角形对应角相等；等边三角形的判定方法以及等边三角形三个角都是60度；直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 【题型5】利用正方形的旋转模型求角度 【例5】（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质及旋转的性质可得是等腰直角三角形，再根据，即得结果． 解：由旋转的性质得，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：D． 【点拨】解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 【变式1】（2021·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形内有一点P，若，则的度数为 ． 【答案】135°． 【分析】将△ABP绕着点A顺时针旋转90°得△ADP′,连结PP′，可得△ABP≌△ADP′,可证△APP′是等腰直角三角形,可得∠AP′P=45°,由勾股定理得PP′=,利用勾股定理逆定理可证△P′PD为直角三角形,可得∠PP′D=90°,可求∠APB=∠AP′D=135°． 解：将△ABP绕着点A顺时针旋转90°得△ADP′,连结PP′ ∴△ABP≌△ADP′, ∴AP′=AP=4,P′D=BP=7,∠AP′D=∠APB, 由旋转得∠PAP′=90°, ∴△APP′是等腰直角三角形, ∴∠AP′P=45°, 在Rt△APP′中, 由勾股定理得PP′=, 又∵P′P2+P′D2=, ∴△P′PD为直角三角形, ∴∠PP′D=90°, ∴∠AP′D=∠AP′P+∠PP′D =45°+90°=135°, ∴∠APB=∠AP′D=135°． 故答案为:135°． 【点拨】本题考查正方形性质，旋转变换，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理与勾股定理逆定理，利用旋转变换构造全等,得到等腰直角三角形是解题关键． 【变式2】（2020·辽宁沈阳·一模）正方形ABCD，点P为正方形内一点，且满足PA=3，，PC=5，则∠APB的度数为 度． 【答案】135 【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后画出绕点旋转得到的△，然后根据正方形的性质和旋转的性质可以求得和的度数，然后即可得到，从而可以得到的度数． 解：将绕点旋转得到△，则，，，， ， ， ，， ，， ， ， △是直角三角形，， ， ， 故答案为：135． 【点拨】本题考查正方形的性质、勾股定理的逆定理、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答． 【题型6】利用正方形的旋转模型求线段长 【例6】（22-23九年级上·四川泸州·期中）如图，已知在正方形内有一点，连接、、，将顺时针旋转得到，连接，点恰好在线段上，若，，则的长度为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得，从而可得，进而可得，然后利用勾股定理求出，即可解答． 解：由旋转得： ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点拨】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【变式1】（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，等边三角形，边长为6，点D为边上一点，，以D为顶点作边长为6的正方形，连接，．将正方形绕点D旋转，当取最小值时，的长为 ．    【答案】8 【分析】过点A作于M，由等边三角形的性质得出，，得出，在中，由勾股定理得出，当正方形绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上时，，即此时取最小值，在中，由勾股定理得出，在中，由正方形的边长及勾股定理即可得出． 解：过点A作于M，   是等边三角形，边长为6， ， ， ， ， ， 在中，， 当点E在DA延长线上时，，此时取最小值， 在中，， 正方形的边长为6， ， 在中，， 故答案为：8． 【点拨】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最小值问题；熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质是解题的关键． 【变式2】（21-22九年级上·广西河池·期中）如图，是正方形内一点，，，．则的长为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【分析】把△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP，根据旋转的性质可得AP＝PC，BP＝BP，△PBP是等腰直角三角形，利用勾股定理求出PP，然后求出∠APP＝90°，再利用勾股定理列式计算求出PA，从而得解． 解：如图，把△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP（点C的对应点C与点A重合）， ∴AP＝PC，BP＝BP＝1， ∴△PBP是等腰直角三角形， ∴∠PPB＝45°，PP＝， ∵∠APB＝135°， ∴∠APP＝∠APB−∠PPB＝135°−45°＝90°， 在Rt△APP中，AP＝， ∴PC＝AP＝3， 故选D． 【点拨】本题考查了旋转的性质，勾股定理以及正方形的性质的综合运用，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键，也是本题的难点． 【题型7】利用正方形的旋转模型求面积 【例7】（21-22九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在正方形ABCD 中，AB＝4，点E在BC上，将线段EA绕点E顺时针旋转90°，得到线段EF，连接DE，DF，CF，则的值是 ﹔设BE＝x，DEF面积为S，则S与x之间的关系式是 ． 【答案】 【分析】过点作交的延长线与点，根据旋转的性质以及正方形的性质即可得，进而可得是等腰直角三角形，即可求得的值，根据DEF面积等于即可列出函数关系式． 解：如图，过点作交的延长线与点，则， 四边形是正方形， ， , 设，则, , 是等腰直角三角形， ； 故答案为：，． 【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理，二次函数的应用，理解题意，添加辅助线是解题的关键． 【变式1】（20-21八年级下·湖南长沙·期中）如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2、1、，则正方形ABCD的面积为 ． 【答案】13 【分析】将△ABP绕点B顺时针旋转90°得△CBE，连接PE，过点B作BH⊥PE于H，通过勾股定理逆定理可证∠PEC＝90°，则∠BEC＝∠APB＝135°，可知点A、P、E三点共线，求出BH，AH的长度，利用勾股定理即可． 解：将△ABP绕点B顺时针旋转90°得△CBE，连接PE，过点B作BH⊥PE于H， ∴BP=BE，∠PBE=90°，∠APB=∠CEB，AP=CE=， ∴△BPE是等腰直角三角形， ∴，∠BEP=∠BPE=45° ∵PE2+CE2=（）2+（2）2=10， PC2=（）2=10， ∴PE2+CE2=PC2， ∴∠PEC=90°， ∴∠BEC=∠APB=135°， ∴∠APB+∠BPE=135°+45°=180°， ∴点A、P、E三点共线， ∵PE=， ∴PH=BH=， ∴AH=AP+PH=， 在Rt△ABH中，由勾股定理得： AB2=BH2+AH2=（）2+（）2=13， ∴正方形ABCD的面积为：13． 故答案为：13． 【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，三线合一定理，旋转的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 【变式2】（20-21八年级下·山东威海·期中）如图，是正方形内一点，，，，则 °．正方形的面积是 ． 【答案】 【分析】将三角形ABP绕点B顺时针旋转90°得到三角形CBE，过点B作BH⊥CE，交CE延长线于H，先利用勾股定理求出，∠BPE=∠BEP=45°，然后利用勾股定理的逆定理得到∠PEC=90°从而得到BEP=∠EBH=45°，∠APB=∠BEC=180°-∠BEH=135°，再利用勾股定理BH，CH，即可求得BC，从而求解. 解：如图，将三角形ABP绕点B顺时针旋转90°得到三角形CBE，过点B作BH⊥CE，交CE延长线于H ∴BP=BE=4，CE=AP=7，∠PBE=90°，∠APB=∠BEC ∴由勾股定理得：，∠BPE=∠BEP=45° ∵， ∴ ∴∠PEC=90° ∵PH⊥EC ∴∠BHC=90° ∴PE∥BH ∴∠BEP=∠EBH=45° ∴BH=HE，∠APB=∠BEC=180°-∠BEH=135° ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴正方形的面积为 故答案为：135°，. 【点拨】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 【题型8】利用正方形的旋转模型进行推理 【例8】（20-21八年级下·北京平谷·期末）如图，在正方形ABCD中，点P在直线BC上，作射线AP，将射线AP绕点A逆时针旋转45°，得到射线AQ，交直线CD于点Q，过点B作BE⊥AP于点E，交AQ于点F，连接DF． （1）依题意补全图形； （2）用等式表示线段BE，EF，DF之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）补全图形见解析；（2）BE+DF=EF，证明见解析． 【分析】（1）根据题意补全图形即可． （2）延长FE到H,使EH=EF，根据题意证明△ABH≌△ADF，然后根据全等三角形的性质即可证明． 解：（1）补全图形 （2）BE+DF=EF． 证明：延长FE到H,使EH=EF ∵BE⊥AP， ∴AH=AF， ∴∠HAP=∠FAP=45°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD， ∠BAD=90° ∴∠BAP+∠2=45°， ∵∠1+∠BAP=45° ∴∠1=∠2， ∴△ABH≌△ADF， ∴DF=BH， ∵BE+BH=EH=EF， ∴BE+DF=EF． 【点拨】此题考查了正方形的性质和全等三角形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线． 【变式1】如图，已知正方形，，是中点，平分交于点，将绕点顺时针旋转得，则下列结论中：①；②；③平分；④；⑤．正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①③④ 【答案】B 【分析】过点F作FM⊥AD于M，FN⊥AG于N，易证四边形CFMD是矩形及AE,再由旋转性质得G、B、C共线及AG,再由角平分线性质得∠GAF=DAF及FM=FN,然后由求出GF，进而求得CF，再经过分析推理即可得出结论． 解：过点F作FM⊥AD于M，FN⊥AG于N，如图， ∵四边形ABCD是正方形，，是中点， ∴∠D=∠C=∠ABC=90º，BC=AD=CD=AB=4，DE=CE=2， ∴四边形CFMD是矩形，且， ∴FM=CD=4， ∵将绕点顺时针旋转得， ∴，故①正确； 且AG=AE=，BG=DE=2，∠DAE=∠BAG，∠D=∠BAG=90º， ∴点G在CB的延长线上， ∵平分交于点， ∴∠EAF=∠BAF， ∴∠DAE+∠EAF=∠BAG+∠BAF即∠DAF=∠GAF， ∴平分，故③正确； ∴FN=FM=4， ∵， ∴GF=，故④错误； ∴BF=， CF=BC+BG-BF=，故⑤正确； 又AE≠AB≠BF,， ∴不成立，故②错误， ∴正确的序号为①③⑤， 故选：B． 【点拨】本题是一道综合性很强的填空题，涉及正方形的性质、旋转的性质、角平分线的性质、勾股定理、等面积法求线段长、全等三角形的判定等知识，熟练掌握基本图形的性质及运用它们解决问题是解答的关键． 【变式2】（23-24九年级上·广东东莞·期中）正方形的边长为，，分别是，边上的点，且．将绕点逆时针旋转，得到． (1)求证： ； (2)当时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由旋转的性质可知，，；由和四边形是正方形，可得，从而得出，利用得出，即可求解； （2）由得，正方形的边长为，从而求出，根据求出的长，设，则，在中，由勾股定理得： ，即可求解． 解：（1）证明：， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ， ， ； （2）解：设， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ，即， 解得：， 则． 【点拨】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的定理及性质． 【题型9】利用等腰直角三角形的旋转模型求角度 【例9】如图所示，在等腰直角三角形中，，将绕点逆时针旋转后得到的，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，先由等腰直角三角形的性质得到，再由旋转的性质可得，据此可得答案． 解：∵在等腰直角三角形中，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， 故选：A． 【变式1】（2024·重庆大渡口·一模）如图，和是等腰直角三角形，，的边AF，AG交边BC于点D，E．若，，则AD的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转全等和勾股定理解三角形，将顺时针旋转到位置，得到直角三角形，可求出，再证明，得到，进而求出，过点A作，由等腰三角形三线合一和直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，再在直角三角形求出． 解：如图，将绕点A顺时针旋转到位置，连接 ∵和是等腰直角三角形，， ∴，， 由旋转性质可知：，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 过点A作， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【点拨】本题涉及了旋转的性质、半角模型、构造全等三角形转换线段关系和勾股定理，解题关键是通过旋转构造全等三角形得到，由求出． 【变式2】（2021·河南信阳·模拟预测）如图，在中，，，以为边作等腰直角三角形（为直角顶点，、两点在直线的两侧），线段长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转的性质可得，，，由等腰直角三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解． 解：如图，将绕点顺时针，得到，连接， ≌，， ，， ， 在中，， 当点在上时，的最大值， 故选：C． 【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【题型10】用等腰直角三角形的旋转模型进行推理 【例12】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边交于E，F两点．下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，连接，根据等腰直角三角形的性质就可以得出，就可以得出，进而得出，就有，由勾股定理就即可求出结论． 解：连接， ， 点D为中点，， ．，． ， ， ． 在和中， ， ， ，． ， ， ． ， ． ， ， ． ，， 始终为等腰直角三角形． ， ． ， ． ∴正确的有4个． 故选：D． 【变式1】（22-23九年级上·天津滨海新·期中）将两块斜边长度相等的等腰直角三角形板如图①摆放，如果把图①中的绕点C逆时针旋转得，连接，如图②．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形全等的判定方法一一进行判断即可得到答案． 解：∵和是等腰直角三角形，且斜边相等， ∴，     ∴(ASA)    ， 故选项A正确； 根据旋转的性质可得， 故选项B正确； ∵，，并不一定相等， ∴不一定全等， 故选项C错误； ∵， ∴, ∵, ∴， ∴， ∴, ∵ ， ∴， 故选项D正确； 故选C． 【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转的性质和全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 第三部分【拓展延伸】 【题型10】拓展延伸 【例1】如图，P在等边△ABC内且∠APC＝120°，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将△APC旋转60°到△ADB，由于要求的最小值，我们不断让PA变大，点P往下移，如图1，根据直角三角形中斜边比直角边大，当PE与PB重合时取到最小值，如图2，当PA⊥PB时，取到最小值，此时PA∥BD，PA＝PD，且∠PDB＝60°，可得的最小值． 解：将△APC旋转60°到△ADB，由于要求的最小值，我们不断让PA变大，点P往下移，如图1， 当CP⊥AB时，PA＝PB，＝1，＝， 根据直角三角形中斜边比直角边大，当PE与PB重合时取到最小值， 如图3，当PA⊥PB时，取到最小值，此时PA∥BD，PA＝PD，且∠PDB＝60°， 可得＝． 故选：D． 【点拨】本题考查等边三角形的性质，垂线段最短，旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中压轴题． 【例2】（2024九年级·全国·竞赛）如图，和都为等腰直角三角形，点在上，点在的延长线上，，现将绕点旋转，得到，连接，过点作，垂足为点，直线交于点，则线段的长度为 ． 【答案】或 【分析】分按顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论，过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点，连接，利用勾股定理，含30度角的直角三角形的特征求出，根据等面积法求出，证明，得到，易得四边形为平行四边形，利用平行四边形对角线互相平分的性质即可求解． 解：如图1和图2，过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点，连接， 则有，得， ， 由等面积法有； ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 在图1中，， 在图2中，同理得：． 【点拨】本题考查几何变换综合应用，涉及等腰直角三角形的性质及应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，直角三角形的特征，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$