吉林省吉林市桦甸五中2023-2024学年八年级上学期第二次月考数学试卷

2023-2024学年吉林省吉林市桦甸五中八年级（上）第二次月考数学试卷 一、选择题（每小题2分，共12分） 1．（2分）计算x•x2的结果是（　　） A．3x B．x2 C．x D．x3 2．（2分）下列四幅照片中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（2分）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 4．（2分）下列运算结果正确的是（　　） A．x3•x3＝x9 B．2x3+3x3＝5x6 C．（2x2）3＝6x6 D．（2+3x）（2﹣3x）＝4﹣9x2 5．（2分）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（　　） A．3 B．4.5 C．6 D．7.5 6．（2分）如图，是一幅形似“秋蝉”的图案，其实线部分是由正方形，正五边形和正六边形叠放在一起形成的，则图中∠MON的度数为（　　） A．30° B．33° C．40° D．44° 二、填空题（每小题3分，共24分） 7．（3分）计算：20230＝　 　． 8．（3分）分解因式：2a2+a＝　 　． 9．（3分）如图，点D在△ABC的边BC的延长线上，若∠B＝45°，∠ACD＝150°，则∠A的大小为 　 　． 10．（3分）一团污渍覆盖了等式中的运算符号，则覆盖的运算符号是 　 　． 11．（3分）如图，△ABC与△BDE均为等边三角形，点D在AC边上，若∠CDE＝25°，则∠CBD的度数为 　 　． 12．（3分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件是　 　．（只需添一个） 13．（3分）已知A（2，0），B（0，2），在x轴上确定点M，使三角形MAB是等腰三角形，则M点的坐标为　 　（任写一个）． 14．（3分）已知A＝x，B是多项式，在计算B+A时，小明把B+A看成B÷A，计算结果是x+1，则B+A＝　 　． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15．（5分）计算：（6x3﹣15x2+3x）÷3x． 16．（5分）如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上．求证：BC＝DE． 17．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝60°，点D在AB边上，点E在AC边上，且DE∥BC，将△ADE沿DE折叠，点A的对应点为点F．若点F落在BC边上，求证：△BDF是等边三角形． 18．（5分）先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣1． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19．（7分）如果关于x的多项式x﹣2与x2+mx+1的乘积中不含x的一次项，求m的值． 20．（7分）如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F， 求证：EC∥DF． 21．（7分）如图是由6×8的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不写画法，保留作图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在图①中，作出△ABC的高CH； （2）在图②中，AC边上找到一点D，使∠ABD＝45°． 22．（7分）已知x，y为有理数，现规定一种新运算“*”：x*y＝xy+1．例如：2*4＝2×4+1＝9． （1）求（1*4）*（﹣2）； （2）探索a*（b+c）与a*b+a*c的关系，并用等式把它们表示出来． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23．（8分）小明想把一张长为8cm、宽为5cm的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子，于是在长方形纸片的四个角各剪去一个相同的小正方形． （1）若设小正方形的边长为x cm，求图中阴影部分的面积； （2）当x＝2时，求图中阴影部分的面积． 24．（8分）如图①，∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，直线AE、BD交于点F． （1）求证：AE⊥BD； 请补全下面证明过程： 证明：在△ACE与△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD， ∴∠CAE＝　 　， ∵∠ADB＝∠AFB+　 　， ∠ADB＝∠ACB+∠CBD， ∴∠AFB＝∠ACB＝90°， ∴AE⊥BD． （2）将图①中的△CDE绕点C顺时针旋转到图②的位置时，（1）中的结论是否依然成立？请说明理由． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25．（10分）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案： 善于观察思考的小明发现：利用图形面积关系这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2． 对于方案一，小明是这样验证的： 因为大正方形的面积可以看成：a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2，又可以看成（a+b）2，所以a2+2ab+b2＝（a+b）2． 解答下列问题： （1）公式验证：请根据方案二、方案三，分别写出公式的验证过程． 方案二：　 　； 方案三：　 　； （2）公式应用，已知实数a，b均为正数，且a﹣b＝2，ab＝3，求a+b的值． 26．（10分）如图所示，在等边△ABC中，AB＝BC＝AC＝6cm，点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，AQ．设运动时间为t秒（0＜t＜3），请回答： （1）当AQ平分∠BAC时，求t的值； （2）当t为何值时，点P在线段BQ的垂直平分线上？ （3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使△PBQ为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 2023-2024学年吉林省吉林市桦甸五中八年级（上）第二次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题2分，共12分） 1．【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算即可． 【解答】解：x•x2＝x1+2＝x3． 故选：D． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 2．【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【解答】解：A．该图形是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．该图形是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．该图形是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．该图形不是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3．【分析】根据全等三角形的判定定理SAS求解即可． 【解答】解：在△ABO和△DCO中， ， ∴△ABO≌△DCO（SAS）， 故选：B． 【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 4．【分析】利用同底数幂乘法法则，合并同类项法则，积的乘方法则及平方差公式将各项计算后进行判断即可． 【解答】解：A．x3•x3＝x6， 则A不符合题意； B．2x3+3x3＝5x3， 则B不符合题意； C．（2x2）3＝8x6， 则C不符合题意； D．（2+3x）（2﹣3x） ＝22﹣（3x）2 ＝4﹣9x2， 则D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握． 5．【分析】由在等边三角形ABC中，DE⊥BC，可求得∠CDE＝30°，则可求得CD的长，又由BD平分∠ABC交AC于点D，由三线合一的知识，即可求得答案． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC， ∵DE⊥BC， ∴∠CDE＝30°， ∵EC＝1.5， ∴CD＝2EC＝3， ∵BD平分∠ABC交AC于点D， ∴AD＝CD＝3， ∴AB＝AC＝AD+CD＝6． 故选：C． 【点评】此题考查了等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 6．【分析】由正方形、正五边形和正六边形的性质得到∠AOM＝108°，∠OBC＝120°，∠NBC＝90°，求得∠AOB＝×120°＝60°，∠MOB＝108°﹣60°＝48°，得到∠OBN＝360°﹣120°﹣90°＝150°，根据角和差即可得到结论． 【解答】解：由正方形、正五边形和正六边形的性质得，∠AOM＝108°，∠OBC＝120°，∠NBC＝90°， ∴∠AOB＝×120°＝60°，∠MOB＝108°﹣60°＝48°， ∴∠OBN＝360°﹣120°﹣90°＝150°， ∴∠NOB＝×（180°﹣150°）＝15°， ∴∠MON＝33°． 故选：B． 【点评】本题考查了多边形的内角和外角，熟练掌握正方形、正五边形和正六边形的内角的度数是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7．【分析】根据零指数幂的法则即可写出答案． 【解答】解：20230＝1， 故答案为：1． 【点评】此题考查零指数幂的法则，掌握“任何一个不等于零的数的零次幂都等于1”是解题关键． 8．【分析】根据提取公因式法因式分解即可． 【解答】解：2a2+a＝a（2a+1）， 故答案为：a（2a+1）． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 9．【分析】根据三角形外角的性质求解即可． 【解答】解：∵∠ACD＝∠A+∠B， 又∵∠B＝45°，∠ACD＝150°， ∴∠A＝150°﹣45°＝105°， 故答案为：105°． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 10．【分析】根据乘法运算和除法运算互为逆运算，由于x2•x＝x3，则可得x3÷x＝x2，即可得出结果． 【解答】解：∵x2•x＝x3， ∴x3÷x＝x2， ∴覆盖的运算符号是÷． 故答案为：÷． 【点评】此题主要是考查了同底数幂的除法运算，能够熟练掌握同底数幂的除法运算法则是解答此题的关键． 11．【分析】根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【解答】解：∵△ABC与△BDE均为等边三角形， ∴∠A＝∠BDE＝60°， ∵∠CDE＝25°， ∴∠ADB＝180°﹣∠BDE﹣∠CDE＝95°， ∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠ADB＝25°， ∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝35°， 故答案为：35°． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 12．【分析】根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行添加即可 【解答】解：添加AB＝DE． ∵AB∥ED， ∴∠B＝∠E， ∵AC∥FD， ∴∠ACB＝∠DFE， 在△ABC与△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF． 故答案为：AB＝DE． 【点评】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型． 13．【分析】①画AB的垂直平分线交x轴于一点； ②以A为圆心，AB长为半径交x轴于两点； ③以B为圆心，AB长为半径交交x轴于一点，再分别写出坐标即可． 【解答】解：如图所示： M1（0，0），M4（﹣2，0）， ∵A（2，0），B（0，2）， ∴AB＝， ∵M2，M3是以A为圆心，AB长为半径交x轴于两点， ∴M2（2+2，0），M3（﹣2+2，0）． 故所有满足条件点M的坐标是：（0，0）（﹣2，0）（2+2，0），（﹣2+2，0）． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质．注意分类讨论与数形结合思想的应用是解此题的关键． 14．【分析】直接利用整式的乘法运算法则计算得出B，进而利用整式的加减得出答案． 【解答】解：∵A＝x，B是多项式，小明把B+A看成B÷A，计算结果是x+1， ∴B＝A•（x+1） ＝x（x+1） ＝x2+x， 故B+A＝x2+x+x＝x2+2x． 故答案为：x2+2x． 【点评】此题主要考查了整式的乘除以及整式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15．【分析】按照多项式除以单项式法则：让多项式的每一项都除以单项式，然后按照单项式除以单项式法则和同底数幂相除法则进行计算即可． 【解答】解：原式＝6x3÷3x﹣15x2÷3x+3x÷3x ＝2x2﹣5x+1． 【点评】本题主要考查了整式的除法运算，解题关键是熟练掌握多项式除以单项式法则、单项式除以单项式法则和同底数幂相除法则． 16．【分析】先证∠BAC＝∠DAE，再证△ABC≌△ADE（ASA），即可得出结论． 【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， 即∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）， ∴BC＝DE． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△ABC≌△ADE是解题的关键． 17．【分析】利用平行线的性质得出∠ADE＝60°，再利用翻折变换的性质得出∠ADE＝∠EDF＝60°，进而得出∠BDF＝60°即可得出答案． 【解答】证明：∵∠B＝60°，DE∥BC， ∴∠ADE＝60°， ∵△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点， ∴∠ADE＝∠EDF＝60°， ∴∠BDF＝60°， ∴△BDF是等边三角形． 【点评】此题主要考查了翻折变换的性质，平行线的性质和等边三角形的判定等知识，正确利用翻折变换的性质得出∠ADE＝∠EDF是解题关键． 18．【分析】首先利用单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后再合并同类项，化简后，代入a＝﹣1求值即可． 【解答】解：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4）， ＝6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2， ＝﹣20a2+9a． 当a＝﹣1时，原式＝﹣20×（﹣1）2+9×（﹣1）＝﹣29． 【点评】此题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19．【分析】计算（x﹣2）（x2+mx+1），然后结合已知条件即可求得答案． 【解答】解：（x﹣2）（x2+mx+1） ＝x3+mx2+x﹣2x2﹣2mx﹣2 ＝x3+（m﹣2）x2+（1﹣2m）x﹣2， ∵关于x的多项式x﹣2与x2+mx+1的乘积中不含x的一次项， ∴1﹣2m＝0， 解得：m＝． 【点评】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 20．【分析】先由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，根据角平分线定义得到∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，那么∠DBC＝∠ECB，再由∠DBC＝∠F，等量代换得到∠ECB＝∠F，于是根据平行线的判定得出EC∥DF． 【解答】证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BD、CE为底角的平分线， ∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB， ∴∠DBC＝∠ECB， ∵∠DBC＝∠F， ∴∠ECB＝∠F， ∴EC∥DF． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线定义，平行线的判定，难度适中．得出∠DBC＝∠ECB是解题的关键． 21．【分析】（1）根据三角形的高的定义画图即可． （2）结合等腰直角三角形的判定与性质，取格点E，使AE＝AB且AE⊥AB，连接BE交AC于点D，则点D即为所求． 【解答】解：（1）如图①，CH即为所求． （2）如图②，取格点E，使AE＝AB且AE⊥AB，连接BE交AC于点D， 则点D即为所求． 【点评】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的角平分线、中线和高、等腰直角三角形，熟练掌握三角形的高的定义、等腰直角三角形的判定与性质是解答本题的关键． 22．【分析】（1）根据新定义运算先计算括号内的运算，再计算括号外的运算即可； （2）利用新定义运算分别计算a*（b+c）与a*b+a*c，从而可得答案． 【解答】解：（1）（1*4）*（﹣2） ＝（1×4+1）*（﹣2） ＝5*（﹣2） ＝5×（﹣2）+1 ＝﹣10+1 ＝﹣9； （2）a*（b+c）＝a（b+c）+1＝ab+ac+1， a*b+a*c＝ab+1+ac+1＝ab+ac+2； ∴a*（b+c）+1＝a*b+a*c． 【点评】本题考查的新定义运算的含义，有理数的混合运算，理解新定义运算的运算法则是解本题的关键． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23．【分析】（1）用含x的式子表示出阴影部分的长和宽，即可求解； （2）将x＝2代入（1）中的式子计算即可． 【解答】解：（1）由题意知，阴影部分的长为（8﹣2x）cm，宽为（5﹣2x）cm， ∴S阴影＝（8﹣2x）（5﹣2x）＝（4x2﹣26x+40）（cm2）， 答：图中阴影部分的面积为（4x2﹣26x+40）cm2； （2）当x＝2时，， 答：当x＝2时，阴影部分的面积为4cm2． 【点评】本题考查了列代数式，多项式乘多项式，代数式求值．解题的关键在于根据题意列出阴影部分的面积的表达式． 24．【分析】（1）由全等三角形的性质推出∠CAE＝∠CBD，由三角形外角的性质得到∠ADB＝∠AFB+∠CAE； （2）由△BCD≌△ACE（SAS），得到∠CBD＝∠CAE，由对顶角相等得到∠BOC＝∠AOF，由三角形内角和定理得到∠AFO＝∠BCO＝90°，即可证明问题． 【解答】（1）证明：在△ACE与△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD， ∴∠CAE＝∠CBD， ∵∠ADB＝∠AFB+∠CAE， ∠ADB＝∠ACB+∠CBD， ∴∠AFB＝∠ACB＝90°， ∴AE⊥BD． 故答案为：∠CBD，∠CAE． （2）解：如图，（1）中的结论依然成立，理由如下： ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD， ∴∠BCD＝∠ACE， ∵CA＝CB，CD＝CE， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴∠CBD＝∠CAE， ∵∠BOC＝∠AOF， ∴∠AFO＝∠BCO＝90°， ∴AE⊥BD． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，旋转的性质，关键是证明△BCD≌△ACE（SAS）． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25．【分析】（1）方案二根据“大正方形的面积＝一个小正方形的面积+两个矩形的面积”即可得出答案；方案三根据“大正方形的面积＝一个小正方形面积+两个直角梯形的面积”即可得出答案； （2）先将a﹣b＝2的两边平方从而求出a2+b2＝10，然后在计算（a+b）2即可得出答案． 【解答】解：（1）方案二： ∵大正方形是由一个小正方形面积和两个矩形组成， ∴大正方形的面积为：a2+ab+b（a+b）＝a2+2ab+b2， 又∵大正方形的边长为（a+b）， ∴大正方形的面积为：（a+b）2， ∴a2+2ab+b2＝（a+b）2 方案三： ∵大正方形是由一个小正方形面积和两个直角梯形组成， ∴大正方形的面积为：a2+2×（a+a+b）•b＝a2+2ab+b2， 又∵大正方形的边长为（a+b）， ∴大正方形的面积为：（a+b）2， ∴a2+2ab+b2＝（a+b）2． 故答案为：a2+2ab+b2＝（a+b）2；a2+2ab+b2（a+b）2． （2）∵a﹣b＝2，ab＝3， ∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， ∴4＝a2+b2﹣2×3， ∴a2+b2＝10， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝10+2×3＝16， ∵a，b均为正数， ∴a+b＝4． 【点评】此题主要考查了几何背景下的乘法公式，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握图形的面积计算公式和乘法公式的结构特征． 26．【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一的性质可得当AQ平分∠BAC时，BQ＝CQ，根据距离，速度，时间的关系即可求解； （2）根据，列方程求解即可； （3）分PQ⊥AB和PQ⊥BC两种情况讨论，列方程求解即可． 【解答】解：（1）在等边△ABC中，AQ平分∠BAC， ∴点Q是CB的中点， ∴， 即2t＝3， ∴， （2）根据题意：BP＝t，CQ＝2t，则BQ＝6﹣2t， 过点P作PD⊥BC于点D，如图1， 在等边△ABC中，∠B＝60°，点P在线段BQ的垂直平分线上， ∴， ∴ 解得：t＝2s， ∴当t＝2s时，点P在线段BQ的垂直平分线上； （3）解：存在， 当PQ⊥AB时，△BPQ为直角三角形，如图2， 因为∠B＝60° ∴BQ＝2BP， 即6﹣2t＝2t， 解得：， 当PQ⊥BC时，△BPQ为直角三角形，如图3， ∴2BQ＝BP， 即2（6﹣2t）＝t， 解得：， 综上：或时，△BPQ为直角三角形． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$