四川省泸州市第十二初级中学校2023-2024学年八年级上学期月考数学试卷（1月份）

2023-2024学年四川省泸州十二中八年级（上）月考数学试卷（1月份） 一、单项选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　） A．清华大学 B．北京大学 C．中国人民大学 D．浙江大学 2．（3分）下列分式中，属于最简分式的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）如图，AB＝AD，若添加一个条件后，仍不能判定△ABC≌△ADC的是（　　） A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90° 4．（3分）下列各式正确的是（　　） A．m•m2•m3＝m5 B．2x﹣2＝ C．（﹣m2）3＝m6 D．（﹣4m﹣1）（4m﹣1）＝1﹣16m2 5．（3分）如图，把一块含有30°角（∠A＝30°）的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的顶点C处，斜边AB经过桌面另一个顶点D，若∠1＝50°，则∠2＝（　　） A．30° B．25° C．20° D．15° 6．（3分）若分式的值为0，则x的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．±1 7．（3分）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x﹣y，a﹣b，2，x2﹣y2，a，x+y，分别对应下列六个字：华，我、爱、美、游、中，现将2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．爱我中华 B．我游中华 C．中华美 D．我爱游 8．（3分）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，则△APC周长的最小值是（　　） A．13 B．14 C．15 D．13.5 9．（3分）如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝18°，则∠1的度数为（　　） A．50° B．118° C．100° D．90° 10．（3分）若关于x的方程＝3无解，则m的值为（　　） A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3 11．（3分）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+2b2+c2＝2ab+2bc，那么据此判断△ABC的形状是（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 12．（3分）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二.填空题（共4小题，共12分） 13．（3分）科学家测得新冠病毒的直径约为0.000103cm，用科学记数法表示这个数为 　 　cm． 14．（3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任一角．如图②，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA、OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E在槽中滑动，若∠BDE＝81°，则∠CDE的度数为 　 　． 15．（3分）若（x2+mx﹣8）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x2和x3项，则n的值为　 　． 16．（3分）已知在平面直角坐标系中，A（3，2），B（1，﹣2），点C在第四象限内，且三角形ABC为等腰直角三角形．则点C坐标为 　 　． 三.解答题（共9小题，72分） 17．（4分）计算： |﹣23|+（π﹣5）0． 18．（6分）因式分解： （1）4x2﹣16x+16； （2）a2（x﹣y）+9b2（y﹣x）． 19．（8分）解方程： （1）； （2）． 20．（10分）（1）化简：[（3x+2y）2﹣（2y﹣x）（2y+x）]÷2x． （2）先化简，再求值：．并从﹣2，﹣1，1、2四个数中选一个你喜欢的数代入求值． 21．（7分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且GD＝GF． （1）求证：△ADE≌△BFE； （2）连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由． 22．（7分）如图，在平面直角坐标系中：A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2）． （1）若点C与点A关于y轴对称，则点C的坐标为 　 　；点D与点B关于直线AC对称，则点D的坐标为 　 　； （2）以A，B，O为顶点组成三角形，则△ABO的面积为 　 　； （3）在y轴上求作一点P使得PA+PB的值最小． 23．（8分）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式x2+bx+c（b、c为常数）写成（x+h）2+k（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 【知识理解】 （1）若多项式x2+kx+16是一个完全平方式，那么常数k的值为 　 　． （2）配方：x2﹣6x﹣10＝（x﹣3）2﹣　 　； 【知识运用】 （3）已知m2+2mn+2n2﹣8n+16＝0，则m＝　 　，n＝　 　； （4）求多项式：x2+y2﹣4x+6y+15的最小值． 24．（10分）如图：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是斜边AB的中点，点E、F分别是边AC、BC上两个动点，且ED⊥DF． （1）当E、F分别在AC、BC边上移动时，并保持∠EDF＝90°，DE、DF是否相等？请证明你的结论． （2）当E、F分别在AC、BC上移动时，并保持∠EDF＝90°，S四边形DECF会随着变化吗？请证明你的结论． （3）S四边形DECF＝5cm2时，求AC的长． 25．（12分）如图1，△ACB为等腰三角形，∠ABC＝90°，点P在线段BC上（不与B，C重合），以AP为腰长作等腰直角△PAQ，QE⊥AB于E． （1）求证：△PAB≌△AQE； （2）连接CQ交AB于M，若PC＝2PB，求的值； （3）如图2，过Q作QF⊥AQ交AB的延长线于点F，过P点作DP⊥AP交AC于D，连接DF，当点P在线段BC上运动时（不与B，C重合），式子的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由． 2023-2024学年四川省泸州十二中八年级（上）月考数学试卷（1月份） 参考答案与试题解析 一、单项选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【解答】解：A、原式＝，不是最简分式，故本选项不符合题意； B、原式＝﹣1，不是最简分式，故本选项不符合题意； C、原式＝，不是最简分式，故本选项不符合题意； D、该式子是最简分式，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了分式的基本性质和最简分式，能熟记分式的化简过程是解此题的关键，首先要把分子分母分解因式，然后进行约分． 3．【分析】分别添加A、B、C、D四个选项中的条件，找出不能证出△ABC≌△ADC的选项，此题得解． 【解答】解：A、在△ABC和△ADC中，， ∴△ABC≌△ADC（SSS），A不符合题意； B、在△ABC和△ADC中，， ∴△ABC≌△ADC（SAS），B不符合题意； C、在△ABC和△ADC中，∠BCA＝∠DCA、AC＝DC、AC＝AC， 利用ASS无法证出△ABC≌△ADC，C符合题意； D、在Rt△ABC和Rt△ADC中，， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，牢记各全等三角形的判定定理是解题的关键． 4．【分析】先根据同底数幂的乘法，负整数指数幂，积的乘方和幂的乘方，平方差公式求出每个式子的值，再判断即可． 【解答】解：A．结果是m6，故本选项不符合题意； B．结果是，故本选项不符合题意； C．结果是﹣m6，故本选项不符合题意； D．结果是1﹣16m2，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，负整数指数幂，积的乘方和幂的乘方，平方差公式等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键． 5．【分析】根据矩形的性质和平行线的性质解答即可． 【解答】解： ∵ED∥CF， ∴∠3＝∠1＝50°， ∵∠3＝∠2+∠A， ∴∠2＝∠3﹣∠A＝50°﹣30°＝20°． 故选：C． 【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出∠3＝∠1． 6．【分析】根据分式为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可． 【解答】解：∵分式的值为零， ∴，解得x＝1． 故选：B． 【点评】本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键． 7．【分析】利用提公因式法和平方差公式分解因式的结果为2（x+y）（x﹣y）（a﹣b），然后找出对应的汉字即可对各选项进行判断． 【解答】解：2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）＝2（x2﹣y2）（a﹣b）＝2（x+y）（x﹣y）（a﹣b）， 信息中的汉字有：爱、中、华、我． 所以结果呈现的密码信息可能为爱我中华． 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题． 8．【分析】根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论． 【解答】解：∵直线m垂直平分BC， ∴B、C关于直线m对称， 设直线m交AB于D， ∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长， ∴△APC周长的最小值是AB+AC＝6+7＝13． 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置． 9．【分析】在△ABC中利用三角形内角和定理可求出∠C的度数，由折叠的性质，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，结合∠2的度数可求出∠CED的度数，在△CDE中利用三角形内角和定理可求出∠CDE的度数，再由∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE即可求出结论． 【解答】解：在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°． 由折叠，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED， ∴∠CED＝＝99°， ∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝31°， ∴∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE＝180°﹣2∠CDE＝118°． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形内角和定理以及折叠的性质，利用三角形内角和定理及折叠的性质求出∠CDE的度数是解题的关键． 10．【分析】先去分母，再根据条件求m． 【解答】解：两边同乘以（x﹣1）得：mx﹣1＝3x﹣3， ∴（m﹣3）x＝﹣2． 当m﹣3＝0时，即m＝3时，原方程无解，符合题意． 当m﹣3≠0时，x＝， ∵方程无解， ∴x﹣1＝0， ∴x＝1， ∴m﹣3＝﹣2， ∴m＝1， 综上：当m＝1或3时，原方程无解． 故选：B． 【点评】本题考查分式方程的解，理解分式方程无解的含义是求解本题的关键． 11．【分析】通过给出的式子进行因式分解，得到两个平方数的和为0，通过平方数的非负性，得到a﹣b＝0且b﹣c＝0，从而推出为等边三角形． 【解答】解：a2+2b2+c2＝2ab+2bc， ∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0 （a﹣b）2+（b﹣c）2＝0， a﹣b＝0且b﹣c＝0 ∴a＝b，b＝c， ∴a＝b＝c， △ABC为等边三角形， 故选A． 【点评】本题考查对多项式进行因式分解，通过因式分解后，平方数的非负性，得到等量关系，从而得到是等边三角形． 12．【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确； 由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，得出∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确； 作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确； 由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，则∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而OA＞OC，故③错误；即可得出结论． 【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝40°， ∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确； ∴∠OAC＝∠OBD， 由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD， ∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确； 作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2所示： 则∠OGC＝∠OHD＝90°， 在△OCG和△ODH中， ， ∴△OCG≌△ODH（AAS）， ∴OG＝OH， ∴MO平分∠BMC，④正确； ∵∠AOB＝∠COD， ∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC， 假设∠DOM＝∠AOM ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠COM＝∠BOM， ∵MO平分∠BMC， ∴∠CMO＝∠BMO， 在△COM和△BOM中， ， ∴△COM≌△BOM（ASA）， ∴OB＝OC， ∵OA＝OB ∴OA＝OC 与OA＞OC矛盾， ∴③错误； 正确的个数有3个； 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 二.填空题（共4小题，共12分） 13．【分析】根据科学记数法的表示方法：a×10n，1≤|a|＜10，进行求解即可． 【解答】解：0.000103＝1.03×10﹣4； 故答案为：1.03×10﹣4． 【点评】本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法：a×10n，1≤|a|＜10，是解题的关键．注意，在表示绝对值小于1的数时，n值为原数左边起第一个不为0的数字前面的所有的零的个数的相反数． 14．【分析】设∠O＝x，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得∠BDE＝∠O+∠OED＝3x＝81°，再根据三角形内角和定理即可解决问题． 【解答】解：设∠O＝x， ∵OC＝CD， ∴∠O＝∠CDO＝x， ∴∠DCE＝2x， ∵DC＝DE， ∴∠DCE＝∠DEC＝2x， ∴∠BDE＝∠O+∠OED＝3x＝81°， ∴x＝27°， ∴∠ECD＝∠CED＝2x＝54°， ∴∠CDE＝180°﹣（∠ECD+∠CED）＝180°﹣54°×2＝72°， 故答案为：72°． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 15．【分析】利用多项式乘以多项式计算法则展开，然后再合并同类项，进而可得m、n的值． 【解答】解：原式＝x4﹣3x3+nx2+mx3﹣3mx2+mnx﹣8x2+24x﹣8n ＝x4﹣（3﹣m）x3+（n﹣3m﹣8）x2+（mn+24）x﹣8n， ∵展开式中不含x2和x3项， ∴3﹣m＝0，n﹣3m﹣8＝0， 解得：m＝3，n＝17， 故答案为：17． 【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，关键是掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 16．【分析】作等腰Rt△ABC，先构造一线三垂直，再证明△AMB≌△BNC，最后再计算即可．过B作BC'⊥AC．利用三角形中位线得C'F＝3，CF＝EF＝1，最后再计算即可． 【解答】解：①连BA，作等腰Rt△ABC，使BA＝BC，∠ABC＝90°． 过B作直线a∥y轴，过A作AM⊥直线a，过C作CN⊥直线a．如图： ∵∠MAB+∠MBA＝∠MBA+∠CBN＝90°， ∴∠MAB＝∠CBN， 在△AMB和△BNC中， ， ∴△AMB≌△BNC（AAS）， ∴AM＝BN，BM＝NC， ∵A（3，2），B（1，﹣2）， ∴AM＝BC＝2，BM＝NC＝4， ∴N（1，4）， ∴C（5，﹣4）． ②过B作BC'⊥AC．过A作AE⊥NC，过C'作C'F⊥NC． ∴C'为AC中点， ∴C'F为△AEC中位线， ∴C'F＝＝3， CF＝EF＝EC＝1， ∴FN＝3， C'（4，﹣1）． 延长BC'交x轴于C''，连接AC''． 设直线C''B解析式为y＝kx+b， 代入B（1，﹣2），C'（4，﹣1）， ∴k+b＝﹣2，4k+b＝﹣1， ∴k＝，b＝﹣， ∴直线C''B解析式为y＝x﹣， ∴C''（7，0）， ∵AB2＝（3﹣1）2+（2+2）2＝20， C''A2＝（3﹣7）2+22＝20， C''B2＝（1﹣7）2+（﹣2）2＝40， ∴AB2+C''A2＝C''B2，且AB＝C''A， ∴△C''AB为等腰Rt△， 但C''不在第四象限内． 综上所述，点C坐标为（5，﹣4）或（4，﹣1）． 故答案为：（5，﹣4）或（4，﹣1）． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，构造一线三垂直是解题关键． 三.解答题（共9小题，72分） 17．【分析】根据负整数指数幂，0指数幂、乘方运算、绝对值的性质运算化简． 【解答】解：原式＝（﹣3）2+4×（﹣1）﹣8+1 ＝9﹣4﹣8+1 ＝﹣2． 【点评】本题考查实数的运算，负整数指数幂、0指数幂；理解相关运算法则是解题的关键． 18．【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可； （2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝4（x2﹣4x+4） ＝4（x﹣2）2； （2）原式＝a2（x﹣y）﹣9b2（x﹣y） ＝（x﹣y）（a2﹣9b2） ＝（x﹣y）（a+3b）（a﹣3b）． 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 19．【分析】（1）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可； （2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：（1）原方程去分母得：4x﹣3（x﹣2）＝0， 整理得：x+6＝0， 解得：x＝﹣6， 检验：当x＝﹣6时，x（x﹣2）≠0， 故原方程的解为x＝﹣6； （2）原方程去分母得：x（x+2）﹣（x2﹣4）＝8， 整理得：2x+4＝8， 解得：x＝2， 检验：当x＝2时，x2﹣4＝0， 则x＝2是分式方程的增根， 故原方程无解． 【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 20．【分析】（1）先利用完全平方公式，平方差公式计算括号里，再算括号外，即可解答； （2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）[（3x+2y）2﹣（2y﹣x）（2y+x）]÷2x ＝[9x2+12xy+4y2﹣（4y2﹣x2）]÷2x ＝（9x2+12xy+4y2﹣4y2+x2）÷2x ＝（10x2+12xy）÷2x ＝5x+6y； （2） ＝• ＝• ＝x+2， ∵x2﹣4≠0，x+1≠0， ∴x≠±2，x≠﹣1， ∴当x＝1时，原式＝1+2＝3． 【点评】本题考查了整式的混合运算，分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 21．【分析】（1）由AD∥BC，得出∠ADE＝∠F，因为E是AB的中点，得AE＝BE，即可证明△ADE≌△BFE； （2）通过（1）中全等知DE＝EF，DG＝FG，由等腰三角形三线合一即可证出EG⊥DF． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠F， ∵E是AB的中点， ∴AE＝BE， 在△ADE和△BFE中， ， ∴△ADE≌△BFE（AAS）， （2）解：如图，EG⊥DF，理由如下： 由（1）知：△ADE≌△BFE， ∴DE＝EF， ∵DG＝FG， ∴GE是DF的垂直平分线， ∴EG⊥DF． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的三线合一等知识，找出全等所需的条件是解题的关键． 22．【分析】（1）作出对称点可得结论； （2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可； （3）连接BC交y轴于点P，连接PA，点P即为所求． 【解答】解：（1）如图，点C（2，2），点D（﹣3，6）． 故答案为：（2，2），（﹣3，6）； （2）△AOB的面积＝3×4﹣×2×3﹣×2×2﹣×1×4＝5． 故答案为：5； （3）如图，点P即为所求． 【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型． 23．【分析】（1）根据完全平方式的形式a2±2ab+b2求解即可； （2）利用配方法的步骤求解即可； （3）先分组分别配方，再利用平方式的非负性求解m、n值即可； （4）先分组分别配方，再利用平方式的非负性求解即可． 【解答】解：（1）∵多项式x2+kx+16是一个完全平方式， ∴x2+kx+16＝x2±2×4⋅x+42， 则k＝±8， 故答案为：±8； （2）x2﹣6x﹣10 ＝x2﹣6x+9﹣19 ＝（x﹣3）2﹣19， 故答案为：19； （3）由m2+2mn+2n2﹣8n+16＝0得（m2+2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0， 即（m+n）2+（n﹣4）2＝0， ∴m+n＝0，n﹣4＝0， 解得：m＝﹣4，n＝4， 故答案为：﹣4，4； （4）x2+y2﹣4x+6y+15 ＝（x2﹣4x+4）+（y2+6y+9）+2 ＝（x﹣2）2+（y+3）2+2， ∵（x﹣2）2≥0，（y+3）2≥0， ∴当x＝2，y＝﹣3时，x2+y2﹣4x+6y+15有最小值2． 【点评】本题考查完全平方式、配方法、平方式的非负性，理解题意，掌握配方法并灵活运用是解答的关键． 24．【分析】（1）连接CD，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD是∠ACB的平分线，作DM⊥AC，DN⊥BC，垂足分别为点M、N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DM＝DN，再证明四边形CMDN是正方形，然后根据等角的余角相等可得∠EDM＝∠FDN，然后利用“角边角”证明△DEM和△DFN全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝DF； （2）根据全等三角形的面积相等可得△DEM和△DFN的面积相等，从而得到四边形DECF的面积等于正方形CMDN的面积，是定值不变； （3）根据四边形DECF的面积求出CD的长，再根据等腰直角三角形的斜边与直角边的关系即可得解． 【解答】（1）解：DE＝DF． 理由如下：如图，连接CD， ∵AC＝BC，D是AB的中点， ∴CD是∠ACB的平分线， 作DM⊥AC，DN⊥BC，垂足分别为点M、N， 则∠DME＝∠DNF＝90°，DM＝DN（角平分线上的点到角的两边距离相等）， 又∵∠C＝90°， ∴四边形CMDN是正方形， ∴∠MDN＝90°， ∴∠MDF+∠FDN＝90°， ∵∠EDF＝90°， ∴∠EDM+∠MDF＝90°， ∴∠EDM＝∠FDN， 在△DEM和△DFN中， ∵， ∴△DEM≌△DFN（ASA）， ∴DE＝DF； （2）解：S四边形DECF不会变化． 理由如下：根据（1）可得△DEM≌△DFN， 所以S△DEM＝S△DFN， 所以S四边形DECF＝S正方形CMDN， ∵点D是斜边AB边的中点， ∴CD＝AB（不变）， ∴正方形CMDN的面积不变， ∴S四边形DECF不会变化； （3）解：∵S四边形DECF＝5cm2， ∴CD2＝5（正方形的面积等于对角线乘积的一半）， 解得CD＝， AC＝CD＝×＝2（等腰直角三角形斜边等于直角边的倍）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定与性质，正方形的面积的求解，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 25．【分析】（1）根据题目中的信息可以得到AQ＝AP，∠QEA与∠ABP之间的关系，∠QAE与∠APB之间的关系，从而可以解答本题； （2）由第一问中的两个三角形全等，可以得到各边之间的关系，然后根据题目中的信息找到PC与MB的关系，从而可以解答本题； （3）作合适的辅助线，构造直角三角形，通过三角形的全等可以找到所求问题需要的边之间的关系，从而可以解答本题． 【解答】（1）证明：∵△ACB为等腰三角形，∠ABC＝90°，点P在线段BC上（不与B，C重合），以AP为腰长作等腰直角△PAQ，QE⊥AB于E． ∴AP＝AQ，∠ABP＝∠QEA＝90°，∠QAE+∠BAP＝∠BAP+∠APB＝90°， ∴∠QAE＝∠APB， 在△PAB和△AQE中， ， ∴△PAB≌△AQE（AAS）； （2）解：∵△PAB≌△AQE， ∴AE＝PB， ∵AB＝CB， ∴QE＝CB． 在△QEM和△CBM中， ， ∴△QEM≌△CBM（AAS）， ∴ME＝MB， ∵AB＝CB，AE＝PB，PC＝2PB， ∴BE＝PC， ∵PC＝2PB， ∴PC＝2MB， ∴； （3）式子的值不会变化． 如图2所示：作HA⊥AC交QF于点H， ∵QA⊥AP，HA⊥AC，AP⊥PD， ∴∠QAH+∠HAP＝∠HAP+∠PAD＝90°，∠AQH＝∠APD＝90°， ∴∠QAH＝∠PAD， ∵△PAQ为等腰直角三角形， ∴AQ＝AP， 在△AQH和△APD中， ， ∴△AQH≌△APD（ASA）， ∴AH＝AD，QH＝PD， ∵HA⊥AC，∠BAC＝45°， ∴∠HAF＝∠DAF， 在△AHF和△ADF中， ， ∴△AHF≌△ADF（SAS）， ∴HF＝DF， ∴＝＝＝1． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是利用数形结合的思想，找出所求问题需要的关系，通过三角形的全等可以得到相关的角和边之间的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$