2025届高三物理一轮复习导学案： 7.8 带电粒子在电场中运动的综合问题

2025届高三物理一轮复习导学案 第8课时 带电粒子在电场中运动的综合问题 考点一　带电粒子在交变电场中的运动问题 【例题1】(多选)如图甲所示，平行金属板中央有一个静止的电子(不计重力)，两板间距离足够大。当两板间加上如图乙所示的交变电压后，选项图中反映电子速度v、位移x和加速度a随时间t的变化规律图像，可能正确的是(　　) 【变式1】 如图甲所示，两块水平平行放置的导电板，板间距为d，大量电子(质量为m，电荷量为e)连续不断地从中点O沿与极板平行的OO′方向射入两板之间。当两板不带电时，这些电子通过两板之间的时间为3t0，当在两板间加上图乙所示的周期为2t0、幅值恒为U0的周期性电压时，所有的电子均能从两板间通过(不计重力)。求这些电子穿过平行板时距OO′的最大距离和最小距离。 【延伸1】在图甲所示的极板A、B间加上如图乙所示的大小不变、方向周期性变化的交变电压，其周期为T，现有电子以平行于极板的速度v0从两板中央OO′射入。已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的重力，问： (1)若电子从t＝0时刻射入，在半个周期内恰好能从A板的边缘飞出，则电子飞出时速度的大小为多少？ (2)若电子从t＝0时刻射入，恰能平行于极板飞出，则极板至少为多长？ (3)若电子恰能从OO′平行于极板飞出，电子应从哪一时刻射入？两极板间距至少为多大？ 考点二　带电体在等效场中的运动问题 1．等效思维法 等效思维法是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大。若采用“等效法”求解，则能避开复杂的运算，过程比较简捷。 2．方法应用 先求出重力与电场力的合力，将这个合力视为“等效重力”，将视为“等效重力加速度”，如此便建立起“等效重力场”。再将物体在重力场中的运动规律迁移到等效重力场中分析求解即可。 【例题2】 如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心为O，半径为r，内壁光滑，A、B两点分别是圆轨道的最低点和最高点。该区间存在方向水平向右的匀强电场，一质量为m、带负电的小球在轨道内侧做完整的圆周运动(电荷量不变)，经过C点时速度最大，O、C连线与竖直方向的夹角θ＝60°，重力加速度为g。求： (1)小球所受的电场力大小； (2)小球在A点的速度v0为多大时，小球经过B点时对圆轨道的压力最小。 【变式2】(多选)如图，一根不可伸长的绝缘细线一端固定于O点，另一端系一带电小球，置于水平向右的匀强电场中，现把细线水平拉直，小球从A点由静止释放，经最低点B后，小球摆到C点时速度为0，则(　　) A．小球在B点时速度最大 B．小球从A点到B点的过程中，机械能一直在减少 C．小球在B点时细线的拉力最大 D．从B点到C点的过程中小球的电势能一直增加 【延伸2】如图所示，空间有一水平向右的匀强电场，半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，O是圆心，AB是竖直方向的直径。一质量为m、电荷量为＋q(q＞0)的小球套在圆环上，并静止在P点，OP与竖直方向的夹角θ＝37°。不计空气阻力，已知重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求： (1)电场强度E的大小； (2)若要使小球从P点出发能做完整的圆周运动，小球初速度的大小应满足的条件。 考点三　电场中的力电综合问题 【例题3】 如图所示，有一长度L＝1 m、质量M＝10 kg的平板小车，静止在光滑的水平面上，在小车左端放置一质量 m＝4 kg的带正电小物块(可看作质点)，电荷量为q＝1.6×10－2 C(始终保持不变)，小物块与小车间的动摩擦因数μ＝0.25，现突然施加一个水平向右的匀强电场，要使物块在2 s内能运动到小车的另一端，g取10 m/s2。 (1)所施加的匀强电场的电场强度多大？ (2)若某时刻撤去电场，物块恰好不从小车右端滑下，则电场的作用时间多长？ 【变式3】 (多选)如图所示，在电场强度大小为E的匀强电场中，将一个质量为m、电量为q的带正电小球从O点由静止释放，小球沿直线OA斜向下运动，直线OA与竖直方向的夹角为θ。已知重力加速度为g，不计空气阻力，下列判断正确的是(　　) A．场强的最小值为E＝ B．场强的最小值为E＝ C．E＝时，小球的电势能一定不变 D．E＝时，小球的机械能一定减小 【延伸3】如图甲所示，粗糙直轨道OB固定在水平平台上，A是轨道上一点，B端与平台右边缘对齐，过B点并垂直于轨道的竖直面右侧有大小E＝1.0×106 N/C，方向水平向右的匀强电场。带负电的小物体P电荷量是2.0×10－5 C，质量为m＝1 kg。小物块P从O点由静止开始在水平外力作用下向右加速运动，经过0.75 s到达A点，当加速到4 m/s时，撤掉水平外力F，然后减速到达B点时速度是3 m/s，F的大小与P的速率v的关系如图乙所示。P视为质点，P与轨道间动摩擦因数μ＝0.5，直轨道上表面与地面间的距离为h＝1.25 m，P与平台右边缘碰撞前后速度大小保持不变，忽略空气阻力，g取10 m/s2。求： (1)P从开始运动至速率为1 m/s所用的时间； (2)轨道OB的长度； (3)P落地时的速度大小。 参考答案： 【例题1】解析：选AD　在平行金属板之间加上题图乙所示的交变电压时，电子在平行金属板间所受的电场力大小始终不变，F＝，由牛顿第二定律F＝ma可知，电子的加速度大小始终不变，电子在第一个内向B板做匀加速直线运动，在第二个内向B板做匀减速直线运动，在第三个内反向做匀加速直线运动，在第四个内向A板做匀减速直线运动，所以at图像应如图D所示，vt图像应如图A所示，A、D正确，C错误；又因匀变速直线运动位移x＝v0t＋at2，所以x-t图像应是曲线，B错误。 【变式1】解析：　以电场力的方向为正方向，画出电子在t＝0、t＝t0时刻进入电场后，沿电场力方向的速度vy随时间变化的vy-t 图像如图1和2所示 电场强度E＝ 电子的加速度a＝＝ 由图1中vy1＝at0＝ vy2＝a×2t0＝ 由图1可得电子的最大侧移，即穿过平行板时距OO′的最大距离 ymax＝t0＋vy1t0＋t0＝ 由图2可得电子的最小侧移，即穿过平行板时距OO′的最小距离 ymin＝t0＋vy1t0＝。 [答案]　　【延伸1】解析：(1)由动能定理得：e·＝mv2－mv02 解得v＝ 。 (2)t＝0时刻射入的电子，在垂直于极板方向上做匀加速运动，向正极板方向偏转，半个周期后电场方向反向，电子继续在该方向上做匀减速运动，再经过半个周期，电场方向上的速度减到零，此时实际速度等于初速度v0，方向平行于极板，以后继续重复这样的运动； 要使电子恰能平行于极板飞出，则电子在OO′方向上至少运动一个周期，故极板长至少为L＝v0T。 (3)若要使电子从OO′平行于极板飞出，则电子在电场方向上应先加速、再减速，反向加速、再减速，每阶段时间相同，一个周期后恰好回到OO′上，可见应在t＝＋k·(k＝0,1,2，…)时射入； 极板间距离要满足电子在加速、减速阶段不打到极板上， 由牛顿第二定律有a＝ 加速阶段运动的距离 解得d≥T 故两极板间距至少为T 。 答案：(1) 　(2)v0T　(3)＋k·(k＝0,1,2，…)　T 【例题2】解析：　(1)小球经过C点时速度最大，则电场力与重力的合力沿DC方向，如图所示，所以小球受到的电场力的大小 F＝mgtan θ＝mg。 (2)要使小球经过B点时对圆轨道的压力最小，则必须使小球经过D点时的速度最小，即在D点小球对圆轨道的压力恰好为零，有 ＝m， 解得v＝。 在小球从圆轨道上的D点运动到A点的过程中，有 mgr(1＋cos θ)＋Frsin θ＝mv02－mv2， 解得v0＝2。 【变式2】解析：选BD　小球所受重力和电场力恒定，重力和电场力的合力恒定，小球相当于在重力和电场力的合力及细线的拉力作用下在竖直平面内做圆周运动。当小球运动到重力和电场力的合力和细线的拉力共线时(不是B点)，小球的速度最大，此时细线的拉力最大，A、C错误；从A点到C点的过程中，小球所受重力做正功，小球摆到C点时速度为0，所以电场力对小球做负功，小球从A点到B点的过程中，机械能一直在减少，B正确；从B点到C点的过程中，小球克服电场力做功，小球的电势能一直增加，D正确。 【延伸2】解析：(1)当小球静止在P点时，小球的受力情况如图所示， 则有＝tan θ，所以E＝。 (2)小球所受重力与电场力的合力F＝＝mg。当小球做圆周运动时，可以等效为在一个“重力加速度”为g的“重力场”中运动。若要使小球能做完整的圆周运动，则小球必须能通过图中的Q点。设当小球从P点出发的速度为vmin时，小球到达Q点时速度为零，在小球从P运动到Q的过程中，根据动能定理有 －mg·2r＝0－mvmin2， 所以vmin＝，即小球的初速度应不小于。 答案：(1)　(2)不小于 【例题3】[解析]　(1)由图示受力关系可知物块在电场力及摩擦力作用下向右做匀加速运动，小车在摩擦力作用下向右做匀加速运动，由牛顿第二定律知 qE－μmg＝ma1，μmg＝Ma2 物块发生的位移为x1＝a1t2 小车发生的位移为x2＝a2t2 物块能滑到右端，有x1－x2＝L 联立并代入数值得 a1＝1.5 m/s2，a2＝1 m/s2，E＝1 000 N/C。 (2)令电场的作用时间为t0，撤去电场时物块速度为v1，小车速度为v2，此后物块在摩擦力作用下做匀减速运动，运行时间t1到达小车右端 物块做匀减速运动的加速度大小为a3＝μg＝2.5 m/s2 物块恰好不从小车右端滑下说明此时两者速度相等，即v1－a3t1＝v2＋a2t1 而v1＝a1t0，v2＝a2t0 由两者位移关系知a1t02＋a1t0·t1－a3t12－a2(t0＋t1)2＝L 联立并代入数值得t0＝ s。 [答案]　(1)1 000 N/C　(2) s 【变式3】解析：选AC　小球所受合力沿OA方向，由力的合成知识易知，当电场力方向与OA垂直时，电场力最小，如图所示，电场力最小值Fmin＝mgsin θ，由Fmin＝qE，解得场强的最小值E＝，选项A正确，B错误；当E＝时，电场力方向与运动方向垂直，电场力不做功，小球的电势能一定不变，小球的机械能不变，选项C正确，D错误。 【延伸3】解析：(1)P的速率从零增加到v1＝1 m/s，受外力F1＝7 N，设其做匀变速直线运动的加速度为a1，经过时间t1，位移为x1，有 F1－μmg＝ma1 v1＝a1t1 x1＝t1 代入数据得a1＝2 m/s2，t1＝0.5 s，x1＝0.25 m。 (2)P从v1＝1 m/s运动至A点，F2＝9 N，设其做匀变速直线运动的加速度为a2，有F2－μmg＝ma2 设P从速度v1经过t2时间，在A点的速度为v2，位移为x2，则 t2＝0.75 s－t1＝0.25 s v2＝v1＋a2t2 x2＝t2 解得v2＝2 m/s，x2＝0.375 m P从A点至B点，先做匀加速直线运动，速度达到v3＝4 m/s，位移为x3，有v32－v22＝2a2x3 解得x3＝1.5 m P达到速度v3时撤掉水平外力，在摩擦力作用下减速，减速到达B点时速度是v4＝3 m/s，位移为x4，有 －μ mg ＝ma3 v42－v32＝2a3x4 解得x4＝0.7 m 轨道OB的长度：x＝x1＋x2＋x3＋x4＝2.825 m。 (3)P从B点开始水平方向受向左的电场力，竖直方向上受重力，做曲线运动。水平方向的加速度大小ax＝＝20 m/s2 水平方向上先向右做匀减速运动，再向左做匀加速运动，经时间t3＝2×＝0.3 s与平台右边缘相碰。 竖直方向上做自由落体运动，有h＝gt42 解得t4＝0.5 s 落地时水平方向的速度 vx＝v4－ax(t4－t3)＝－1 m/s 落地时竖直方向的速度 vy＝gt4＝5 m/s 落地时的速度大小为 v＝＝ m/s。 答案：(1)0.5 s　(2)2.825 m　(3) m/s 学科网（北京）股份有限公司 $$