精品解析：2024年湖南省长沙市长郡集团中考数学押题金卷(七)

2024年湖南省长沙市长郡集团中考数学押题金卷（七）数学 温馨提示∶ 1． 答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2． 必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3． 答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4． 请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁∶ 5． 答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6． 本学科试卷共 25 个小题，考试时量 120 分钟，满分 120 分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 下列几何体中，三视图都是圆的是（ ） A. 长方体 B. 图柱 C. 圆锥 D. 球 3. 下列代数式计算，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，点在直线上，点和点均在直线上，若，，，则（　　） A. B. C. D. 5. 为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 由化学知识可知，用表示溶液酸碱性强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性．若将给定的溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映溶液的与所加水的体积之间对应关系的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，某玩具品牌的标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（　　） A. B. C. D. 8. 若k为任意整数，则的值总能（ ） A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 9. 在某次射击训练过程中，小明打靶10次的成绩（环）如表所示：则小明射击成绩的众数和方差分别为（　　） 靶次 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 成绩（环） 8 9 9 10 10 7 8 9 10 10 A. 10和0.1 B. 9和0.1 C. 10和1 D. 9和1 10. 在矩形中，，，如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交，于点，，则的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 请写出一个正整数m的值使得是整数；_____________． 12. 在如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分为，，，将向左平移个单长度得到，若反比例函数的图像过点，则的值为______． 13. 不等式组的解集为______． 14. 一个正n边形的一个外角是，那么________． 15. 如图，分别与相切于两点，且．若点是上异于点的一点，则的大小为___________． 16. 某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心的水距离也为，那么水管的设计高度应为______m． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 18 计算：． 19. 综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H．经测量，点A距地面，到树的距离，．求树的高度（结果精确到）． 20. 先化简，再求值：，其中满足． 21. 中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》中，对学生每天的作业时间提出明确要求：“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”．为了更好地落实文件精神，某县对辖区内部分初中学生就“每天完成书面作业的时间”进行了随机调查，为便于统计学生每天完成书面作业的时间（用t表示，单位h）状况设置了如下四个选项，分别为A：，B：，C：，D：，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据以上提供的信息解答下列问题： （1）此次调查，选项A中的学生人数是多少？ （2）在扇形统计图中，选项D所对应的扇形圆心角的大小为多少？ （3）如果该县有15000名初中学生，那么请估算该县“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的初中学生约有多少人？ （4）请回答你每天完成书面作业的时间属于哪个选项，并对老师的书面作业布置提出合理化建议． 22. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，且． （1）证明四边形为矩形； （2）若，，求的面积； （3）点，分别是线段，上的点，若，，，，求的长． 23. 为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍． （1）求豆沙粽和肉粽的单价； （2）超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）； 豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额 小欢妈妈 20 30 270 小乐妈妈 30 20 230 ①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价； ②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为包，包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值． 24. 如图，点是的内心，的延长线与边相交于点，与的外接圆相交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）求证：； （4）猜想：线段三者之间存在等量关系．（直接写出，不需证明．） 25. 如图，已知．点E位于第二象限且直线上，，，连接． （1）直接判断的形状：是_________三角形； （2）求证：； （3）直线EA交x轴于点．将经过B，C两点的抛物线向左平移2个单位，得到抛物线． ①若直线与抛物线有唯一交点，求t值； ②若抛物线的顶点P在直线上，求t的值； ③将抛物线再向下平移，个单位，得到抛物线．若点D在抛物线上，求点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年湖南省长沙市长郡集团中考数学押题金卷（七）数学 温馨提示∶ 1． 答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2． 必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3． 答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4． 请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁∶ 5． 答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6． 本学科试卷共 25 个小题，考试时量 120 分钟，满分 120 分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数，根据“只有符号相反的两个数互为相反数”进行求解即可． 【详解】解：相反数是， 故选：A． 2. 下列几何体中，三视图都是圆的是（ ） A. 长方体 B. 图柱 C. 圆锥 D. 球 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何体的三视图进行判断即可． 【详解】解：在长方体、图柱、圆锥、球四个几何体中，三视图都是圆的是球， 故选：D 【点睛】此题考查了三视图，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键． 3. 下列代数式计算，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同底数的幂的乘除法，幂的乘方和积的乘方，掌握相关的法则是解题的关键． 根据幂的运算法则进行计算，根据计算结果判定即可． 【详解】解：A． ，正确，该选项符合题意； B． ，错误，该选项不符合题意； C． ，错误，该选项不符合题意； D． ，错误，该选项不符合题意； 故选：A． 4. 如图，点在直线上，点和点均在直线上，若，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理．根据“两直线平行，内错角相等”与三角形的内角和为进行解题即可． 【详解】解：， ， 又，， ， 故选C． 5. 为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先画树状图，再根据概率公式计算即可． 【详解】设三部影片依次为A、B、C，根据题意，画树状图如下： 故相同的概率为． 故选B． 【点睛】本题考查了画树状图法计算概率，熟练掌握画树状图法是解题关键． 6. 由化学知识可知，用表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性．若将给定的溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映溶液的与所加水的体积之间对应关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，溶液呈碱性，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，的值则接近7，据此即可求解． 【详解】解：∵溶液呈碱性，则，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，的值则接近7， 故选：B． 【点睛】本题考查了函数的图象，数形结合是解题的关键． 7. 如图，某玩具品牌的标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等，只要计算出一个阴影部分的面积即可，如图，连接，阴影的面积＝扇形的面积，据此即可解答. 【详解】解：根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等； 如图，连接，则，是等边三角形， ∴，弓形的面积相等， ∴阴影的面积＝扇形的面积， ∴图中三个阴影部分的面积之和； 故选：C. 【点睛】本题考查了不规则图形面积的计算，正确添加辅助线、掌握求解的方法是解题关键. 8. 若k为任意整数，则的值总能（ ） A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 【答案】B 【解析】 【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【详解】解： ， 能被3整除， ∴的值总能被3整除， 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式． 9. 在某次射击训练过程中，小明打靶10次的成绩（环）如表所示：则小明射击成绩的众数和方差分别为（　　） 靶次 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 成绩（环） 8 9 9 10 10 7 8 9 10 10 A 10和0.1 B. 9和0.1 C. 10和1 D. 9和1 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据众数的定义以及方差的公式解答即可． 【详解】解：由题意可知，10环出现的次数最多，为4次，故众数为10； 这10次的成绩的平均数为：， 故方差为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了众数和方差．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 10. 在矩形中，，，如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交，于点，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设交于点，交于点，过点作于点，先证明，得到，进而得出，由作图可知，平分，得到，根据可求出，然后根据勾股定理求出，根据，求出，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点，交于点，过点作于点， 四边形是矩形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， 由作图可知，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了基本作图，矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角函数，解题的关键是灵活运用这些知识． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 请写出一个正整数m的值使得是整数；_____________． 【答案】8 【解析】 【分析】要使是整数，则要是完全平方数，据此求解即可 【详解】解：∵是整数， ∴要是完全平方数， ∴正整数m的值可以为8，即，即， 故答案为：8（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解题意得到要是完全平方数是解题的关键． 12. 在如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分为，，，将向左平移个单长度得到，若反比例函数的图像过点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，反比例函数的图像与性质，掌握相关知识是解题的关键．根据平移的性质求出点的坐标，再将点的坐标代入反比例函数中，即可求解． 【详解】解：将向左平移个单长度得到，且， ， 反比例函数的图像过点， ， 故答案为：． 13. 不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组．分别求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为． 故答案为：． 14. 一个正n边形的一个外角是，那么________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了正n边形的性质与n边形的外角和定理，注意掌握n边形的外角和为是解题的关键． 由正n边形的一个外角是，n边形的外角和为，即可求得n的值． 【详解】解：∵正n边形的一个外角是，n边形的外角和为， ∴． 故答案为：6 15. 如图，分别与相切于两点，且．若点是上异于点的一点，则的大小为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据切线的性质得到，根据四边形内角和为，得出，然后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，当点在优弧上时， ∵分别与相切于两点 ∴， ∵． ∴ ∵， ∴， 当点在上时， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和，熟练掌握切线的性质与圆周角定理是解题的关键． 16. 某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心的水距离也为，那么水管的设计高度应为______m． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意．求出抛物线解析式．根据题意求出抛物线顶点坐标为，把代入可得解析式，再令求出值即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意抛物线顶点坐标为，与轴交点坐标为； 设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得， ， 令得：， 水管的高度应为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：原方程去分母得：　 　 　 　 经检验，是原方程的根， ∴原方程的解为． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验，掌握解分式方程的方法是解题关键． 18. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次根式的运算是解题的关键． 根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解． 【详解】解： ． 19. 综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H．经测量，点A距地面，到树的距离，．求树的高度（结果精确到）． 【答案】树的高度为 【解析】 【分析】由题意可知，，，易知，可得，进而求得，利用即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， 则， ∴， ∵，， 则， ∴， ∵，则， ∴， ∴， 答：树的高度为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，得到是解决问题的关键． 20. 先化简，再求值：，其中满足． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，然后将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，求得的值，最后将代入化简结果即可求解． 【详解】解： ； ∵， 即， ∴原式． 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则以及负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行求解． 21. 中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》中，对学生每天的作业时间提出明确要求：“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”．为了更好地落实文件精神，某县对辖区内部分初中学生就“每天完成书面作业的时间”进行了随机调查，为便于统计学生每天完成书面作业的时间（用t表示，单位h）状况设置了如下四个选项，分别为A：，B：，C：，D：，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据以上提供的信息解答下列问题： （1）此次调查，选项A中的学生人数是多少？ （2）在扇形统计图中，选项D所对应的扇形圆心角的大小为多少？ （3）如果该县有15000名初中学生，那么请估算该县“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的初中学生约有多少人？ （4）请回答你每天完成书面作业的时间属于哪个选项，并对老师的书面作业布置提出合理化建议． 【答案】（1）8人 （2） （3）9600人 （4）见解析 【解析】 【分析】（1）用选项C中的学生人数除以其所占比例求出总人数，然后用总人数减去其它三个组的人数即可求出选项A的人数； （2）用乘以其所占比例即可求出答案； （3）利用样本估计总体的思想解答即可； （4）答案不唯一，合理即可；如可以结合（3）小题的结果分析． 【小问1详解】 解：此次调查的总人数是人， 所以选项A中的学生人数是（人）； 【小问2详解】 ， 选项D所对应扇形圆心角的大小为； 【小问3详解】 ； 所以估算该县“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的初中学生约有9600人； 【小问4详解】 我的作业时间属于B选项；从调查结果来看：仅有的学生符合“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”，还有的学生每天完成书面作业的时间超过了90分钟，所以布置的作业应该精简量少．（答案不唯一，合理即可）． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图以及利用样本估计总体等知识，正确理解题意、从统计图中获取解题所需要的信息是解题的关键． 22. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，且． （1）证明四边形为矩形； （2）若，，求的面积； （3）点，分别是线段，上的点，若，，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的面积为； （3）的长为． 【解析】 【分析】（1）先证明，再根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可证明结论成立； （2）利用正函数的定义求得，再求得矩形的面积，据此即可求解； （3）过点分别作的垂线，垂足分别为，等面积法证明，进而证明，，根据全等三角形的性质得出，，根据已知条件求得，进而勾股定理求得，进而即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴矩形的面积为， ∴的面积为； 【小问3详解】 解：解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中， ∴， ∴， ∴ ∴ 解得： ∴ 在中，， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍． （1）求豆沙粽和肉粽的单价； （2）超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）； 豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额 小欢妈妈 20 30 270 小乐妈妈 30 20 230 ①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价； ②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为包，包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值． 【答案】（1）豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元 （2）①豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；② 【解析】 【分析】（1）设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为元，依题意列一元一次方程即可求解； （2）①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元，依题意列二元一次方程组即可求解； ②根据销售额=销售单价销售量，列一元二次方程，解之即可得出m的值． 【小问1详解】 解：设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为元， 依题意得， 解得； 则； 所以豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元； 【小问2详解】 解：①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元， 依题意得，解得， 所以豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元； ②依题意得， 解得或， ， ∴， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，根据题意找到题中的等量关系列出方程或方程组是解题的关键． 24. 如图，点是的内心，的延长线与边相交于点，与的外接圆相交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）求证：； （4）猜想：线段三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）过点F作，垂足分别为，则，进而表示出两个三角形的面积，即可求解； （2）过点A作于点，表示出两三角形的面积，即可求解； （3）连接，证明得出，证明，得出，即可，恒等式变形即可求解； （4）连接，证明，得出，证明，得出，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图所示，过点F作，垂足分别为， ∵点是的内心， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：如图所示，过点A作于点， ∵， ∴， 由（1）可得， ∴； 【小问3详解】 证明：连接， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴， 【小问4详解】 解：如图所示，连接， ∵点是的内心， ∴是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内心的定义，同弧所对的圆周角相等，角平分线的性质与定义，相似三角形的性质与判定，三角形的外角性质，三角形的面积公式等知识，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 25. 如图，已知．点E位于第二象限且在直线上，，，连接． （1）直接判断的形状：是_________三角形； （2）求证：； （3）直线EA交x轴于点．将经过B，C两点的抛物线向左平移2个单位，得到抛物线． ①若直线与抛物线有唯一交点，求t的值； ②若抛物线的顶点P在直线上，求t的值； ③将抛物线再向下平移，个单位，得到抛物线．若点D在抛物线上，求点D的坐标． 【答案】（1）等腰直角三角形 （2）详见解析 （3）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）由得到，又由，即可得到结论； （2）由，得到，又有，，利用即可证明； （3）①求出直线解析式和抛物线的解析式，联立得，由即可得到t的值； ②抛物线向左平移2个单位得到抛物线，则抛物线的顶点，将顶点代入得到，解得,根据即可得到t的值； ③过点E作轴，垂足为M，过点D作轴，垂足为N，先证明，则，设,由得到,则,求得,得到，由抛物线再向下平移个单位，得到抛物线,把代入抛物线,得到,解得,由，得,即可得到点D的坐标． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形 【小问2详解】 如图， ∵，， ， ， ∵， ； 【小问3详解】 ①设直线的解析式为， ， ∴， ， 将代入抛物线得， ， 解得， ， 直线与抛物线有唯一交点 ∴联立解析式组成方程组解得 ②∵抛物线向左平移2个单位得到， ∴抛物线， 抛物线的顶点， 将顶点代入， ，解得, ∵， ； ③过点E作轴，垂足为M，过点D作轴，垂足为N, ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的解析式为， ∴设, ∴， 轴, ∴, ∴， , , , ∴，， , 抛物线再向下平移个单位，得到抛物线， ∴抛物线, 代入抛物线, , 解得, 由，得, ∴， ． 【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了二次函数的平移、二次函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，熟练掌握二次函数的平移和数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$