江苏省南京市2024-2025学年高三上学期9月学情调研数学试卷

南京市2025届高三年级学情调研 数 学 2024.09.19 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．已知集合A＝{x|x－3＞0}，B＝{x|x2－5x＋4＞0}，则A∩B＝ A．(－∞，1) B．(－∞，3) C．(3，＋∞) D．(4，＋∞) 2．已知ax＝4，loga3＝y，则a＝ A．5 B．6 C．7 D．12 3．已知|a|＝，|b|＝1．若(a＋2b)⊥a，则cos<a，b>＝ A．－ B．－ C． D． 4．已知数列{an}为等差数列，前n项和为Sn．若S3＝6，S6＝3，则S9＝ A．－18 B．－9 C．9 D．18 5．若a是第二象限角，4sin2α＝tanα，则tanα＝ A．－ B．－ C． D． 6．甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名(没有并列名次)．甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”．从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为 A．4 B．6 C．8 D．12 7．若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为 A．24 B．32 C．96 D．128 8．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点P在C上，点Q在l上．若PF＝2QF，PF⊥QF，则△PFQ的面积为 A． B．25 C． D．55 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数z，下列命题正确的是 A．若z＋1∈R，则z∈R B．若z＋i∈R，则z的虚部为－1 C．若|z|＝1，则z＝±1 D．若z2∈R，则z∈R 10．对于随机事件A，B，若P(A)＝，P(B)＝，P(B|A)＝，则 A．P(AB)＝ B．P(A|B)＝ C．P(A＋B)＝ D．P(B)＝ 11．设函数f(x)＝＋，则 A．f(x)的定义域为{x|x≠，k∈Z} B．f(x)的图象关于x＝对称 C．f(x)的最小值为5 D．方程f(x)＝12在(0，2π)上所有根的和为8π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12．(2＋)4展开式中的常数项是 ▲ ． 13．与圆柱底面成45°角的平面截圆柱得到如图所示的几何体．截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为 ▲ ． (第13题图) 14．已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，直线BF2与C相交于另一点A．当cos∠F1AB最小时，C的离心率为 ▲ ． 四、解答题；本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分) 小王早晨7：30从家出发上班，有A，B两个出行方选择，他统计了最近100天分别选择A，B两个出行方案到达单位的时间，制成如下表格： 8点前到(天数) 8点或8点后到(天数) A方案 28 12 B方案 30 30 (1)判断并说明理由：是否有95%的把握认为在8点前到单位与方案选择有关； (2)小王准备下周一选择A方案上班，下周二至下周五选择B方案上班，记小王下周一至下周五这五天中，8点前到单位的天数为随机变量X．若用频率估计概率，求P(X＝3)． 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d， P(χ≥x0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 x0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 16．(本小题满分15分) 如图，在四面体ABCD中，△ACD是边长为3的正三角形，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，E，F分别为线段AB，BC的中点，＝2，＝2． (1)求证：EF∥平面MNB； (2)若平面ACD⊥平面ABC，求直线BD与平面MNB所成角的正弦值． (第16题图) 17．(本小题满分15分) 已知数列{an}，{bn}，an＝(－1)n＋2n，bn＝an＋1－λan(λ＞0)，且{bn}为等比数列． (1)求λ的值； (2)记数列{bnn2}的前n项和为Tn．若TiTi＋2＝15Ti＋1(i∈N*)，求i的值． 18．(本小题满分17分) 已知 F1，F2是双曲线线C：(a＞0，b＞0)的左、右焦点，F1F2＝2，点T(2，)在C上． (1)求C的方程； (2)设直线l过点D(1，0)，且与C交于A，B两点． ①若＝3，求△F1F2A的面积； ②以线段AB为直径的圆交x轴于P，Q两点，若|PQ|＝2，求直线l的方程． 19．(本小题满分17分) 已知函数f(x)＝e＋ax2－3ax＋1，a∈R． (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程； (2)当a＞1时，试判断f(x)在[1，＋∞)上零点的个数，并说明理由； (3)当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围． 高三数学试卷 第 页(共5页)2 学科网（北京）股份有限公司 $$南京市2025届高三年级学情调研 数学参考答案 2024.09 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上， 1 2 3 4 6 7 D D B A C C B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分， 不选或有错选的得0分. 9 10 11 AB BCD ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上， 12.240 13.3π 四、解答题：本大题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文 字说明，证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 解：(1)假设H:8点前到单位与方案选择无关， 则r=100x28×30-12X30 40×60×42×58 一2分 800 203 ≈3.94>3.841， …4分 所以有95%的把握认为8点前到单位与路线选择有关。 -6分 (2)选择A方案上班，8点前到单位的概率为0.7， 选择B方案上班，8点前到单位的概率为0.5. 一8分 当X=3时，则分两种情况： ①若周一8点前到单位， 则P=0.7XC31-0.5×0.5= 80 -10分 ②若周一8点前没有到单位， 则A=0-0,7刃×C0-05)x0590 12分 27 综上，PX=3)=P+P=8 13分 16.(本小题满分15分) 解：(1)因为E,F分别为线段AB,BC中点， 所以EF∥AC. 一2分 因为应=2ò，6或-2ò，哈器8瓷号 所以MN∥AC,所以EF∥MN. -4分 又MNC平面MNB,EFc平面MNB, 所以EF∥平面MNB.- 一6分 (2)取AC中点O,连接DO,OE. 因为△ACD为正三角形，所以DO⊥AC. 因为平面ACD⊥平面ABC,平面ACD∩平面ABC= AC,DOC平面ACD, 所以DO⊥平面ABC. 8分 因为O,E分别为AC,AB中点，则OE∥BC. 又因为AC⊥BC,所以OE⊥AC. 以O为坐标原点，OE,OC,OD所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， ……10分 则D0,0,5.A3,多0，AM0.-V.N0.分V5 故BM=(-3,-2,3),MN=(0,1,0), 励=(3.多9 设平面MNB的法向量为n=(x,y,,直线BD与平面MNB所成角为A, 则 n BM=0, 即-3-2+VB=0. nN=0, y=0. 取n=(V3,0,3). -12分 3 则sin0=cos<亦，心=BDm -3V5+0+E BDn 所以BD与平面MNB所成角的正弦值为漫 15分 17.(本小题满分15分) 解：(1)因为am=(-1+2”,则a1=1,a2=5,a=7,a4=17. 又bn=an+1-iam 则b1=a2-a1=5-1,b2=a3-a2=7-51,b3=a4-1a3=17-71. 2分 因为{b}为等比数列，则b22=b13,所以(7一5)？=(5一(17-7)，…4分 整理得2-1-2=0，解得1=一1或2. 因为2>0，故1=2. 当=2时，bm=a+1-2a。=(-1)1+21-2(-1+2 =(-1)×(-1y+2+-2×(-1°-2"*=-3×(-1y -6分 会--小黄为9比数 所以=2符合题意. -7分 (2)bm2=-3×(-1y2, 当n为偶数时，Tn=-3×[-12+22-32+42-52+62-…-(n-1)2+的 3 =-3×(1+2+…+m）=-n+1) 0分 3 当n为奇数时，T。=T+,-ba+1(n+1P=一n+1n+2)十30n+1P =n+1). …12分 3 (n十1)，n为奇数， 综上，Tn= 3 (n+),n为偶数. 因为TT+2>0,又TT+2=15T#1, 故T+>0,所以i为偶数 -13分 所以[-多+11-3+2+3训=15×6+1X+2), 整理得P+3i-10=0,解得i=2或=一5（舍）， 所以i=2. -15分 18.(本小题满分17分) 解：(1)由题意可知c=V6,点T在C上，根据双曲线的定义可知TF一TFz=2a: 即2a=V(3√6)2+(W10)2-VW62+(√10=4，所以a=2,-2分 3 则b2=c2-a2=2, x2 12 所以C的方程为疗21. 3分 (2)①设B0,w),DB=(x0-1,%): 因为DA=3DB,所以DA=(3x0-3,3%), 所以A点坐标为(3x0一2,30)， 一5分 停鸟， 因为A,B在双曲线C上，所以 o-2Y_Bw2=1. 3 解得0=3，%=士 10 2· 7分 所以A点坐标为们，士3 2 所以5×FA=x2x2N6=3V下. …8分 ②当直线1与y轴垂直时，此时PQ=4不满足条件. 设直线/的方程为x=y+1,A1,),B(2,2,Pxp,0),Qx0,0. 2y2 直线I与C联立 4-2=1,消去x,得C-22+20-3=0, x=y+1, 21 3 所以n+=一2=2 -10分 A=4+12-2>0,得P>组≠2 2-2≠0. 以AB为直径的圆方程为x一xx一2)十0一)0一2)=0， 令y=0,可得x2-(c十x2r十xx2十y2=0,则xp,x0为方程的两个根， 所以xp+x0=x1十x2,xno=xr2十y2: -13分 所以P0=xp-xo=Vp+xoP-4nr0=Vm+2P-4r2+y02) =V-x22-4ywn=V0-2P-4w2 4 =VP0+P-4+1=1V-2乎+ 12(P+1) t2-2 160-12P-24=2. =1V-2 -15分 解得F=-2X合减即=± 所以直线1的方程为：3x士√5y-3=0. -17分 19.(本小题满分17分) 解：(1)当a=1时，x)=e1+x2-3x+1,则fx)=e1+2x-3, 所以曲线y=x)在x=1处切线的斜率k=f代1)=0. 又因为1)=0， 所以曲线y=x)在x=1处切线的方程为y=0. 3分 (2)1)=e1a-2a+1,fx)=ea+2ar-3a,则f1)=ea-a, 当a>1时，fx)=ea+2a>0,则fx)在(1，+∞)上单调递增， 因为1)=ea-a<e-1-1=0,a)=1+2a2-3a=(2a-1)(a-1)>0, 所以存在唯一的xo∈(1，a,使得fo)=0. -5分 当x∈(1，xo)时，x)<0,所以x)在[l,xo)上单调递减： 当x∈(xa,+∞)时，fx)>0,所以/x)在(o,+o)上单调递增. 又因为f1)=ea-2a+1<e0-2+1=0,所以xo)<f1)<0. 又因为3)=e3a+1>0, 所以当a>1时，fx)在[1，+∞)上有且只有一个零点. 8分 (3)①当a>1时，1)=ea-2a十1<e0-2+1=0,与当r≥0时，x)≥0矛盾， 所以a>1不满足题意.一9分 ②当a≤1时，0)=ea+1>0, f(x)=e*a+2ax-3a,f(x)=e*"+2a,f(0)=ea+2a. 记函数g(x)=er+2x,x≤1， 则gx)=一ex+2, 当x∈（一ln2,1)时，g'x)>0,所以g(x)在(-n2,1)单调递增： 当x∈(-oo,-n2)时，g)<0,所以q(x)在（一∞，一ln2)单调递减， 所以g(x)≥g(-ln2)=2-2ln2>0,所以f"(0)>0. 又因为"(x)在[0，+∞)上单调递增， 所以f气(x)≥f0)>0,所以x)在[0，十o∞)上单调递增.-11分 (①若f0)=e0-3a≥0， 则fx)≥f0)≥0，所以x)在[0，+∞)上单调递增， 则x)≥0)>0，符合题意： 3分 (im)若f0)=ea-3a<0,可得a>0,则0<a≤1. 因为1)=ea-a≥0，且fx)在[0，十∞)上单调递增， 所以存在唯一的x1∈(0,1门，使得/x)=0. 当x∈(0，x)时，f)<0,所以x)在(0，x)上单调递减， 当x∈x1,+∞)时，fx)>0,所以fx)在(x1,+∞)上单调递增， 其中x∈(0,1]，且e1-4+2ar1-3a=0. 5分 所以fx)≥fx)=e1“+ax2-3ar1+1 =3a-2a1+a12-3a+1=ax,2-5a1+3a+1=a(x2-5x1+3)+1, 因为x1∈(0,1]，所以x2-51+3∈[一1,3). 又因为a∈(0,1]，所以ax2-5x1+3)≥-1， 所以x)≥0，满足题意. 结合①②可知，当a≤1时，满足题意. 综上，的取值范围为（一o,1.-小7分 6