函数与导数阶段测试-2025届高考数学一轮复习

（2）函数与导数 ——2025届高考数学一轮复习一站式复习之阶段测试 1.设是定义在R上的奇函数，且，当时，，则的值为( ) A.-1 B.-2 C.2 D.1 2.函数的图象大致为( ) A. B. C. D. 3.设，，，则a，b，c的大小关系是( ) A. B. C. D. 4.垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率v与时间t(月)近似满足关系(其中a、b为正常数)，经过5个月，这种垃圾的分解率为，经过个月，这种垃圾的分解率为，则这种垃圾完全分解大约需要经过( )个月(参考数据：) A.20 B.22 C.24 D.26 5.若定义在R上的偶函数满足，且时，，则方程的零点个数是( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.6个 6.已知是R上的奇函数，且对任意的均有成立.若，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 7.给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.若函数，则( ) A.-8080 B.-8082 C.8084 D.8088 8.若存在正实数x，使得不等式成立（e是自然对数的底数），则实数a的最大值为( ) A. B. C. D. 9.（多选）已知函数是定义在R上的奇函数，且是偶函数，当时，，则下列选项中正确的是( ) A.关于对称 B.是周期为4的函数 C. D. 10.（多选）已知函数，则下列说法正确的是( ) A.当时，在R上单调递增 B.当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增 C.当时，函数与的图象有两个不同的公共点 D.当时，若不等式在时恒成立，则a的取值范围是 11.已知定义在R上的函数，满足，且，，则________. 12.已知，若关于x的方程有3个不同实根，则实数a取值范围为_______________． 13.已知函数（），若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为________. 14.已知函数. （1）讨论函数的极值情况； （2）证明：当时，. 15.已知函数. （1）若函数的最大值为-1，求实数a的值； （2）若不等式在时恒成立，求实数a的取值范围. 答案以及解析 1.答案：B 解析：由题意知，则， 即，所以， 即，所以函数的周期为4， 所以， 故选B. 2.答案：B 解析：由题易知为偶函数，排除A选项；当时，，，所以，排除C，D选项. 3.答案：C 解析：，，. 故选C. 4.答案：B 解析：由题意，可得，解得，则， 这种垃圾完全分解，即分解率为，即，所以， 所以，则. 故选B. 5.答案：C 解析：由可知是周期为2的偶函数， 作函数与函数的图象如下： 方程的零点个数即函数与函数的交点个数， 由图象可知，有四个不同的交点，故选C. 6.答案：B 解析：由得.令，则，所以在R上单调递增， 又，为奇函数，所以，， 则.故选B. 7.答案：B 解析：，则，令，得，，即的图象的对称中心为，则， 故 故选B. 8.答案：C 解析：当时，. 设，则对恒成立， 则在上单调递增，则 . 设，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则当时，取得最大值，故，因此实数a的最大值为.故选C. 9.答案：BC 解析：定义在R上的函数满足：为奇函数，为偶函数，可得，即，所以函数关于对称， 从而，故，可得的最小正周期为4， 故选项A错误，B正确； 由于，则，， 当时，，所以，则，故选项C正确； 因为，，所以，，，又的最小正周期为4，所以每个周期的和，所以，故选项D错误.故选BC. 10.答案：ABD 解析：对于A，由题意得，当时，，则在R上单调递增，故A正确； 对于B，当时，令，得，则当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增，故B正确； 对于C，当时，，令， 利用导数易证不等式恒成立，且仅在处取等号，可得，即，且仅在时取等号，故C错误； 对于D，当时，不等式在时恒成立等价于在时恒成立，即在时恒成立， 令，，则， 当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，故， 故，即实数a的取值范围是，故D正确.故选ABD. 11.答案： 解析：因为，所以，所以， 又，所以， 即，即，所以为偶函数， 所以， 所以，所以的周期为， 又，，所以，，，则，， 所以，又， 所以 .故答案为. 12.答案： 解析：当时，，， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 且，当时，恒为正， 当时，，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 且， 画出的图象如下： 要想关于x的方程有3个不同实根，则要函数与有3个不同的交点即可，显然当时，符合要求.故答案为：. 13.答案： 解析：不等式对恒成立，等价于，即，所以， 设，其中，则，令得， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，又，， 所以存在使得，所以若，则或，即或，，，所以在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 所以，所以只有才能满足要求， 即，又，解得，所以实数a的取值范围为. 14.答案：（1）当时，无极值；当时，有极大值，无极小值 （2）证明见解析 解析：（1）函数，定义域为， . ①当时，，单调递增，没有极值； ②当时，由，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； ，无极小值. 综上，当时，无极值；当时，有极大值，无极小值. （2）证明：当时，要证，即证，只需证. 令，则， 令，则，在上单调递增， 又，， 故方程有唯一解，即，， 则，，且时，，在上单调递减； 时，，在上单调递增， ，. 故当时，. 15.答案：（1） （2） 解析：（1）的定义域为，且. ①若，则在上单调递增，此时，不合题意，舍去. ②若，则在上单调递增，在上单调递减， 所以，令，得. 综上可得. （2）因为不等式在时恒成立， 所以不等式在时恒成立. 令，则， 令，则， 所以在上单调递减. ①若，则，即， 所以在上单调递减，所以，符合题意. （也可以通过当时，，得到） ②若，则，， ， （“取点”方法不唯一，例如） 又，且在上单调递减， 所以存在唯一实数，使得. 当时，，即， 所以在上单调递增，所以，不合题意. 综上，实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$