（7）空间向量与立体几何 阶段测试-2025届高考数学一轮复习

（7）空间向量与立体几何 ——2025届高考数学一轮复习一站式复习之阶段测试 1.在正三棱锥中，，，若点E，F分别在侧棱PB，PC上运动，则的周长的最小值为( ) A. B. C.12 D. 2.设是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列结论中正确的是( ) A.若，，，，则 B.若，，，则 C.若，，，则 D.若，，，则 3.已知向量，单位向量b满足，则a，b的夹角为( ) A. B. C. D. 4.设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，，则此直三棱柱的表面积是( ) A. B. C. D. 5.在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面，，则异面直线AP与BD所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 6.如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论中错误的是( ) A.直线与为异面直线 B.平面 C.平面平面 D.三棱锥的体积为 7.如图，在正方体中，E为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 8.在三棱锥中，底面BCD是等边三角形，侧面ABD是等腰直角三角形，，P是平面BCD内一点，且.若，则点P的轨迹长度为( ) A. B. C. D. 9.（多选）如图，在正三棱柱中，E，F分别为，的中点，，则下列说法正确的是( ) A.若，则异面直线AF和BC所成的角的余弦值为 B.若，则点C到平面AEF的距离为 C.存在，使得平面AEF D.若三棱柱存在内切球，则 10.（多选）如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，且，点P在上运动，则( ) A. B.平面 C.二面角的大小为 D.点P到平面的距离为 11.已知空间三点，，，四边形ABCD是平行四边形，其中AC，BD为对角线，则___________. 12.已知三棱锥的四个顶点均在球O上，平面，为等腰直角三角形，A为直角顶点.若，且，则球O的表面积为__________. 13.在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱，的中点，P是侧面四边形内（不含边界）一点.若平面AEF，则线段长度的取值范围是___________. 14.如图所示的多面体中，四边形为直角梯形，，，，四边形为正方形，M为BF的中点. （1）求证：； （2）若平面平面，求平面ADE与平面BEC所成角的正弦值. 15.如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，四边形为矩形，平面平面，E为线段的中点，且. （1）求证：平面； （2）若，，直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 答案以及解析 1.答案：D 解析：将三棱锥沿PA展开，如图.在正三棱锥中，，展开图中.连接，交PB于点E，交PC于点F，易得此时的周长最小，故为的周长的最小值.，，，周长的最小值为. 2.答案：B 解析：对于A，若，，，，则l与相交、平行或，故A错误；对于B，若，，则，又，所以，故B正确；对于C，若，，则，又，所以，故C错误；对于D，若，，，则l与m相交、平行或异面，故D错误.故选B. 3.答案：C 解析：因为，所以. 又，所以， 即，所以， 则.所以. 又，所以.故选C. 4.答案：D 解析：如图所示，设，因为，所以. 于是（r是外接圆的半径），即.又球心到平面ABC的距离等于侧棱长的一半，所以球的半径为，所以球的表面积为，解得. 因此，. 于是直三棱柱的表面积是.故选D. 5.答案：C 解析：如图，连接AC，与BD交于点O，则O为AC的中点，取PC的中点E，连接OE，DE，则，为异面直线AP与BD所成的角或其补角. 平面，平面，. ，，又，， 在中，根据余弦定理可得.故选C. 6.答案：D 解析：根据异面直线的定义易知直线与为异面直线，A正确；且，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面，B正确；同理可证平面，又，平面平面，C正确；，D错误.故选D. 7.答案：D 解析：设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则，， 所以， 所以，，， 故直线与平面所成角的正弦值为.故选D. 8.答案：C 解析：如图，取BD的中点O，连接AO，CO，易得，，又，平面AOC，所以平面AOC.又，所以，，.在中，，由余弦定理得.作交CO的延长线于点N，则，又，平面BCD，所以平面BCD.又平面BCD，所以.所以，所以.在中，，则，所以点P的轨迹是以N为圆心，为半径的圆，则点P的轨迹长度为.故选C. 9.答案：AB 解析：取AB的中点为D，AC的中点为G，连接，，，则，，所以即为所求的角或其补角.在中，，，，所以，所以异面直线AF和BC所成的角的余弦值为，所以A项正确. 设点C到平面AEF的距离为d，易得，，所以，又，由，得，解得，所以B项正确.因为不论取何值，，所以BC与EF不垂直，所以不存在，使得平面AEF，所以C项错误. 因为三棱柱存在内切球，所以内切球的半径，所以，所以D项错误. 10.答案：ABD 解析：因为底面ABCD是菱形，所以.又因为几何体是直四棱柱，所以底面ABCD，故.又，平面，所以平面.又平面，所以，故A正确. 如图，连接，易知，故平面.同理，连接，有平面.又，平面，所以平面平面.又平面，所以平面，故B正确. 设AC与BD的交点为O，连接，交于点，连接，.易知二面角的平面角为.因为，，所以，故，C错误. 因为平面平面，所以点在平面内的射影H在线段上，故.又因为平面，所以点P到平面的距离等于点到平面的距离，故D正确.选ABD. 11.答案： 解析：设，，，，，，又四边形ABCD是平行四边形，， ，，，解得，，，， ， ， . 12.答案： 解析：因为平面，平面ABC，所以，.所以在中，由，，可求得，.在等腰中，.易知三棱锥是球O内接长方体的一部分（如图），PC是该长方体的体对角线，故球心O在PC的中点处.因为，所以球O的半径为，故球O的表面积为. 13.答案： 解析：在正方体中，取，的中点M，N，连接，，，，，如图所示. 因为点E，F分别是棱，的中点，所以，又平面，平面AEF，所以平面AEF.显然四边形为矩形，有，，则四边形为平行四边形，则.因为平面，平面AEF，所以平面AEF. 又，平面，因此，平面平面AEF.因为平面AEF，所以平面.又点P在平面内，平面平面，所以点P在线段MN上（不含端点）.在中，，，等腰三角形底边MN上的高，于是，所以线段长度的取值范围是. 14.答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）四边形为正方形，. ，，， 又平面，平面，， 平面BCF. 平面，. ，. ，M为BF的中点，， 又平面，平面，， 平面， 平面，. （2）平面平面，平面平面，平面，，平面，易知CD，CB，CF两两垂直，故可以C为坐标原点，CD，CB，CF所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，，，，，，，，. 设平面BEC的法向量为， 则， 令，则，，得平面的一个法向量为. 设平面ADE的法向量为， 则， 令，则，，得平面ADE的一个法向量为. 则， 设平面ADE与平面BEC所成角为，则， 故平面ADE与平面BEC所成角的正弦值为. 15.答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）在中，E为线段的中点，且， ，易知为直角三角形，且， . 底面为平行四边形，，. 四边形为矩形，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面. 平面，. ，，平面， 平面. （2）平面，平面，. 由（1）知，平面，又平面，， ，，两两垂直， 以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 在中，，，. 设，则，，，，， ，. 易知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则，解得， ，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则. 易知平面的一个法向量为， 则， 易知二面角是锐角，故二面角的余弦值为. （另解：这D作于点F，连接，则即二面角的平面角，在中求解即可） 学科网（北京）股份有限公司 $$