计数原理与概率统计阶段测试-2025届高考数学一轮复习

（9）计数原理与概率统计 ——2025届高考数学一轮复习一站式复习之阶段测试 1.我国古代数学名著《九章算术》中有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡四百人，南乡两百人，凡三乡，发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何？”其意思为：今有某地北面若干人，西面有400人，南面有200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人（用分层抽样的方法），则北面共有( ) A.200人 B.100人 C.120人 D.140人 2.已知的展开式中常数项为61，则( ) A. B. C.2 D. 3.某校开展“正心立德，劳动树人”主题教育活动，对参赛的100名学生的劳动作品的得分情况进行统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每组为左闭右开区间），根据图中信息，下列结论错误的是( ) A.图中的x值为0.020 B.得分在80分及以上的人数为40 C.这组数据平均数的估计值为77 D.这组数据第80百分位数的估计值为85 4.4位同学各自在周六、周日两天中等可能的任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A. B. C. D. 5.某班有48名学生，一次数学考试的成绩X（单位：分）近似地服从正态分布，平均分为80分，标准差为10分，理论上说在80分到90分（包含80分和90分）的人数约为( ) 附：若随机变量，则，，. A.32 B.16 C.8 D.24 6.将甲、乙、丙等7名志愿者分配到A，B，C三个地区参加志愿者活动，每个地区至少分配2人，则甲、乙、丙分到同一个地区的概率为( ) A. B. C. D. 7.某一电子集成块由a，b，c三个元件并联构成，三个元件是否有故障相互独立.已知至少有一个元件正常工作时该集成块就能正常运行.若每个元件能正常工作的概率均为，则在该集成块能够正常工作的情况下，有且仅有一个元件出现故障的概率为( ) A. B. C. D. 8.现有4个人通过掷一枚质地均匀的骰子来决定去参加篮球或乒乓球的体育活动，掷出点数为1或2的人去参加篮球活动，掷出点数大于2的人去参加乒乓球活动.用X，Y分别表示这4个人中去参加篮球和乒乓球活动的人数，记，则随机变量的数学期望为( ) A. B. C. D. 9.（多选）二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快体育强国建设步伐，某校进行50米短跑比赛，甲、乙两班分别选出6名选手，分成6组进行比赛，每组甲、乙每班各派出十名选手，且每名选手只能参加一个组的比赛下面是甲、乙两班6个小组50米短跑比赛成绩（单位：秒）的折线图，则下列说法正确的是( ) A.甲班成绩的极差小于乙班成绩的极差 B.甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数 C.甲班成绩的平均数大于乙班成绩的平均数 D.甲班成绩的方差大于乙班成绩的方差 10.（多选）红、黄、蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色.已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色，等量的红色加蓝色调配出紫色，等量的黄色加蓝色调配出绿色.现有红、黄、蓝颜料各2瓶，甲同学从6瓶中任取2瓶颜料，乙同学再从余下的4瓶中任取2瓶颜料，两人分别进行等量调配，A表示事件“甲同学调配出红色”，B表示事件“甲同学调配出绿色”，C表示事件“乙同学调配出紫色”，则下列说法正确的是( ) A. B. C. D.事件B与事件C相互独立 11.为落实好乡村振兴计划，某机关工会将李莉、王红等5名工作人员分配到3个乡村去指导工作，要保证每个乡村至少有一名工作人员做指导，其中李莉和王红必须在同一村指导工作，则不同的分配方案种数为________（用数字作答）. 12.某学校组织1200名学生进行安全知识测试，测试后统计分析如下：学生的平均成绩为，方差为.学校要对成绩不低于90分的学生进行表彰.假设学生的测试成绩X近似服从正态分布（其中近似为平均数，近似为方差），则估计获表彰的学生人数为_________.（四舍五入，保留整数） 附：随机变量X服从正态分布，则，，. 13.2023年春节到来之前，某市物价部门对本市5家商场的某种商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的这种商品的价格x（单位：元/件）与销售量y（单位：件）之间的一组数据如下表所示： 价格x 8 9.5 m 10.5 12 销售量y 16 n 8 6 5 经分析知，销售量y（件）与价格x（元/件）之间有较强的线性关系，其线性回归方程为，且，则__________. 14.某校从高二年级随机抽取了20名学生的数学总评成绩和物理总评成绩，记第i位学生的成绩为，其中，分别为第i位学生的数学总评成绩和物理总评成绩.抽取的数据列表如下（按数学成绩降序整理）： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学总评成绩x 95 92 91 90 89 88 88 87 86 85 物理总评成绩y 96 90 89 87 92 81 86 88 83 84 序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 数学总评成绩x 83 82 81 80 80 79 78 77 75 74 物理总评成绩y 81 80 82 85 80 78 79 81 80 78 （1）根据统计学知识，当相关系数时，可视为两个变量之间高度相关.根据抽取的数据，能否说明数学总评成绩与物理总评成绩高度相关？请通过计算加以说明； （2）规定：总评成绩大于或等于85分者为优秀，小于85分者为不优秀，对优秀赋分1，对不优秀赋分0，从这20名学生中随机抽取2名学生，若用X表示这2名学生两科赋分的和，求X的概率分布和数学期望. 参考数据：，，，. 参考公式：相关系数. 15.流感病毒是一种RNA病毒，大致分为甲型、乙型、丙型三种，其中甲流病毒带来的危害最大，传染性最强，致死率最高.某药品科技研发团队针对甲流病毒的特点，研发出预防甲流药品和治疗甲流药品，根据研发前期对动物试验所获得的相关有效数据作出统计，随机选取其中的100个样本数据，得到如下列联表： 预防甲流药品 病毒 合计 感染 未感染 未使用 22 23 45 使用 16 39 55 合计 38 62 100 （Ⅰ）根据小概率值的独立性检验，分析预防甲流药品对预防甲流的有效性； （Ⅱ）用频率估计概率（仅保留一位有效数字），从已经感染的动物中，采用随机抽样方式每次选出1只，用治疗甲流药品对该动物进行治疗，已知治疗甲流药品的治愈数据如下：对未使用过预防甲流药品的动物的治愈率为0.5，对使用过预防甲流药品的动物的治愈率为0.75.若共选取3只已感染动物，每次选取的结果相互独立，记选取的3只已感染动物中被治愈的动物只数为X，求X的分布列与数学期望. 附：，. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 答案以及解析 1.答案：C 解析：设北面共有x人，则由题意可得，解得，所以北面共有120人，故选C. 2.答案：B 解析：的展开式的通项为，当或时，的展开式中的常数项为，整理，得，解得.故选B. 3.答案：D 解析：由频率之和为1得，解得，A正确，不符合题意；得分在80分及以上的人数为，B正确，不符合题意；因为，所以C正确，不符合题意；因为，，所以这组数据第80百分位数的估计值落在区间内，，故这组数据第80百分位数的估计值不为85，D错误，符合题意.故选D. 4.答案：D 解析：由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有种不同的结果，而周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况：（1）一天一人，另一天三人，有种不同的结果；（2）周六、日各2人，有种不同的结果，故周六、周日都有同学参加公益活动有种不同的结果，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为，故选D. 5.答案：B 解析：由题意可得数学考试成绩X（单位：分）服从正态分布，所以，因此，理论上说在80分到90分（包含80分和90分）的人数约为.故选B. 6.答案：D 解析：将甲、乙、丙等7名志愿者分配到A，B，C三个地区，每个地区至少分配2人，则有3人分到同一个地区，分配方法共有种，其中甲、乙、丙分到同一个地区的分配方法有种，故所求概率为.故选D. 7.答案：A 解析：记事件A为该集成块能够正常工作，事件B为有且仅有一个元件出现故障，则为该集成块不能正常工作，所以，，所以.故选A. 8.答案：D 解析：依题意，得这4个人中，每个人去参加篮球活动的概率均为，去参加乒乓球活动的概率均为， 设“这4个人中恰有i人去参加篮球活动”为事件，则. 的所有可能取值为0，2，4， 则，，. 所以的概率分布为 0 2 4 P 所以. 9.答案：AB 解析：甲班成绩的极差为（秒），乙班成绩的极差为（秒），A项正确； 甲班成绩的众数为8.6秒，乙班成绩的众数为8.9秒，B项正确； 甲班成绩的平均数为，乙班成绩的平均数为.所以，C项错误； 甲班成绩波动小，相对于甲班的平均值比较集中，乙班成绩波动大，且相对于乙班的平均值比较分散，所以甲班成绩的方差小于乙班成绩的方差，D项错误.故选AB. 10.答案：AC 解析：从6瓶中任取2瓶颜料的方法数为. 对于A，A表示事件“甲同学调配出红色”，若调出红色，需要2瓶颜料均为红色，有种方法，则，故A正确； 对于B，事件A发生需要2瓶颜料均为红色，事件C发生需要1瓶红色颜料和1瓶蓝色颜料， 在事件A发生的条件下，事件C不可能发生，所以，故B错误； 对于C，若事件B发生，则甲同学取出1瓶黄色颜料和1瓶蓝色颜料，则，此时还剩1瓶黄色颜料和1瓶蓝色颜料，2瓶红色颜料，则，故，故C正确； 对于D，若事件C发生，则乙取了1瓶红色颜料和1瓶蓝色颜料，甲同学取了至少1瓶黄色颜料或甲同学取了一瓶红色颜料和一瓶蓝色颜料，则，，事件B与事件C不相互独立，故D错误.故选AC. 11.答案：36 解析：一个乡村分配3人，其余各村分配1人的分配方案有（种）；一个乡村分配1人，2个乡村各分配2人的分配方案有（种）.依据分类加法计数原理可知不同的分配方案种数为. 12.答案：27 解析：由题意得，，，所以，故，所以估计获表彰的学生人数为. 13.答案：10 解析：由题表中的数据，得，， 将代入，得，即， 所以， 又因为， 所以，. 14.答案：（1）数学总评成绩与物理总评成绩高度相关 （2）概率分布见解析，数学期望为 解析：（1）由题意，得， 所以数学总评成绩与物理总评成绩高度相关. （2）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，4， 根据赋分规则及题表中的数据可知，这20名学生中，有7个人赋分为2，有4个人赋分为1，有9个人赋分为0， ，， ，， ， 所以X的概率分布为 X 0 1 2 3 4 P 所以. 15.答案：（Ⅰ）预防甲流药品对预防甲流有效果 （Ⅱ）分布列见解析，数学期望为 解析：（Ⅰ）零假设为：预防甲流药品对预防甲流无效果， 根据列联表中的数据，得 ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立， 即预防甲流药品对预防甲流有效果. （Ⅱ）设事件A表示治疗甲流药品治愈甲流，事件表示未使用过预防甲流药品，事件表示使用过预防甲流药品， 由题意可得，， 且，， 则， 故治疗甲流药品治愈甲流的概率， 则， 所以，， ，， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P . 学科网（北京）股份有限公司 $$