平面解析几何专项训练-2025届高考数学一轮复习

（8）平面解析几何 ——2025届高考数学一轮复习一站式复习之阶段测试 1.已知圆，过点的直线l被圆C截得的弦长为2，则直线l的斜率为( ) A.1或-1 B.或 C.3或-3 D.或 2.已知，分别是椭圆的左、右焦点，过点且垂直于x轴的直线l与E交于M，N两点，直线，与y轴分别交于P，Q两点.若，则椭圆E的离心率为( ) A. B. C. D. 3.已知双曲线的左、右焦点分别为，，圆O的方程为，过点作圆O的切线，与C的右支交于M点，与y轴正半轴交于R点，且.若是以R为顶点的等腰三角形，则( ) A. B.2 C. D. 4.已知椭圆的左、右焦点分别为，，M，N为C上关于原点对称的两点，若，则直线截C的弦长为( ) A. B. C.3 D.4 5.已知抛物线，过点的直线与C相交于A，B两点，过点A，B分别作抛物线的切线，设两条切线分别与y轴相交于点M，N，则面积的最小值为( ) A. B. C. D. 6.已知双曲线（，）的虚轴长为4，C的一条渐近线与曲线在处的切线垂直，M，N为C上不同两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O，则( ) A. B.4 C. D.2 7.已知点M，N是抛物线和动圆的两个公共点，点F是的焦点.当是圆C的直径时，直线的斜率为2，则当r变化时，的最小值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 8.若椭圆的离心率与双曲线（，）的离心率之积为1，，分别是双曲线E的左、右焦点，M，N是双曲线E的左支上两点，且，，，A，F分别是椭圆C的左顶点与左焦点，，则椭圆C的方程为( ) A. B. C. D. 9.（多选）已知双曲线的右焦点为F，动点M，N在直线上，且，线段FM交C于点P，过P作l的垂线，垂足为R，则( ) A.的面积 B. C. D.为定值 10.（多选）已知抛物线与抛物线的焦点分别为，，T为曲线与异于原点的公共点，直线交于M，N两点，交于P，Q两点，其中M，Q为第一象限内的点，则( ) A.四边形OMTQ为平行四边形 B. C. D. 11.已知圆，圆，直线l分别与圆和圆相切于M，N两点，则线段MN的长度为__________. 12.椭圆的离心率为，，分别为C的左、右焦点.若A，B是C上且在x轴上方的两点，且，则______. 13.已知抛物线的焦点为F，点是C在第一象限内的一点，且，过点P作直线PA，PB交C于A，B两点（异于点P）.若直线PA，PB关于直线对称，则直线AB的斜率为__________. 14.已知椭圆的短轴长为4，上顶点为A，O为坐标原点，M为线段OA上一点（不与O，A重合），过M的直线交C于B，D两点，当四边形ADOB为平行四边形时，. （1）求C的方程； （2）过M的另一条直线交C于E，F两点，E在第一象限，且，设直线，的斜率分别为，，若，则当直线DF的斜率最小时，求M的坐标. 15.已知抛物线的焦点F到y轴的距离为1. （1）求抛物线C的标准方程； （2）过焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，M为抛物线上的点，且，，求的面积. 答案以及解析 1.答案：D 解析：由圆，整理得，所以圆心，半径. 由已知得圆心C到直线l的距离， 设直线l的方程为，则，解得，所以直线l的斜率为或，故选D. 2.答案：C 解析：如图，易得原点O，分别为线段，的中点，所以可得P，Q分别为线段，的中点. 因为，所以，所以.又，所以，所以，等式两边同时除以，整理得，解得（负值舍去）. 3.答案：C 解析：如图，由是以R为顶点的等腰三角形，知.由对称性得，故R为线段的中点，所以.由，知为等腰直角三角形，所以.易知，所以，所以，即.又，故，解得（负值舍去）.易知圆O的切线的斜率，故切线方程为，即.由点到直线的距离公式，可得.故选C. 4.答案：A 解析：易知，设直线交C于点，因为M，N为C上关于原点对称的两点，且，令，得，不妨设M在第一象限，则，，所以，所以直线， 联立得， 则，解得， 所以. 5.答案：B 解析：设直线AB的方程为，，，联立消去x整理得，易知恒成立，由韦达定理得，.因为抛物线C在点处的切线方程为，在点处的切线方程为，令，得，，则，，所以，所以当时，有最小值，故选B. 6.答案：A 解析：依题意，，所以.又，所以，则，所以双曲线C的一条渐近线为，即，所以，所以双曲线C的方程为.又以MN为直径的圆经过坐标原点O，连接OM，ON，所以，依题意可设直线OM的方程为，易求，则直线ON的方程为，联立消去y整理得，即，故，所以，同理可得，故，所以，所以，故选A. 7.答案：B 解析：圆的圆心.因为当是圆C的直径时，直线的斜率为2，所以直线的方程为，即.由消去y可得.设，，所以.因为C是线段的中点，所以，即，解得，故，准线.如图，过点M作于点H，过点C作于点P，由抛物线的定义可知，所以，当C，M，P三点在一条直线时取等号.故选B. 8.答案：B 解析：由题，， 又，，. ，直线MN过点，， ，连接，. 在中， . 设椭圆C的焦距为，离心率为，双曲线E的焦距为，离心率为， 在中，，， ，. ，，，， 椭圆C的方程为，故选B. 9.答案：BCD 解析：依题意，，设直线l与x轴的交点为H，所以，设，，因为，，所以，所以，所以，即，即，所以，故A错误.设，所以，由得，所以，所以，故B正确.由A选项可得，，所以，所以，故C正确.由，得，则，即，所以为定值，故D正确.故选BCD. 10.答案：BC 解析：如图.易知，，直线的方程为.由得所以. 连接OT，则线段OT的中点坐标为，不在直线上，故四边形OMTQ不是平行四边形，A错误. 设，.由对称性可知，.由消去x并整理，得，则，.又，，所以，B正确.，C正确. ，D错误.故选BC. 11.答案： 解析：圆，圆心，半径.圆，圆心，半径.圆心距.因为，所以两圆相交.如图，连接，，作，垂足为点P，则. 12.答案：3 解析：由题意得，解得，故椭圆，.由题意，得，，解得，则A为椭圆C的上顶点.如图所示，连接，则，.在中，由余弦定理得，即，解得.故. 13.答案：-1 解析：抛物线的准线方程为，，解得，抛物线，.设直线，代入抛物线方程，消去y并整理得.，，代入，得，.设直线PB的斜率为，直线PA，PB关于直线对称，，直线，同理可得，则直线AB的斜率. 14.答案：（1） （2） 解析：（1）由C的短轴长为4，得，， 所以，， 当四边形ADOB为平行四边形时， 易知M同时为OA，BD的中点， 所以，且轴， 令，得，所以， 解得， 所以C的方程为. （2）设，，，，， 因为，所以， 解得， 不妨设的斜率为，则的斜率为k，则， 直线的方程为，的方程为， 设，， 联立得， 则，所以， 同理可得， 所以直线DF的斜率为 ， 当且仅当，即（负值舍去）时，等号成立， 此时，所以，代入C的方程， 得，解得（负值舍去）， 所以当直线DF的斜率取最小值时，. 15.答案：（1） （2）32 解析：（1）因为抛物线的焦点为， 由题意得，解得， 故抛物线C的标准方程为. （2）由（1）知，由题意知直线l的倾斜角不为0. 因为，所以直线直线MF. 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，点M为坐标原点O， 此时直线MA，MB的斜率分别为，不满足，所以直线l的斜率存在. 设直线l的方程为，则直线MF的方程为. 设，，，如图. 由消去x得，， 则，，. 由消去x得，， 所以①. 直线AM的斜率为，同理可得直线BM的斜率为. 因为，所以，， 即②. 由①②得，代入①得，， 解得或 当时，直线AB的方程为，，， ，. 所以， 所以. 当时，直线AB的方程为，，， ，. 所以， 所以. 综上，的面积为32. 学科网（北京）股份有限公司 $$