精品解析：2023-2024学年人教版数学八年级下册期末质量检测卷(二)

期末质量检测卷(二) (本试卷满分120分，时间90 分钟) 第Ⅰ卷 (选择题，共30分) 一、选择题(共10 小题，每小题3分，共30分) 1. 要使二次根式有意义，x的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 2. 一次函数y＝﹣2x+3的图象不经过的象限是( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 4. 在数据： 1，3，3，4，5， 6中，下列统计量所代表的值是3的是 （ ） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 5. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O．下列结论不一定成立的是 （ ） A. BD平分∠ADC B. AC=BD C. AC⊥BD D. OA=OC 6. 小明用刻度不超过100°C的温度计来估计某食用油的沸点温度，将该食用油倒入锅中，均匀加热，每隔10 s测量一次锅中的油温，得到如下数据： 时间t（单位：s） 0 10 20 30 40 油温y（单位：°C） 10 30 50 70 90 当加热100s时，油沸腾了，则小明估计这种油的沸点温度是（ ） A. 150°C B. 170°C C. 190°C D. 210°C 7. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，若边AB的长不变，边BC的长逐渐增大，下列说法正确的是（ ） A. 边CD的长也逐渐增大 B. ∠AOB也逐渐增大 C. 边OD的长也逐渐增大 D. ∠ACB也逐渐增大 8. 下面的统计表描述了某车间工人日加工零件数的情况，这些工人日加工零件数的中位数是（ ） 日加工零件数 3 4 5 6 7 8 人数 4 5 8 9 6 4 A. 3 B. 6 C. 5.5 D. 9 9. 已知，是直线上的相异两点，若，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 若，，，则a，b，c大小关系是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分) 二、填空题(共4小题，每小题3分，共12分) 11. 如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，分别取AC， BC的中点D，E， 量得DE的长为25米，则AB的长是_______米． 12. 已知直角三角形两直角边长分别为3和5，则斜边长为__________. 13. 甲、乙两地7月上旬的日平均气温如图所示，则甲、乙两地这10天中日平均气温方差的大小关系是_____（填“”、“”或“”）． 14. 如图1，正方形ABCD的边长为4 cm， E为AB边上一点，连接DE，点P从点D出发，沿D→E→B以1 cm/s的速度匀速运动到点B. 图2是△PCD的面积y (单位: cm2)随时间x (单位： s)的变化而变化的图象，其中0≤x≤b，则b的值是_____． 三、解答题(共11 小题，共78分) 15. 计算：． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 已知一次函数y=kx+2 (k≠0)图象经过点(1， 4)． (1)求该函数的解析式并画出图象； (2)根据图象，直接写出当y≤0时x的取值范围． 18. 如图，点A， B分别在∠MON的两条边OM， ON上． (1)尺规作图：过点B在∠MON内部作射线BC// OM，并在BC上截取BD= OA；(保留作图痕迹，不写作法) (2)连接AD， OD， AB，若OA= OB， OD=8， AB= 6，求△ABD面积． 19. 数学著作《九章算术》中有这样一个问题：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央处有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的终点，它的顶端恰好到达池边的水面．求水的深度和这根芦苇的长度． 20. 如图，的对角线AC， BD相交于点O，将△ABO平移到△DCE，已知AO= 1， BO=2，，求证：四边形OCED是矩形． 21. 小林经营一家水果店， 准备对店里的旺季水蜜桃开展一周的礼盒包装促销活动，其中8斤装的礼盒单价为60元，10 斤装的礼盒单价为68元.若每斤水蜜桃的进价为5元，每个礼盒的包装成本为2元．预估这两种包装的水蜜桃礼盒均有顾客购买，且会售出30盒，其中8斤装的礼盒数不多于10斤装的礼盒数的一半． (1)设8斤装的礼盒有x盒，这30盒水蜜桃售出的利润为y元，求y与x的关系式； (2)在(1)的情况下，8斤装的礼盒数x为何值时这30盒水蜜桃售出的利润最大?并求出利润的最大值： 22. 某家庭为了解某品牌节水龙头的节水效果，记录了未使用节水龙头一个月(30天)的日用水量(单位：t)和使用该节水龙头一个月(30 天)的日用水量，得到如下图表： 未使用节水龙头的日用水量频数分布表 组别 日用水量x（单位：t） 频数 第一组 1 第二组 2 第三组 7 第四组 13 第五组 6 第六组 1 (1)估计该家庭记录未使用节水龙头的日用水量的平均数； (2)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少吨水? (一年 按365天计算) 23. 端午节前后15 天时间是粽子销售最好的时候，这段时间小张做粽子销售，生产成本为每个粽子4 元．小张第x天生产的粽子数量为y个，y与x之间的函数关系如图． （1）哪几天粽子日产量可达到400个及以上? （2）每个粽子的销售价格为：第1~7天，每个8元，第8天及以后，每个5元．小张每天销售粽子获得毛利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大值是多少元?(毛利润=销售收入-成本) 24. 在平面直角坐标系xOy中，直线l1经过A(0， 2)， B(1， 0)两点，直线l2的解析式是y=kx+k (k≠0)． (1)求直线l1的解析式； (2)试说明直线l2必经过定点， 并求出该定点的坐标； (3)将线段AB沿某个方向平移得到线段EF，其中E是点A的对应点．设点E的坐标为(m， n)， 若点F在直线l2上，试说明点(-2， 2)在n关于m的函数图象上． 25. 如图，正方形ABCD中，，在边CD的右侧作等腰三角形DCE，使DC=DE，记∠CDE为a (0°<a<90°)，连接AE，过点D作DG⊥AE，垂足为G，交EC的延长线于点F，连接AF． (1)求∠DEA的大小(用的代数式表示)； (2)求证：△AEF为等腰直角三角形； (3)当时，求点E到CD的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末质量检测卷(二) (本试卷满分120分，时间90 分钟) 第Ⅰ卷 (选择题，共30分) 一、选择题(共10 小题，每小题3分，共30分) 1. 要使二次根式有意义，x的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件进行解题即可． 【详解】解：由题意可知，， 即． 故选项中只有2符合． 故选：A． 2. 一次函数y＝﹣2x+3的图象不经过的象限是( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】∵k=-2＜0， ∴一次函数经过二四象限； ∵b=3＞0， ∴一次函数又经过第一象限， ∴一次函数y=-x+3的图象不经过第三象限， 故选C． 3. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B、C进行判断． 【详解】A、原式＝2，所以A选项错误； B、原式＝2，所以B选项正确； C、原式＝2，所以C选项错误； D、原式＝2与不能合并，所以D选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 4. 在数据： 1，3，3，4，5， 6中，下列统计量所代表的值是3的是 （ ） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 【答案】D 【解析】 【分析】分别确定各个统计量即可确定正确的选项． 【详解】解：A、平均数为：（1+3+3+4+5+6）=，不符合题意； B、方差为：[（1-）2+2×（3-）2+（4-）2+（5-）2+（6-）2]= ，不符合题意； C、中位数为=3.5，不符合题意； D、众数为3，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数及方差的知识，解题的关键是能够根据定义确定各个统计量，难度不大． 5. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O．下列结论不一定成立的是 （ ） A. BD平分∠ADC B. AC=BD C. AC⊥BD D. OA=OC 【答案】B 【解析】 【分析】利用菱形的性质邻边相等、对角线互相垂直且平分进而分析即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BD平分∠ADC，OA=OC，AC⊥BD， 无法得出AC=BD， 故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 6. 小明用刻度不超过100°C的温度计来估计某食用油的沸点温度，将该食用油倒入锅中，均匀加热，每隔10 s测量一次锅中的油温，得到如下数据： 时间t（单位：s） 0 10 20 30 40 油温y（单位：°C） 10 30 50 70 90 当加热100s时，油沸腾了，则小明估计这种油的沸点温度是（ ） A. 150°C B. 170°C C. 190°C D. 210°C 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格中的数据求出油温y和时间t之间的函数表达式，再将t=100代入即可. 【详解】解：由表中数据可知油温y随着时间t的增长而匀速增长， 设y=kt+b，将（0，10），（10，30）代入， ，解得：， ∴y=2t+10， 当t=100时，代入，y=210， 这种油的沸点温度是210°， 故选D. 【点睛】本题考查了一次函数的应用，利用表格中数据求出函数表达式是解题的关键. 7. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，若边AB的长不变，边BC的长逐渐增大，下列说法正确的是（ ） A. 边CD的长也逐渐增大 B. ∠AOB也逐渐增大 C. 边OD的长也逐渐增大 D. ∠ACB也逐渐增大 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质可得AB=CD，OA=OB=OC=OD=BD，∠AOB=∠OBC+∠OCB=2∠OCB，由若边AB的长不变，边BC的长逐渐增大，可得边OD的长也逐渐增大，∠ACB的度数逐渐减小，∠AOB的度数逐渐减小，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AD=BC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠ABC=90°， ∴OA=OB=OC=OD=BD， ∴∠OBC=∠OCB， ∴∠AOB=∠OBC+∠OCB=2∠OCB， ∵边AB的长不变，边BC的长逐渐增大， ∴CD的长不变，AC，BD的长逐渐增大，∠BAC的度数逐渐增大， ∴边OD的长也逐渐增大，∠ACB的度数逐渐减小，∠AOB的度数逐渐减小， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解答本题的关键． 8. 下面的统计表描述了某车间工人日加工零件数的情况，这些工人日加工零件数的中位数是（ ） 日加工零件数 3 4 5 6 7 8 人数 4 5 8 9 6 4 A. 3 B. 6 C. 5.5 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题为统计题，考查中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 【详解】中位数是大小处于中间位置的数，共有36个数，中间位置的是第18个与第19个的平均数，这两个都是6，因此中位数是6， 故选：B． 9. 已知，是直线上的相异两点，若，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由（x1-x2）（y1-y2）＜0可得出y随x的增大而减小，利用一次函数的性质可得出m-1＜0，解之即可得出m的取值范围． 【详解】解：∵（x1-x2）（y1-y2）＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴m-1＜0， ∴m＜1． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 10. 若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论． 【详解】解：a=2019×2021-2019×2020 =（2020-1）（2020+1）-（2020-1）×2020 =20202-1-20202+2020 =2019； ∵20222-4×2021 =（2021+1）2-4×2021 =20212+2×2021+1-4×2021 =20212-2×2021+1 =（2021-1）2 =20202， ∴b=2020； ∵， ∴c＞b＞a． 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点．变形2019×2021-2019×2020、，利用完全平方公式计算出其值，是解决本题的关键． 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分) 二、填空题(共4小题，每小题3分，共12分) 11. 如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，分别取AC， BC的中点D，E， 量得DE的长为25米，则AB的长是_______米． 【答案】50 【解析】 【分析】先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB=2DE，问题得解． 【详解】解：∵点D，E分别是BC和AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴AB=2DE=2×25=50（米）． 故答案是：50． 【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键． 12. 已知直角三角形两直角边长分别为3和5，则斜边长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求解即可．本题主要考查了勾股定理，熟知勾股定理是解题的关键，在直角三角形中，如果两直角边的长为a、b，斜边的长为c，那么． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为3和5， ∴斜边长为， 故答案为：． 13. 甲、乙两地7月上旬的日平均气温如图所示，则甲、乙两地这10天中日平均气温方差的大小关系是_____（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方差，由折线统计图知，乙地这10天中日平均气温的波动幅度明显小于甲地，结合方差的意义求解即可． 【详解】解：由折线统计图知，乙地这10天中日平均气温的波动幅度明显小于甲地， ∴， 故答案为：． 14. 如图1，正方形ABCD的边长为4 cm， E为AB边上一点，连接DE，点P从点D出发，沿D→E→B以1 cm/s的速度匀速运动到点B. 图2是△PCD的面积y (单位: cm2)随时间x (单位： s)的变化而变化的图象，其中0≤x≤b，则b的值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】当点P运动到点E的位置时，求出△PCD的面积，结合坐标系中的值求出a，从而得到DE的长，利用勾股定理求出AE，得到BE，即可求出b值. 【详解】解：由题意可得：当点P运动到点E的位置时， 时间为a，△PCD的面积为， 而在正方形ABCD中，边长为4， ∴S△PCD==8=， 解得：a=5， ∴DE=5，AE=， ∴BE=1， 当点P运动到点B的位置时，运动结束，而运动速度为1 cm/s， ∴此时一共运动6秒， ∴b的值为6. 故答案为：6. 【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到正方形的性质，勾股定理，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． 三、解答题(共11 小题，共78分) 15. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】分别化简各项，再作加减法. 【详解】解：原式= =2. 【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则. 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】原式括号中通分并利用同分母分式方程减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值. 【详解】解：原式 当时 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17. 已知一次函数y=kx+2 (k≠0)的图象经过点(1， 4)． (1)求该函数的解析式并画出图象； (2)根据图象，直接写出当y≤0时x的取值范围． 【答案】（1）y=2x+2，图像见解析；（2）x≤-1 【解析】 【分析】（1）把已知点的坐标代入y=kx+2中求出k即可； （2）根据函数图象，写出一次函数图象不在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：（1）把（1，4）代入y=kx+2得k+2=4，解得k=2， 所以一次函数解析式为y=2x+2； 如图， （2）由图可知： 当y≤0时x的取值范围为x≤-1． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 18. 如图，点A， B分别在∠MON的两条边OM， ON上． (1)尺规作图：过点B在∠MON内部作射线BC// OM，并在BC上截取BD= OA；(保留作图痕迹，不写作法) (2)连接AD， OD， AB，若OA= OB， OD=8， AB= 6，求△ABD的面积． 【答案】（1）见解析；（2）12 【解析】 【分析】（1）利用尺规作∠CBN=∠MON即可解决问题． （2）证明四边形AOBD是菱形，再计算出菱形AOBD的面积，可得结果． 【详解】解：（1）如图，射线BC，点D即为所求． （2）由作图可知，OA∥BD，OA=BD， ∴四边形AOBD是平行四边形， ∵OA=OB， ∴四边形AOBD是菱形， ∴S菱形AOBD=•AB•OD=×6×8=24， ∴S△ABD=S菱形AOBD=12． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 19. 数学著作《九章算术》中有这样一个问题：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央处有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的终点，它的顶端恰好到达池边的水面．求水的深度和这根芦苇的长度． 【答案】水的深度为12尺，这根芦苇的长度为13尺． 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 设这根芦苇的长度为x尺，则水池的深度为尺．根据勾股定理可得方程，再解即可． 【详解】解：如图，依题意得，，． ∵ G为的中点， 设这根芦苇的长度为x尺，则水池的深度为尺． 在中，根据勾股定理可得， 即 解得， ． 答：水的深度为12尺，这根芦苇的长度为13尺． 20. 如图，的对角线AC， BD相交于点O，将△ABO平移到△DCE，已知AO= 1， BO=2，，求证：四边形OCED是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得AO=CO=1，BO=DO=2，AB=CD=，由平移的性质可得AO=CO=DE=1，DO=CE=BO=2，可证四边形OCED是平行四边形，由勾股定理的逆定理可证∠COD=90°，可得结论． 【详解】解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO=1，BO=DO=2，AB=CD=， ∵将△ABO平移到△DCE， ∴AO=DE=1，BO=CE=2， ∴CO=DE，DO=CE， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵CO2+DO2=1+4=5，CD2=5， ∴CO2+DO2=CD2， ∴∠COD=90°， ∴平行四边形OCED是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，平移的性质，勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理证明∠COD=90°是本题的关键． 21. 小林经营一家水果店， 准备对店里的旺季水蜜桃开展一周的礼盒包装促销活动，其中8斤装的礼盒单价为60元，10 斤装的礼盒单价为68元.若每斤水蜜桃的进价为5元，每个礼盒的包装成本为2元．预估这两种包装的水蜜桃礼盒均有顾客购买，且会售出30盒，其中8斤装的礼盒数不多于10斤装的礼盒数的一半． (1)设8斤装礼盒有x盒，这30盒水蜜桃售出的利润为y元，求y与x的关系式； (2)在(1)的情况下，8斤装的礼盒数x为何值时这30盒水蜜桃售出的利润最大?并求出利润的最大值： 【答案】（1）y=2x+480；（2）x=10时这30盒水蜜桃售出的利润最大，利润的最大值为500元． 【解析】 【分析】（1）设8斤装的礼盒有x盒，则10斤装的礼盒有（30-x）盒，根据“利润=售价-成本”即可得出y与x的关系式； （2）根据题意列不等式求出x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可． 详解】解：（1）由题意可得， y=（60-8×5-2）x+（68-10×5-2）（30-x）=2x+480； （2）由题意可得，x≤(30−x)， 解得x≤10， 由（1）知y=2x+480， ∵2＞0， ∴y随x增大而增大， ∴当x=10时，y有最大值，y最大=2×10+480=500． 答：x=10时这30盒水蜜桃售出的利润最大，利润的最大值为500元． 【点睛】此题主要考查了一次函数应用以及一次函数增减性、最值求法，正确得出一次函数解析式是解题关键． 22. 某家庭为了解某品牌节水龙头的节水效果，记录了未使用节水龙头一个月(30天)的日用水量(单位：t)和使用该节水龙头一个月(30 天)的日用水量，得到如下图表： 未使用节水龙头的日用水量频数分布表 组别 日用水量x（单位：t） 频数 第一组 1 第二组 2 第三组 7 第四组 13 第五组 6 第六组 1 (1)估计该家庭记录的未使用节水龙头的日用水量的平均数； (2)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少吨水? (一年 按365天计算) 【答案】（1）0.66吨；（2）51.1吨. 【解析】 【分析】（1）利用加权平均数的计算方法进行计算即可，每组取中间值进行计算； （2）计算使用后的日用水量的平均数，计算出一天节约用水的吨数，再求一年365天节约的吨数． 【详解】解：（1）==0.66吨， 答：该家庭记录的未使用节水龙头的日用水量的平均数为0.66吨； 2）使用后==0.52吨， （0.66-0.52）×365=51.1吨， 答：该家庭使用节水龙头后，一年能节省51.1吨水． 【点睛】本题考查频数分布表、频数分布直方图的意义和制作方法，掌握加权平均数的计算方法是正确计算的前提． 23. 端午节前后15 天时间是粽子销售最好的时候，这段时间小张做粽子销售，生产成本为每个粽子4 元．小张第x天生产的粽子数量为y个，y与x之间的函数关系如图． （1）哪几天粽子日产量可达到400个及以上? （2）每个粽子的销售价格为：第1~7天，每个8元，第8天及以后，每个5元．小张每天销售粽子获得毛利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大值是多少元?(毛利润=销售收入-成本) 【答案】（1）第4，5，6，7，8，9，10，11，12天，粽子销量可达400个及以上 （2），当时， 【解析】 【分析】（1）根据图像可得当时，，当时，，若粽子日产量可达到400个及以上，则令，因此即可求出答案； （2）根据题意，由（1）得，因此即可求出当时，． 【小问1详解】 解：当时，设， 由图像可得，当时，， 则， 解得， ， 当时，设函数关系式为， 函数图像经过，， ， 解得， ， 综上可得， 当时，则， 解得， 第4，5，6，7，8，9，10，11，12天，粽子销量可达400个及以上； 【小问2详解】 由（1）得 化简得， 当时，有最大值为； 当，有最大值为， 综上可知，当时，， 即第6天的利润最大，最大利润是2400元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用——销售问题及利润最大问题，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系xOy中，直线l1经过A(0， 2)， B(1， 0)两点，直线l2的解析式是y=kx+k (k≠0)． (1)求直线l1的解析式； (2)试说明直线l2必经过定点， 并求出该定点的坐标； (3)将线段AB沿某个方向平移得到线段EF，其中E是点A的对应点．设点E的坐标为(m， n)， 若点F在直线l2上，试说明点(-2， 2)在n关于m的函数图象上． 【答案】（1）y=-2x+2；（2）见解析，该定点的坐标为（-1，0）；（3）见解析. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求直线l1的解析式； （2）由于（x+1）k=y，有理数的乘法可得到x+1=0，y=0，于是可判断直线l2必经过一定点，且该定点的坐标为（-1，0）； （3）利用平移的性质得到AB∥EF，AB=EF，利用点平移的坐标变换规律得到点E（m，n）向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点F，则F（m+1，n-2），把F（m+1，n-2）代入y=kx+k得n=km+2k+2，然后根据一次函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】解：（1）设直线l1的解析式为y=px+q， 把A（0，2），B（1，0）代入得，解得：， ∴直线l1的解析式为y=-2x+2； （2）∵直线l2的解析式是y=kx+k（k≠0）， ∴（x+1）k=y， ∵k≠0的任意数， ∴x+1=0，y=0，解得x=-1，y=0， ∴直线l2必经过一定点，该定点的坐标为（-1，0）； （3）∵线段AB沿某个方向平移得到线段EF， ∴AB∥EF，AB=EF， ∵点A向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点B， ∴点E（m，n）向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点F， ∴F（m+1，n-2）， 把F（m+1，n-2）代入y=kx+k得n-2=k（m+1）+k， ∴n=km+2k+2， ∵m=-2时，n=2k+2k+2=2， ∴点（-2，2）在函数n=km+2k+2图象上． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了一次函数的性质． 25. 如图，正方形ABCD中，，在边CD的右侧作等腰三角形DCE，使DC=DE，记∠CDE为a (0°<a<90°)，连接AE，过点D作DG⊥AE，垂足为G，交EC的延长线于点F，连接AF． (1)求∠DEA的大小(用的代数式表示)； (2)求证：△AEF为等腰直角三角形； (3)当时，求点E到CD的距离． 【答案】（1）45°-；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）说明∠DEA=∠DAE，根据∠ADC=90°，利用三角形内角和即可表示出∠DEA； （2）求出∠DEC，根据∠DEC-∠DEA求出∠GEF=45°，再证明△ADF≌△EDF，得到FA=FE，从而可得∠EAF=∠AEF=45°，即可证明； （3）过点E作EH⊥CD于点H，连接AC，利用勾股定理求出AF，结合CF求出CE，再在Rt△EHD和Rt△EHC中，利用勾股定理列出方程，求出EH即可得到结果. 【详解】解：（1）∵AD=CD=DE， ∴∠DEA=∠DAE， 在正方形ABCD中，∠ADC=90°，∠CDE=α， ∴∠ADE=90°+α， ∴∠DEA==45°-； （2）∵CD=DE，∠CDE=α， ∴∠DEC=（180°-α）， ∵∠DEA=45-， ∴∠GEF=∠DEC-∠DEA=（180-α）-45-=45°，又DF⊥AE， ∴∠GFE=45°， ∴△GEF为等腰直角三角形， 由（1）可知AD=DE，DG⊥AE， ∴∠ADG=∠EDG，又DF=DF， ∴△ADF≌△EDF， ∴FA=FE， ∴∠EAF=∠AEF=45°， ∴∠AFE=90°， ∴△AEF是等腰直角三角形； （3）过点E作EH⊥CD于点H，连接AC， ∴∠EHD=∠EHC=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD=，∠ABC=90°， ∴DE=， 在Rt△ABC中，AC=， 在Rt△AFC中，∠AFC=90°，CF=， ∴AF=， ∴EF=AF=， ∴EC=， 在Rt△EHD和Rt△EHC中， EH2=ED2-DH2=EC2-CH2， 设CH=x，则DH=-x， ∴， 解得：x=， ∴EH=， ∴点E到CD边的距离为. 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，有一定难度，解题的关键是掌握相应的定理内容，结合方程思想解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$