河南省信阳市新县高级中学2025届高三上学期适应性考试（一）数学试题

高三数学试卷 第1页(共 4页) 2025 届高三年级上适应性考试(一) 数学 2024.09 命题人: 审题人: 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题的四个选项中, 只有一项符合题目要求。 1.已知 ,a b R ,则“a b ”是“ 3 3a b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知 5 5 4 3 25 4 3 2 1 0( )x a p x p x p x p x p x p+ = + + + + + ,若 4 15p = ,则a =( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知 0.3 2 7 log 1.41, 1.7 , cos 3 a b c = = = ,则( ) A.b a c B.b c a C. c b a D. c a b 4. 6 1 tan − x x 的展开式中第四项的系数为 540,则 2cos 的值为 A. 37 35 − B. 37 35 C. 5 4 − D. 5 4 5. 为迎接 2024 年在永州举行的中国龙舟公开赛,一位热情好客的永州市民准备将 9 份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众,若每人至少分得一份,且甲、 乙两人分得的份数不相同,则不同的分法总数为 A.26 B.25 C.24 D.23 6. 在 ABC 中, = 120ACB , 3|| =AC , 4|| =BC , 0= DBDC ,则 || ADAB + 的最小值 为 A. 236 − B. 4192 − C. 133 − D. 219 − 7. 斜率为 1 2 − 的直线 l 分别与 x 轴, y 轴交于 ,M N 两点,且与椭圆 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b + = ,在第一象限交于 ,A B两点,且 MA NB= ,则该椭圆的离心率 为( ) A. 3 2 B. 6 3 C. 2 2 D. 1 2 8. 在满足2 i ix y , i i y x i ix y= 的实数对 ( )1 1 ( 1 2 3 )x y i n= L, ,,, , 中,使得 1 2 1 15n ny y y y−+ + + L 成立的正整数n的最大值为( ) A.15 B.16 C.22 D.23 高三数学试卷 第2页(共 4页) 二、多项选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.在每小题给出的四个选项中, 有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得 6 分,部分选对得部分分,有选错 的得 0 分。 9.同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币,记“甲正面向上”为事件 A,“乙正面向上” 为事件B ,“甲、乙至少一枚正面向上”为事件C ,则下列判断正确的是( ) A. A与B 相互独立 B. A与B 互斥 C. ( ) 2 3 P B C = D. ( ) 1 2 P C = 10.已知抛物线 yxC 2: 2 = 的焦点为 F ,过点 F 且倾斜角为锐角的直线 l 与抛物线C 相交于 A, B 两点(点 A 在第一象限),过点 A 作抛物线C 的准线的垂线,垂足 为M ,直 线 l 与抛物线C 的准线相交于点 N ,则 A. BFAF + 的最小值为 2 B.当直线 l 的斜率为 3 时, 8=AB C.设直线 BM ,MF 的斜率分别为 1k , 2k ,则 2 1 2 1 = k k D.过点 B 作直线 AM 的垂线,垂足为Q, BQ交直线MF 于点 P ,则 PQBP = 11.在平面四边形 ABCD 中, 2== ADAB , ADAB ⊥ , BCD 为等边三角形,将 ABD 沿 BD折起,得到三棱锥 BCDA −1 ,设二面角 CBDA −−1 的大小为 .则下列说 法正确的是 A.当 =150 时,M , N 分别为线段 BD, CA1 上的动点,则 MN 的最小值为 14 21 B.当 =120 时,三棱锥 BCDA −1 外接球的直径为 3 13 C.当 = 90 时,以 CA1 为直径的球面与底面 BCD的交线长为 3 3 D.当 = 60 时, AD 绕 D 点旋转至 DA1 所形成的曲面面积为 3 2 三､填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20分. 12.设 , im R 为虚数单位.若集合 ( ) 1,2 1 i , 0,1,2A m m B= + − = ,且 A B , 则m = _. 13.已知 x 轴为函数 ( ) 3 1 4 f x x ax= + + 图像的一条切线,则实数a 的值为_. 14.已知函数 )(xf 的定义域为 R, 1)1()( =−+ xfxf , ) 7 (2)( x fxf = ,且对于 10 21 xx ,恒有 )()( 21 xfxf ,则 =) 2024 1 (f . 高三数学试卷 第3页(共 4页) 四、解答题:本题共 5 题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13 分) 如图,直四棱柱 1 1 1 1ABCD A BC D− 的底面为平行四边形, ,M N 分别为 1,AB DD 的中点. (1)证明:DM∥平面 1A BN ; (2)若底面 ABCD为矩形, 2 4AB AD= = ,异面直线DM 与 1A N 所成角的余弦值为 10 5 ,求 1B 到平面 1A BN 的距离. 16.(15 分) 某公司为考核员工,采用某方案对员工进行业务技能测试,并统计分析测试成绩 以确定员工绩效等级. (1)已知该公司甲部门有 3 名负责人,乙部门有 4 名负责人,该公司从甲、乙两部 门中随机选取 3 名负责人做测试分析,记负责人来自甲部门的人数为 X ,求 X 的最 有可能的取值; (2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩 x (满分 100 分)与绩效等级优秀率 y , 如下表所示: x 32 41 54 68 74 80 92 y 0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94 根据数据绘制散点图,初步判断,选用 xecy = 作为回归方程.令 lnz y= ,经计算 得 7 1 7 22 1 7 0.642, 0.02 7 i i i i i x z xz z x x = = − = − − . ( )已知某部门测试的平均成绩为 60,估计其绩效等级优秀率; ( )根据统计分析,大致认为各部门测试平均成绩 ( )2,x N ,其中 近似为样 本平均数 2,x 近似为样本方差 2s .经计算 20s ,求某个部门绩效等级优秀率不低 于 0.78 的概率. 参考公式与数据:① 1.2ln0.15 1.9, 3.32,ln5.2 1.66e − . ②线性回归方程$ $y bx a= +$ 中, 1 22 1 , n i i i n i i x y nx y b a y bx x nx = = − = = − − $ . 高三数学试卷 第4页(共 4页) ③若.随机变量 ( )2,X N ,则 ( ) 0.6826P X − + = , ( 2 2 ) 0.9544, ( 3 3 ) 0.9974P X P X − + = − + = . 17.(15 分) 已知函数 xbxxf ln33|13| −−−=)( . (1)当 时,求 )(xf 在 ),( + 3 1 的单调区间及极值. (2)若 0)( xf 恒成立,求 的取值范围. 18.(17 分) 已知数列 }{ na 为等比数列, }{ nb 为等差数列,且 211 == ba , 58 8aa = , 84 ba = . (1)求 }{ na , }{ nb 的通项公式; (2)数列 − +− 2 1) 42 sin(2 2 1 1 n n b )( 的前 n项和为 nS ,集合 = + + Nnt an bS nA n nn , 2 24 共有 5 个元素,求实数 t 的取值范围; (3)若数列 }{ nc 中, 11 =c , )2( 1 log 2 4 1 2 − = n b a c n n n ,求证: 1 1 2 1 2 3c c c c c c+ + + 1 2 3 2nc c c c+ . 19.(17 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b + = 的左焦点为 ( )2,0F − ,过点F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 2 3 3 . (1)求椭圆C 的标准方程; (2)已知直线 l 与粗圆C 相切,与圆 2 2 2: 3O x y a+ = 相交于 ,A B 两点,设P 为圆O 上任意一点,求 PAB 的面积最大时直线 l 的斜率. 1=b b