精品解析：四川省绵阳市南山中学2024-2025学年高一上学期入学考试数学试题

绵阳南山中学高2024级高一上期入学考试试题 数学 命题人：李良贵 审题人：蔡晓军 宋玉贤 第I卷､第II卷共6页.满分150分，考试时间100分钟.作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷､草稿纸上答题无效. 第I卷（选择题，共50分） 一､选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 我计划通过参加高考进入高等学校（大学）学习，我必须学习的课程是（ ） A. 必修课程与选修课程 B. 选择性必修课程与选修课程 C. 必修课程与选择性必修课程 D. 必修课程､选择性必修课程与选修课程 2. 下列说法正确的是（ ） A. 我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B 联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C. 数组成的集合中有7个元素 D. 由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 3. 如图，，则与满足（ ） A. B. C D. 4. 如图中，于点，①；②若，则；③图中只有两对相似三角形.则以上三个结论中正确的结论有（）个. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 在实数范围内定义运算，其法则为：，则当时（ ） A. B. C. D. 2 6. 当时，（ ） A. B. C. D. 7. 若，则这四个数中（ ） A. 最大，最小 B. 最大，最小 C. 最大，最小 D. 最大，最小 8. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9. 已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 10. 如图中，，，以为边长的正方形的一边在直线上，且点与点重合.现将正方形沿的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点与点重合时停止，则在这个运动过程中，正方形与的重合部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ）. A. B. C. D. 第II卷（非选择题，共100分） 二､填空题：本大题共5个小题，每小题6分，共30分 11. 等腰三角形的边长分别是一元二次方程的两个解,则这个等腰三角形的周长是__________. 12. 已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是__________. 13. 如图，是等腰三角形底边上的高，且上有一点，满足，则__________ 14. 不等式的解是__________. 15. 已知，则的取值范围是__________. 三､解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 16. 解答下列各题 （1）先化简再求值：，其中. （2）定义运算：当时，；当时，. 如. ①求值； ②已知和在同一坐标系中的图象如图所示，若，结合图象，直接写出的取值范围. 17. 某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为100元，其成本价为50元，因为在生产过程中.平均每生产一件产品有的污水排出，所以为了净化环境，工厂设计了两种方案对污水进行处理，并准备实施. 方案1：工厂污水先净化处理再排出.每处理污水所用原料费为4元，并且每月排污设备损耗费为60000元. 方案2：工厂将污水排到污水厂统一处理，每处理污水需付28元处理费用. （1）设工厂每月生产件产品，每月利润为元，分别求出依方案1和方案2处理污水时，与的函数关系式. （2）设工厂每月生产量为6000件时，你若作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下应选用哪种处理污水的方案？请你通过计算加以说明. 18. 为了解我校学生完成《2024级高一新生入学手册》情况，随机抽查了若干名学生进行检查，然后把检查结果分为4个等级：，并将统计结果绘制成下面两幅不完整的统计图.请根据图中的信息解答下列问题 （1）补全条形统计图 （2）年级共有2800人，估计全年级完成手册情况为等的人数为__________人； （3）在此次检查中，有甲､乙､丙､丁､戊五个同学的作业完成的相当完整，现决定从这五个同学中随机选取两个同学的作业用展板展出供全年级同学学习.请用画树状图或列表的方法，求恰好选到甲､丁两个同学作业展出的概率. 19. （1）如图1，在四边形中，点为上一点，，则，所以有结论.如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，试举一反例说明. （2）如图3，在中，，点以每秒1个单位长度速度，由点出发，沿边向点运动，且满足，设点的运动时间为（秒），当以为圆心，以为半径的圆恰好与相切时，求的值. 20. 我市某水产养殖户进行小龙虾养殖，已知小龙虾养殖成本为8元/千克，在整个销售旺季的80天里，销售单价（元/千克）与时间第（天）之间的函数关系为：，为整数，日销售量（千克）与时间第（天）之间的函数关系如图所示： （1）求日销售量与时间的函数关系式？并注明的取值范围. （2）哪一天日销售利润最大？最大利润是多少？ （3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2280元？ 21. 如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于的动点，过点作轴交轴于点，交抛物线于点. （1）求抛物线解析式； （2）是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求为直角三角形时点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绵阳南山中学高2024级高一上期入学考试试题 数学 命题人：李良贵 审题人：蔡晓军 宋玉贤 第I卷､第II卷共6页.满分150分，考试时间100分钟.作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷､草稿纸上答题无效. 第I卷（选择题，共50分） 一､选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 我计划通过参加高考进入高等学校（大学）学习，我必须学习的课程是（ ） A. 必修课程与选修课程 B. 选择性必修课程与选修课程 C. 必修课程与选择性必修课程 D. 必修课程､选择性必修课程与选修课程 【答案】C 【解析】 【分析】根据课程标准可得正确的选项. 【详解】根据课程标准，必须学习的课程为必修课程和选择性必修课程 故选：C. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B. 联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C. 数组成的集合中有7个元素 D. 由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由集合的定义逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性， 所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性， 所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误； 故选：B 3. 如图，，则与满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的知识确定正确答案. 【详解】过作，则， 则. 故选：D 4. 如图中，于点，①；②若，则；③图中只有两对相似三角形.则以上三个结论中正确的结论有（）个. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】由图中的三个直角三角形判断相似,面积法证明等式,射影定理和勾股定理求边长. 【详解】对于③，在Rt中,于点,则有,故③错误; 对于①，由,得,故①正确; 对于②，由射影定理得即,解得, 在Rt中,,故②正确; 故选:C. 5. 在实数范围内定义运算，其法则为：，则当时（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由题意计算出，即，解出的值即可. 【详解】由题意知：， 解得：，经检验符合题意. 故选：A. 6. 当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的化简运算得解. 【详解】由，，， . 故选：B. 7. 若，则这四个数中（ ） A. 最大，最小 B. 最大，最小 C. 最大，最小 D. 最大，最小 【答案】D 【解析】 【分析】结合幂函数图象即可判断. 【详解】当，结合幂函数图象， 可得， 所以最大，最小. 故选：. 8. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质一一分析选项结合反例判定即可. 【详解】对于A，若，则，即A错误； 对于B，同上若，则，即B错误； 对于C，若， 而，则，即C正确； 对于D，若，则，即D错误. 故选：C 9. 已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，根据条件确定集合的个数即可. 【详解】由题意集合， 集合, 因为， 所以都是集合中的元素， 即集合中的元素还可以有，且至少一个， 所以集合为： ，共个. 故选：A. 10. 如图中，，，以为边长的正方形的一边在直线上，且点与点重合.现将正方形沿的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点与点重合时停止，则在这个运动过程中，正方形与的重合部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，，，可求出，，高，然后根据图示分三种情况分别求出正方形与的重合部分的面积的表达式，进而判断出正方形与的重合部分的面积与运动时间之间的函数关系的图象. 【详解】因为，，， 所以， ， ， ， 如图①当时，， 如图②当时，， 如图③当时， ， 所以， 所以正方形与的重合部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是图象. 故选：. 【点睛】关键点点睛：解决此类问题的关键是通过看图获取信息，用图象解决问题时，要理清图象的含义即学会识图. 第II卷（非选择题，共100分） 二､填空题：本大题共5个小题，每小题6分，共30分 11. 等腰三角形的边长分别是一元二次方程的两个解,则这个等腰三角形的周长是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求解一元二次方程的解,再根据三角形边长满足两边之和大于第三边确定三边的边长即可求解. 【详解】一元二次方程的解为, 因三角形边长满足两边之和大于第三边, 当是腰时，不满足题意， 所以等腰三角形边长为, 则这个等腰三角形的周长是. 故答案为:. 12. 已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将化为，分，，三种情况讨论即可求. 【详解】由可得， 当时，不等式的解集为，不符合题意，舍， 当时，不等式的解集为，其正整数解至多有1个，不符合题意，舍， 当时，不等式的解集为， 因为有且仅有3个正整数解，故整数解为， 所以，. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 13. 如图，是等腰三角形底边上的高，且上有一点，满足，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】法一，过点作交的延长线于，利用相似三角形求出，得解；法二，过点作交于点，利用相似三角形求出，得解. 【详解】不妨设，则， 法一：过点作交的延长线于， 由得. . 故答案为：. 法二：过点作交于点， 由得，. . 故答案为：. 14. 不等式的解是__________. 【答案】 【解析】 【分析】移项通分化为整式不等式求解即可. 【详解】由可得：， 即，解得：. 故答案为：. 15. 已知，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的性质可求的取值范围. 【详解】设， 则，故， 因为，则， 故即， 故答案为：. 三､解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 16. 解答下列各题 （1）先化简再求值：，其中. （2）定义运算：当时，；当时，. 如. ①求值； ②已知和在同一坐标系中的图象如图所示，若，结合图象，直接写出的取值范围. 【答案】（1）， （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据代数式的运算律化简即可； （2）①比较与的大小，即可求；②观察图象即可得出答案. 【小问1详解】 又， 所以，故原式. 【小问2详解】 ①因为所以所以； ②因为，所以， 结合图象，可得的取值范围是：或. 17. 某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为100元，其成本价为50元，因为在生产过程中.平均每生产一件产品有的污水排出，所以为了净化环境，工厂设计了两种方案对污水进行处理，并准备实施. 方案1：工厂污水先净化处理再排出.每处理污水所用原料费为4元，并且每月排污设备损耗费为60000元. 方案2：工厂将污水排到污水厂统一处理，每处理污水需付28元处理费用. （1）设工厂每月生产件产品，每月利润为元，分别求出依方案1和方案2处理污水时，与的函数关系式. （2）设工厂每月生产量为6000件时，你若作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下应选用哪种处理污水的方案？请你通过计算加以说明. 【答案】（1）由方案1，；方案2， （2）方案1，说明见解析 【解析】 【分析】（1）分别计算两个方案的利润，即可得到答案； （2）当时，，，因为，所以应选择方案1处理污水. 【小问1详解】 设选用方案1，每月利润为元，选用方案2，每月利润为元 由方案1，得； 由方案2，得. 【小问2详解】 当时，（元）； （元）； 我作为厂长，应选用方案1. 18. 为了解我校学生完成《2024级高一新生入学手册》情况，随机抽查了若干名学生进行检查，然后把检查结果分为4个等级：，并将统计结果绘制成下面两幅不完整的统计图.请根据图中的信息解答下列问题 （1）补全条形统计图 （2）年级共有2800人，估计全年级完成手册情况为等的人数为__________人； （3）在此次检查中，有甲､乙､丙､丁､戊五个同学的作业完成的相当完整，现决定从这五个同学中随机选取两个同学的作业用展板展出供全年级同学学习.请用画树状图或列表的方法，求恰好选到甲､丁两个同学作业展出的概率. 【答案】（1）图象见解析 （2）人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得等人数，进而补全条形统计图； （2）由年级的总人数，结合（1）中的比例关系，即可求得等的人数； （3）根据题意，画树状图，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为总人数为人，所以等人数为人， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：因为年级共有2800人，估计全年级完成手册情况为等的人数为人. 【小问3详解】 解：根据题意，画树状图： 共有20种等可能的结果数， 其中恰好选到甲､丁两个同学作业展出的情况占2种， 所以恰好选到甲､丁两个同学作业展出的概率是. 19. （1）如图1，在四边形中，点为上一点，，则，所以有结论.如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，试举一反例说明. （2）如图3，在中，，点以每秒1个单位长度的速度，由点出发，沿边向点运动，且满足，设点的运动时间为（秒），当以为圆心，以为半径的圆恰好与相切时，求的值. 【答案】（1）依然成立，证明见解析；（2）或 【解析】 【分析】（1）利用三角形相似即可根据相似比求解， （2）根据三角形的角的关系可证相似，利用相似比即可求解. 【详解】（1）结论仍然成立. 理由：如图， ， . （2）如图，过点作交于点. . 由勾股定理可得. 以点为圆心，为半径的圆与相切，. 又， ，即， ，即或. 故的值为或. 20. 我市某水产养殖户进行小龙虾养殖，已知小龙虾养殖成本为8元/千克，在整个销售旺季的80天里，销售单价（元/千克）与时间第（天）之间的函数关系为：，为整数，日销售量（千克）与时间第（天）之间的函数关系如图所示： （1）求日销售量与时间的函数关系式？并注明的取值范围. （2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ （3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2280元？ 【答案】（1），是整数； （2）28，2312元； （3）17 【解析】 【分析】（1）设解析式为，代入､求解即可； （2）分、结合二次函数的性质求解即可； （3）法一：根据（2）结论可得，求解即可； 法二：根据（2）的结论令，结合二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 解：设解析式为， 将､代入， 得：， 解得：， ，其中是整数； 【小问2详解】 解：日销售利润，则， ①当时，， 当时，； ②当时，， 在时随的增大函数值反而减小 当时，； 第28天的日销售利润最大，最大利润为2312元； 【小问3详解】 解：法一：由（2）知： 当时，，当时，； 当时，， 由，得，， 又是整数， . 故该养殖户有17天日销售利润不低于2280元； 法二：由（2）知： 当时，，当时，； 当时，， 由，得. 由函数的图象可知， 当时，日销售利润不低于2280元 又是整数，. 故该养殖户有17天日销售利润不低于2280元. 21. 如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于的动点，过点作轴交轴于点，交抛物线于点. （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求为直角三角形时点的坐标. 【答案】（1） （2）存在，最大值是 （3）或 【解析】 【分析】（1）将两点代入抛物线方程，利用待定系数法计算即可； （2）设点P坐标，利用纵坐标之差表示线段长，结合二次函数的性质计算即可； （3）分类讨论直角顶点，利用直线与抛物线的位置关系及特殊直角三角形的线段关系计算即可. 【小问1详解】 和在抛物线上， ，，解得， 故抛物线的解析式为； 【小问2详解】 设动点的坐标为，其中，则点的坐标为， ， 当时，线段长的最大值是. 故存在这样的点，， 使线段的长有最大值.线段长的最大值是； 【小问3详解】 为直角三角形， （i）若点为直角顶点，则. 由题意易知，轴，，因此点为直角顶点这种情形不存在； （ii）若点A为直角顶点，则. 如下如图，过点作轴交轴于点，则. 过点A作，交轴于点，则由题意知为等腰直角三角形， . 设直线的解析式为：，则，解得， 直线的解析式为：① 又抛物线的解析式为：② 联立①②式，解得：或（与点A重合，舍去）， 点的横坐标为，此时点的横坐标也是. 时是以点A为直角顶点的直角三角形. （iii）若点为直角顶点，则. ，抛物线的对称轴为直线. 如上如图，作点关于对称轴的对称点，则点在抛物线上，且. 点的横坐标为2，此时点的横坐标也是2. 时是以点为直角顶点的直角三角形. 点均在线段上， 综上所述，为直角三角形时，点的坐标为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$