北京市北京师范大学第二附属中学2025届高三上学期数学统练2

第 1页（共 14页） 2025 届高三上数学统练 2 一．选择题（共 10 小题） 1．设全集 U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合 A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{﹣3，0，2，3}，则 A∩（∁UB） ＝（ ） A．{﹣3，3} B．{0，2} C．{﹣1，1} D．{﹣3，﹣2，﹣1，1，3 } 2．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A．f（x）＝﹣lnx B．�(�) = 12� C．�(�) =− 1 � D．f（x）＝3 |x﹣1| 3．如果 a，b，c满足 c＜b＜a且 ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是（ ） A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0 C．cb2＜ab2 D．ac（a﹣c）＜0 4．下列各式化简运算结果为 1的是（ ） A．���3 − (0.125)− 2 3 B．�� 2 + 12 ��5 C．��� ��2（a＞0且 a≠1） D．log53×log32×log25 5．若 a＝log30.8，b＝30.8，c＝0.32.1，则 a，b，c的大小关系为（ ） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b 6．已知函数 f（x）= 6� −log2x，在下列区间中，包含 f（x）零点的区间是（ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞） 7．已知 a，b∈R，则“a2＝b2”是“a2+b2＝2ab”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知函数 f（x）＝3x﹣2x﹣1，则不等式 f（x）＜0的解集是（ ） A．（0，1） B．（0，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞） 9．被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：� = ����2(1 + � � )，其中 C为最大数据传输速率， 单位为 bit/s；W为信道带宽，单位为 Hz； � � 为信噪比．香农公式在 5G技术中发挥着举足轻重的作用．当 � � =99，W＝2000Hz时，最大数据传输速率记为 C1；当 � � =9999，W＝3000Hz时，最大数据传输速率 记为 C2，则 �2 �1 为（ ） A．1 B． 5 2 C． 15 4 D．3 第 2页（共 14页） 10．已知数列{an}满足 a4n﹣3＝﹣1，a4n﹣1＝1，a2n＝an，该数列的前 n项和为 Sn，则下列论断中错误的是 （ ） A．a31＝1 B．a2024＝﹣1 C．∃非零常数 T，∀n∈N*，使得 an+T＝an D．∀n∈N*，都有�2� =−2 二．填空题（共 5 小题） 11．不等式 2 �−1 ≤ 3的解集是 ． 12．{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前 n项和，an+1＝2Sn+2，则 a4＝ ． 13．函数� = �4， −1 ≤ � ≤ 0 ( 43 ) �， 0＜� ≤ 2 的值域为 ． 14．甲乙两人射击，每人射击一次．已知甲命中的概率是 0.8，乙命中的概率是 0.7，两人每次射击是否命 中互不影响．设事件 A 为“两人至少命中一次”，事件 B 为“甲命中”，则条件概率 P（B|A）的值 为 ． 15．若存在实常数 k和 b，使得函数 f（x）和 G（x）对其公共定义域上的任意实数 x都满足：F（x）≥kx+b 和 G（x）≤kx+b恒成立，则称此直线 y＝kx+b为 f（x）和 G（x）的“隔离直线”． 已知函数�(�) = �2(� ∈ �)，�(�) = 1� (�＜0)，ℎ(�) = 2����（e为自然对数的底数），有下列 命题： ①m（x）＝f（x）﹣g（x）在� ∈ ( − 13 2 ，0)内单调递增； ②f（x）和 g（x）之间存在“隔离直线”，且 b的最小值为﹣4； ③f（x）和 g（x）之间存在“隔离直线”，且 k的取值范围是[﹣4，1]； ④f（x）和 h（x）之间存在唯一的“隔离直线”� = 2 �� − �． 其中真命题的序号为 （请填写正确命题的序号）． 第 3页（共 14页） 三．解答题（共 2 小题） 16．某城市一条地铁新线开通了试运营，此次开通了 A、B、C、D、E、F共 6座车站．在试运营期间，地 铁公司随机选取了乘坐该地铁新线的 200名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）： 下车站上 车站 A B C D E F 合计 A / 5 6 4 2 7 24 B 12 / 20 13 7 8 60 C 5 7 / 3 8 1 24 D 13 9 9 / 1 6 38 E 4 10 16 2 / 3 35 F 2 5 5 4 3 / 19 合计 36 36 56 26 21 25 200 （1）在试运营期间，从在 B站上车的乘客中任选 1人，估计该乘客在 C站下车的概率； （2）以频率估计概率，在试运营期间，从在 A站上车的所有乘客和在 B站上车的所有乘客中各随机选 取 1人，设其中在 C站下车的人数为 X，求随机变量 X的分布列以及数学期望； （3）为了研究各站客流量的相关情况，用ξ1示所有在 B站上下车的乘客的上、下车情况，“ξ1＝1”表 示上车，ξ1＝0”表示下车．相应地，用ξ2，ξ3分别表示在 C站，D站上、下车情况，直接写出方差 Dξ1， Dξ2，Dξ3大小关系． 17．设函数 f（x）＝lnx﹣a（x﹣1）ex，其中 a∈R． （Ⅰ）若 a≤0，讨论 f（x）的单调性； （Ⅱ）若 0＜a＜ 1�． （ⅰ）证明：f（x）恰有两个零点； （ⅱ）设 x0为 f（x）的极值点，x1为 f（x）的零点，且 x1＞x0，证明：3x0﹣x1＞2． 第 4页（共 14页） 2025 届高三上数学统练 2 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题） 1．设全集 U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合 A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{﹣3，0，2，3}，则 A∩（∁UB） ＝（ ） A．{﹣3，3} B．{0，2} C．{﹣1，1} D．{﹣3，﹣2，﹣1，1，3 } 【分析】进行补集、交集的运算即可． 【解答】解：全集 U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合 A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{﹣3，0，2，3}， 则∁UB＝{﹣2，﹣1，1}， ∴A∩（∁UB）＝{﹣1，1}， 故选：C． 【点评】考查列举法的定义，以及补集、并集的运算． 2．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A．f（x）＝﹣lnx B．�(�) = 12� C．�(�) =− 1 � D．f（x）＝3 |x﹣1| 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断 ABC，举反例排除 D即可． 【解答】解：对于 A，因为 y＝lnx在（0，+∞）上单调递增，y＝﹣x在（0，+∞）上单调递减， 所以 f（x）＝﹣lnx在（0，+∞）上单调递减，故 A错误； 对于 B，因为 y＝2x在（0，+∞）上单调递增，� = 1�在（0，+∞）上单调递减， 所以�(�) = 12�在（0，+∞）上单调递减，故 B错误； 对于 C，因为� = 1�在（0，+∞）上单调递减，y＝﹣x在（0，+∞）上单调递减， 所以�(�) =− 1�在（0，+∞）上单调递增，故 C正确； 对于 D，因为�( 12 ) = 3 |12−1| = 3 1 2 = 3，f（1）＝3|1﹣1|＝30＝1，f（2）＝3|2﹣1|＝3， 显然 f（x）＝3|x﹣1|在（0，+∞）上不单调，D错误． 故选：C． 【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础题． 3．如果 a，b，c满足 c＜b＜a且 ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是（ ） 第 5页（共 14页） A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0 C．cb2＜ab2 D．ac（a﹣c）＜0 【分析】本题根据 c＜b＜a，可以得到 b﹣a与 a﹣c的符号，当 a＞0时，则 A成立，c＜0时，B成立， 又根据 ac＜0，得到 D成立，当 b＝0时，C不一定成立． 【解答】解：对于 A，∵c＜b＜a且 ac＜0， ∴则 a＞0，c＜0， 必有 ab＞ac， 故 A一定成立， 对于 B，∵c＜b＜a， ∴b﹣a＜0， 又由 c＜0，则有 c（b﹣a）＞0，故 B一定成立， 对于 C，当 b＝0时，cb2＜ab2不成立， 当 b≠0时，cb2＜ab2成立， 故 C不一定成立， 对于 D，∵c＜b＜a且 ac＜0， ∴a﹣c＞0， ∴ac（a﹣c）＜0，故 D一定成立， 故选：C． 【点评】本题考查了不等关系与不等式，属于基础题． 4．下列各式化简运算结果为 1的是（ ） A．���3 − (0.125)− 2 3 B．�� 2 + 12 ��5 C．��� ��2（a＞0且 a≠1） D．log53×log32×log25 【分析】利用指数的性质、运算法则判断 A；利用对数的性质、运算法则判断 B；利用对数的性质、运 算法则、换底公式判断 CD． 【解答】解：对于 A，���3 − (0.125)− 2 3 =3− 1 0．52 =3﹣4＝﹣1，故 A错误； 对于 B，�� 2 + 12 ��5 = 1 2（lg2+lg5）= 1 2，故 B错误； 对于 C，��� ��2 = ���2 �� � =4，故 C错误； 对于 D，log53×log32×log25= ��3 ��5 × ��2 ��3 × ��5 ��2 =1，故 D正确． 故选：D． 第 6页（共 14页） 【点评】本题考查指数、对数的性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．若 a＝log30.8，b＝30.8，c＝0.32.1，则 a，b，c的大小关系为（ ） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b 【分析】分别根据对数函数以及指数函数的单调性判断出 a，b，c三数的取值范围，即可得答案． 【解答】解：由题意得 a＝log30.8＜log31＝0，b＝30.8＞30＝1， 0＜c＝0.32.1＜0.30＝1， 故 a＜c＜b， 故选：D． 【点评】本题主要考查函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题． 6．已知函数 f（x）= 6� −log2x，在下列区间中，包含 f（x）零点的区间是（ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞） 【分析】可得 f（2）＝2＞0，f（4）=− 12＜0，由零点的判定定理可得． 【解答】解：∵f（x）= 6� −log2x， ∴f（2）＝2＞0，f（4）=− 12＜0， 满足 f（2）f（4）＜0， ∴f（x）在区间（2，4）内必有零点， 故选：C． 【点评】本题考查还是零点的判断，属基础题． 7．已知 a，b∈R，则“a2＝b2”是“a2+b2＝2ab”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据已知条件，先对原等式变形，再结合充分条件、必要条件的定义，即可求解． 【解答】解：a2＝b2，即（a+b）（a﹣b）＝0，解得 a＝﹣b或 a＝b， a2+b2＝2ab，即（a﹣b）2＝0，解得 a＝b， 故“a2＝b2”不能推出“a2+b2＝2ab”，充分性不成立， “a2+b2＝2ab”能推出“a2＝b2”，必要性成立， 第 7页（共 14页） 故“a2＝b2”是“a2+b2＝2ab”的必要不充分条件． 故选：B． 【点评】本题主要考查充分条件、必要条件定义，属于基础题． 8．已知函数 f（x）＝3x﹣2x﹣1，则不等式 f（x）＜0的解集是（ ） A．（0，1） B．（0，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞） 【分析】由已知结合指数函数及一次函数的图象及函数的性质即可求解． 【解答】解：由 f（x）＝3x﹣2x﹣1＝0可得 2x+1＝3x， 令 g（x）＝2x+1，h（x）＝3x， 由 f（x）＜0可得，g（x）＞h（x）， 因为 g（0）＝h（0）＝1，g（1）＝h（1）＝3， 结合一次函数及指数函数的增长速度可知，y＝g（x）与 y＝h（x）只有两个交点， 结合函数图象可知，当 0＜x＜1时，g（x）＞h（x），即 f（x）＜0． 故选：A． 【点评】本题主要考查了指数函数及一次函数的性质在不等式求解中的应用，体现了数形结合思想的应 用，属于中档题． 9．被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：� = ����2(1 + � � )，其中 C为最大数据传输速率， 单位为 bit/s；W为信道带宽，单位为 Hz； � � 为信噪比．香农公式在 5G技术中发挥着举足轻重的作用．当 � � =99，W＝2000Hz时，最大数据传输速率记为 C1；当 � � =9999，W＝3000Hz时，最大数据传输速率 第 8页（共 14页） 记为 C2，则 �2 �1 为（ ） A．1 B． 5 2 C． 15 4 D．3 【分析】利用“香农公式”分别求出 C1，C2的值，即可求出结果． 【解答】解：当 � � =99，W＝2000Hz时，C1＝2000log2（1+99）＝2000log2100＝4000log210， 当 � � =9999，W＝3000Hz时，C2＝3000log2（1+9999）＝3000log210000＝12000log210， ∴ �2 �1 = 12000���210 4000���210 =3， 故选：D． 【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，是基础题． 10．已知数列{an}满足 a4n﹣3＝﹣1，a4n﹣1＝1，a2n＝an，该数列的前 n项和为 Sn，则下列论断中错误的是 （ ） A．a31＝1 B．a2024＝﹣1 C．∃非零常数 T，∀n∈N*，使得 an+T＝an D．∀n∈N*，都有�2� =−2 【分析】由数列的递推式，计算 a31和 a2024，可判断 AB；由数列的递推式推得 n≥2时，a4n﹣3+a4n﹣2+a4n ﹣1+a4n＝0，计算可判断 D，再由排除法可得结论． 【解答】解：由 a4n﹣3＝﹣1，a4n﹣1＝1，a2n＝an，可得 a31＝a32﹣1＝1，a2024＝a1012＝a506＝a253＝a4×64 ﹣3＝﹣1，故 AB正确； 由 a1＝﹣1，a2＝﹣1，a3＝1，a4＝﹣1，a5＝﹣1，a6＝1，a7＝1，a8＝﹣1，…，可得 a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣ 1+a4n＝﹣1+a4n﹣2+1+a4n＝a4n﹣2+a4n， 当 n＝1时，a2+a4＝2a2＝﹣2，当 n＝2 时，a6+a8＝a3+a4＝0，…，即 n≥2时，a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n ＝0，则∀n∈N*，都有�2� =−2，故 D正确； 由排除法，可得 C错误． 故选：C． 【点评】本题考查数列的递推式和数列的求和，考查转化思想和推理能力，属于中档题． 二．填空题（共 5 小题） 11．不等式 2 �−1 ≤ 3的解集是 {x|x＜1或� ≥ 53} ． 第 9页（共 14页） 【分析】分式不等式变式成 −3�+5 �−1 ≤ 0，结合分式不等式的求法，求解即可． 【解答】解： 2 �−1 − 3 = −3�+5 �−1 ≤ 0， 解得 x＜1或� ≥ 53， 所以不等式 2 �−1 ≤ 3的解集是{x|x＜1或� ≥ 53}． 故答案为：{x|x＜1或� ≥ 53}． 【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题． 12．{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前 n项和，an+1＝2Sn+2，则 a4＝ 54 ． 【分析】由题意对所给的递推关系式进行赋值，得到关于首项、公比的方程组，求解方程组确定首项和 公比的值，然后结合等比数列通项公式即可求得 a4的值． 【解答】解：设公比为 q（q≠0）， 由 an+1＝2Sn+2，得 a2＝2S1+2＝2a1+2，a3＝2S2+2＝2（a1+a2）+2， 即 �1� = 2�1 + 2 �1�2 = 2(�1 + �1�) + 2 ，解得 �1 = 2 � = 3 ， 所以�4 = �1�3 = 54． 故答案为：54． 【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 13．函数� = �4， −1 ≤ � ≤ 0 ( 43 ) �， 0＜� ≤ 2 的值域为 [0， 16 9 ] ． 【分析】依次求出分段函数的值域，再对其取并集，即可求解． 【解答】解：当﹣1≤x≤0时， y＝x4的值域为[0，1]， 当 0＜x≤2时， y= ( 43 ) �的值域为（1， 16 9 ]， 综上所述，函数 y的值域为[0， 16 9 ]． 故答案为：[0， 16 9 ]． 【点评】本题主要考查函数值域的求解，是基础题． 14．甲乙两人射击，每人射击一次．已知甲命中的概率是 0.8，乙命中的概率是 0.7，两人每次射击是否命 第 10页（共 14页） 中互不影响．设事件 A为“两人至少命中一次”，事件 B为“甲命中”，则条件概率 P（B|A）的值为 40 47 ． 【分析】根据对立事件的关系和独立性可求得 P（A）、P（AB），再根据条件概率的计算公式即可求解． 【解答】解：�(�) = 1 − �(�) = 1 − 0.2 × 0.3 = 0.94， P（AB）＝0.8×0.7+0.8×0.3＝0.8， 所以�(�|�) = �(��)�(�) = 0.8 0.94 = 40 47． 故答案为： 40 47 ． 【点评】本题考查对立事件的关系和独立性，属于基础题． 15．若存在实常数 k和 b，使得函数 f（x）和 G（x）对其公共定义域上的任意实数 x都满足：F（x）≥kx+b 和 G（x）≤kx+b恒成立，则称此直线 y＝kx+b为 f（x）和 G（x）的“隔离直线”． 已知函数�(�) = �2(� ∈ �)，�(�) = 1� (�＜0)，ℎ(�) = 2����（e为自然对数的底数），有下列 命题： ①m（x）＝f（x）﹣g（x）在� ∈ ( − 13 2 ，0)内单调递增； ②f（x）和 g（x）之间存在“隔离直线”，且 b的最小值为﹣4； ③f（x）和 g（x）之间存在“隔离直线”，且 k的取值范围是[﹣4，1]； ④f（x）和 h（x）之间存在唯一的“隔离直线”� = 2 �� − �． 其中真命题的序号为 ①②④ （请填写正确命题的序号）． 【分析】①求出 F（x）＝f（x）﹣g（x）的导数，检验在 x∈∈（− 13 2 ，0）内的导数符号，即可判断； ②、③设 f（x）、g（x）的隔离直线为 y＝kx+b，x2≥kx+b对一切实数 x成立，即有△1≤0， 又 1 � ≤kx+b对一切 x＜0成立，△2≤0，k≤0，b≤0，根据不等式的性质，求出 k，b的范围，即可判断 ②③； ④存在 f（x）和 g（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为 k．设出隔离直 线，构造函数，求出函数的导数，根据导数求出函数的最值． 【解答】解：①∵F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2− 1�，∴x∈（− 1 3 2 ，0），F′（x）＝2x+ 1�2＞0， ∴F（x）＝f（x）﹣g（x）在 x∈（− 13 2 ，0）内单调递增，故①对； ②、③设 f（x）、g（x）的隔离直线为 y＝kx+b， 则 x2≥kx+b对一切实数 x成立，即有△1≤0，k2+4b≤0， 第 11页（共 14页） 又 1 � ≤kx+b对一切 x＜0成立，则 kx2+bx﹣1≤0，即△2≤0，b2+4k≤0，k≤0，b≤0， 即有 k2≤﹣4b且 b2≤﹣4k，k4≤16b2≤﹣64k⇒﹣4≤k≤0，同理⇒﹣4≤b≤0，故②对，③错； ④函数 f（x）和 h（x）的图象在 x= �处有公共点，因此存在 f（x）和 h（x）的隔离直线， 那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为 k．则隔离直线方程为 y﹣e＝k（x− �）， 即 y＝kx﹣k � +e， 由 f（x）≥kx﹣k � +e（x∈R），可得 x2﹣kx+k � −e≥0当 x∈R 恒成立， 则△≤0，只有 k＝2 �，此时直线方程为：y＝2 �x﹣e， 下面证明 h（x）≤2 �x﹣e，令 G（x）＝2 �x﹣e﹣h（x）＝2 �x﹣e﹣2elnx， G′（x）= 2 �(�− �)� ， 当 x= �时，G′（x）＝0，当 0＜x＜ �时，G′（x）＜0，当 x＞ �时，G′（x）＞0， 则当 x= �时，G（x）取到极小值，极小值是 0，也是最小值． 所以 G（x）＝2 �x﹣e﹣g（x）≥0，则 g（x）≤2 �x﹣e当 x＞0时恒成立． ∴函数 f（x）和 g（x）存在唯一的隔离直线 y＝2 �x﹣e，故④正确． 故答案为：①②④． 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的求导， 利用导数求最值，属于难题． 三．解答题（共 2 小题） 16．某城市一条地铁新线开通了试运营，此次开通了 A、B、C、D、E、F共 6座车站．在试运营期间，地 铁公司随机选取了乘坐该地铁新线的 200名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）： 下车站上 车站 A B C D E F 合计 A / 5 6 4 2 7 24 B 12 / 20 13 7 8 60 C 5 7 / 3 8 1 24 D 13 9 9 / 1 6 38 E 4 10 16 2 / 3 35 F 2 5 5 4 3 / 19 合计 36 36 56 26 21 25 200 第 12页（共 14页） （1）在试运营期间，从在 B站上车的乘客中任选 1人，估计该乘客在 C站下车的概率； （2）以频率估计概率，在试运营期间，从在 A站上车的所有乘客和在 B站上车的所有乘客中各随机选 取 1人，设其中在 C站下车的人数为 X，求随机变量 X的分布列以及数学期望； （3）为了研究各站客流量的相关情况，用ξ1示所有在 B站上下车的乘客的上、下车情况，“ξ1＝1”表 示上车，ξ1＝0”表示下车．相应地，用ξ2，ξ3分别表示在 C站，D站上、下车情况，直接写出方差 Dξ1， Dξ2，Dξ3大小关系． 【分析】（1）利用频率来求概率即可； （2）由题意可知，X可取 0，1，2，求出相应的概率，从而可求出随机变量 X的分布列及数学期望； （3）利用两点分布的方差公式依次求出进行比较即可． 【解答】解：（1）设选取的乘客在 B站上车、在 C站下车为事件 M， 因为在 B站上车的乘客有 60人，其中在 C站下车的乘客有 20人， 所以�(�) = 2060 = 1 3； （2）从在 A站上车的所有乘客中任选 1人， 则该乘客在 C站下车的概率为 6 24 = 1 4 ， 所以 X的所有可能取值为 0，1，2， 此时�(� = 0) = (1 − 14 ) × (1 − 1 3 ) = 1 2， �(� = 1) = 14 × (1 − 1 3 ) + (1 − 1 4 ) × 1 3 = 5 12，�(� = 2) = 1 4 × 1 3 = 1 12， 则 X的分布列为： X 0 1 2 P 1 2 5 12 1 12 故�(�) = 0 × 12 + 1 × 5 12+ 2 × 1 12 = 7 12； （3）因为在 B站上车的有 60人，下车的有 36人， 所以�(�1 = 1) = 60 96 = 5 8，�(�1 = 0) = 36 96 = 3 8， 则�(�1) = 5 8 × 3 8 = 15 64 ≈ 0.2344， 因为在 C站上车的有 24人，下车的有 56人， 所以�(�2 = 1) = 24 80 = 3 10，�(�2 = 0) = 56 80 = 7 10， 第 13页（共 14页） 则�(�2) = 3 10 × 7 10 = 21 100 = 0.21， 因为在 D站上车的有 38人，下车的有 26人， 所以�(�3 = 1) = 38 64 = 19 32，�(�3 = 0) = 26 64 = 13 32， 则�(�3) = 19 32 × 13 32 = 247 1024 ≈ 0.2412， 故 D（ξ2）＜D（ξ1）＜D（ξ3）． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题． 17．设函数 f（x）＝lnx﹣a（x﹣1）ex，其中 a∈R． （Ⅰ）若 a≤0，讨论 f（x）的单调性； （Ⅱ）若 0＜a＜ 1�． （ⅰ）证明：f（x）恰有两个零点； （ⅱ）设 x0为 f（x）的极值点，x1为 f（x）的零点，且 x1＞x0，证明：3x0﹣x1＞2． 【分析】（I）f′（x）= 1� −[ae x+a（x﹣1）ex]= 1−�� 2�� � ，x∈（0，+∞）．a≤0时，f′（x）＞0，即可 得出函数 f（x）在 x∈（0，+∞）上单调性． （II）（i）由（I）可知：f′（x）= 1−�� 2�� � ，x∈（0，+∞）．令 g（x）＝1﹣ax 2ex，∵0＜a＜ 1�，可知： 可得 g（x）存在唯一解 x0∈（1，ln 1 � ）．可得 x0是函数 f（x）的唯一极值点．令 h（x）＝lnx﹣x+1，可 得 x＞1时，lnx＜x﹣1．f（ln 1 � ）＜0．f（x0）＞f（1）＝0．可得函数 f（x）在（x0，+∞）上存在唯一 零点．又函数 f（x）在（0，x0）上有唯一零点 1．即可证明结论． （ii）由题意可得：f′（x0）＝0，f（x1）＝0，即 a�02��0 =1，lnx1＝a（x1﹣1）��1，可得��1−�0 = �02���1 �1−1 ， 由 x＞1，可得 lnx＜x﹣1．又 x1＞x0＞1，可得��1−�0＜ �02(�1−1) �1−1 = �02，取对数即可证明． 【解答】（I）解：f′（x）= 1� −[ae x+a（x﹣1）ex]= 1−�� 2�� � ，x∈（0，+∞）． a≤0时，f′（x）＞0， ∴函数 f（x）在 x∈（0，+∞）上单调递增． （II）证明：（i）由（I）可知：f′（x）= 1−�� 2�� � ，x∈（0，+∞）． 令 g（x）＝1﹣ax2ex，∵0＜a＜ 1�，可知：g（x）在 x∈（0，+∞）上单调递减，又 g（1）＝1﹣ae＞0． 且 g（ln 1 � ）＝1﹣a(�� 1� ) 2 ⋅ 1� =1−(�� 1 � ) 2＜0， 第 14页（共 14页） ∴g（x）存在唯一解 x0∈（1，ln 1 � ）． 即函数 f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）单调递减． ∴x0是函数 f（x）的唯一极值点． 令 h（x）＝lnx﹣x+1，（x＞0），h′（x）= 1−�� ， 可得 h（x）≤h（1）＝0，∴x＞1时，lnx＜x﹣1． f（ln 1 � ）＝ln（ln 1 � ）﹣a（ln 1 � −1）��� 1 � =ln（ln 1 � ）﹣（ln 1 � −1）＜0． ∵f（x0）＞f（1）＝0． ∴函数 f（x）在（x0，+∞）上存在唯一零点． 又函数 f（x）在（0，x0）上有唯一零点 1． 因此函数 f（x）恰有两个零点； （ii）由题意可得：f′（x0）＝0，f（x1）＝0，即 a�02��0 =1，lnx1＝a（x1﹣1）��1， ∴lnx1= �1−1 �02 ��1−�0，即��1−�0 = �02���1 �1−1 ， ∵x＞1，可得 lnx＜x﹣1． 又 x1＞x0＞1， 故��1−�0＜ �02(�1−1) �1−1 = �02， 取对数可得：x1﹣x0＜2lnx0＜2（x0﹣1）， 化为：3x0﹣x1＞2． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等 价转化方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期： 2024/9/12 9:34:51；用户：毕玉杰；邮箱：18519059176；学号： 46107984