精品解析：四川省绵阳市南山中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

2024年9月 绵阳南山中学2024年秋高2022级高三上9月月考试题 数 学 命题人：张韬 审题人：雍华 赵立信 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若命题：，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，则下列不等式一定成立的是（    ） A. B. C. D. 4. 记等差数列的前n项和为.若，，则（ ） A. 49 B. 63 C. 70 D. 126 5. 已知函数为偶函数，则（    ） A. B. C. D. 6. 已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则后物体的温度满足公式（其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中，冷却后牛奶的温度是，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 牛奶的温度降至还需 D. 牛奶的温度降至还需 7. 根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，求得残差图.对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在唯一的整数，使得成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（    ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列函数中，是增函数的是（    ） A. B. C. D. 10. 某制药公司为了研究某种治疗高血压的药物在饭前和饭后服用的药效差异，随机抽取了200名高血压患者开展试验，其中100名患者饭前服药，另外100名患者饭后服药，随后观察药效，将试验数据绘制成如图所示的等高条形图，已知，且，则下列说法正确的是（ ） A. 饭前服药的患者中，药效强的频率为 B. 药效弱的患者中，饭后服药的频率为 C. 在犯错误的概率不超过0.01的条件下，可以认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异 D. 在犯错误的概率不超过0.01的条件下，不能认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异 11. 已知函数（）是奇函数，是的导函数（），且有满足，则下列说法正确的是（    ） A. B. 函数为偶函数 C. D. 函数的周期为4 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.) 12. 已知，，则________. 13. 函数且的所有零点的和等于______. 14. 对任意的，不等式恒成立，则实数_________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 中，内角的对边分别为，且. （1）若，求； （2）若的面积为，求. 16. 在数列中，是其前项和，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，恒成立，求的取值范围． 17. 习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得一些数据图如下表所示: 第天 1 2 3 4 5 高度 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 （1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明； （2）求关于的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度. 参考数据:. 参考公式:相关系数， 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 18. 函数. （1）若，求函数在处的切线方程； （2）证明：存在实数使得曲线关于点成中心对称图形； （3）讨论函数零点的个数. 19. 已知. （1）当时，求的单调递增区间； （2）若有两个极值点，. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年9月 绵阳南山中学2024年秋高2022级高三上9月月考试题 数 学 命题人：张韬 审题人：雍华 赵立信 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，则， 所以， 又， 所以. 故选：C 2. 若命题：，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】存在性命题的否定,,对条件进行否定 【详解】由题,则的否定为, 故选：C 【点睛】本题考查存在性命题的否定,属于基础题 3. 若，则下列不等式一定成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合作差比较法，利用不等式的性质逐项判断. 【详解】对于A：由，，可得，故A错误； 对于B：因为，所以，即， 又因为且，所以，故B正确； 对于C：设，满足题意，则，故C错误； 对于D：由，，可得，故D错误. 故选：B. 4. 记等差数列的前n项和为.若，，则（ ） A. 49 B. 63 C. 70 D. 126 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的项的“等和性”得到，再运用等差数列的前n项和公式计算即得. 【详解】因是等差数列，故，于是 故选：B 5. 已知函数为偶函数，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合偶函数的定义利用对数的运算性质即可求解. 【详解】因为函数为偶函数， 所以，即， ，即， 即，即， 化简得，解得. 故选：C. 6. 已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则后物体的温度满足公式（其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中，冷却后牛奶的温度是，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 牛奶的温度降至还需 D. 牛奶的温度降至还需 【答案】D 【解析】 【分析】运用代入法，结合对数的运算逐一判断即可. 【详解】由，得， 即，故，A、B错误； 又由，，得， 故牛奶的温度从降至需， 从降至还需. 故选：D 7. 根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，求得残差图.对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定进行判断. 【详解】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为、方差为的随机变量的观测值. 对于A选项，残差与有线性关系，故A错误； 对于B选项，残差的方差不是一个常数，随着观测时间变大而变小，故B错； 对于C选项，残差与有非线性关系，故C错； 对于D选项，残差比较均匀地分布在以取值为的横轴为对称轴的水平带状区域内，故D正确. 故选：D. 8. 已知函数，若存在唯一的整数，使得成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出的图象，由不等式的几何意义：曲线上一点与连线的直线斜率小于0，结合图象即可求得范围. 【详解】作出的函数图象如图所示： 表示点与点所在直线的斜率， 可得曲线上只有一个点（x为整数）和点所在直线的斜率小于0， 而点在动直线上运动， 由，，，，且为整数， 可得当时，至少有点两个点满足，不满足题意； 当时，只有点满足，满足题意； 当时，只有点满足，满足题意； 当时，至少有两个点满足，不满足题意； 综上所述，由a为整数，可得a的取值集合为. 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列函数中，是增函数的是（    ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用指数函数性质可得A正确，由反比例函数性质可得B错误，根据幂函数性质可得C正确，求导得出恒成立，可得D正确. 【详解】对于A，易知的定义域为，是由函数和组成， 易知为单调递增函数，为单调递增函数，因此A正确； 对于B，函数定义域为， 根据反比例函数性质可得在和上分别单调递增，但不是增函数，即B错误； 对于C，易知的定义域为，由幂函数性质可得其在定义域内单调递增，即C正确； 对于D，函数的定义域为，则恒成立， 所以函数在定义域内单调递增，即D正确. 故选：ACD 10. 某制药公司为了研究某种治疗高血压的药物在饭前和饭后服用的药效差异，随机抽取了200名高血压患者开展试验，其中100名患者饭前服药，另外100名患者饭后服药，随后观察药效，将试验数据绘制成如图所示的等高条形图，已知，且，则下列说法正确的是（ ） A. 饭前服药的患者中，药效强的频率为 B. 药效弱的患者中，饭后服药的频率为 C. 在犯错误的概率不超过0.01的条件下，可以认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异 D. 在犯错误的概率不超过0.01的条件下，不能认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等高条形图即可得饭前饭后药效强和弱的人数，即可判断AB，计算卡方与临界值比较即可判断CD. 【详解】对于A，饭前服药的100名患者中，药效强的有80人，所以频率为，故A正确； 对于B，饭前服药的有20人药效弱，饭后服药的有70人药效弱，所以药效弱的有90名患者，饭后服药的频率为，故B错误； 对于C，D，因为， 故在犯错误的概率不超过0.01的条件下，可以认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异，故C正确，D错误． 故选：AC 11. 已知函数（）是奇函数，是的导函数（），且有满足，则下列说法正确的是（    ） A. B. 函数为偶函数 C. D. 函数的周期为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇函数和偶函数的定义，结合函数的周期性和对称性，以及复合函数求导即可判断. 【详解】由，则， 又函数（）是奇函数，则，， 因此可得，，即函数的周期为4， 由，则， ，因此A正确； 由函数（）是奇函数，则， 故， 又是的导函数，则，故函数为偶函数，因此B正确； 由，则为的对称轴， 因此在左右附近的单调性发生改变，即为的极值点， 故，因此C不正确； 由，则，即， 因此函数的周期为4，因此D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题： (1)定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件； (2)或是定义域上的恒等式.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.) 12. 已知，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由，可知，再结合，及，可求出答案. 【详解】因为，所以，所以， 所以． 故答案为：. 13. 函数且的所有零点的和等于______. 【答案】0 【解析】 【分析】利用函数与方程的思想分别画出函数和函数的图象，利用奇函数性质即可得出结果. 【详解】由可得， 易知函数和函数都为奇函数， 在同一坐标系下作出两函数在内的图象，如下图所示： 所以两函数图象交点都关于原点成中心对称， 因此函数且的所有零点的和等于0. 故答案为：0 14. 对任意的，不等式恒成立，则实数_________. 【答案】 【解析】 【分析】由对数有意义可得：，将不等式等价转化为在上恒成立，构造函数 ，由函数在上单调递增，故时，则，当时， ，则，再根据二次函数的图象和性质即可求出实数的值，最后取交集即可求解. 【详解】由题意可知：且成立，则， 因为对任意的，不等式恒成立， 也即在上恒成立， 记，则在上单调递增， 当时，，即恒成立，则，所以，解得：； 当时，不等式显然成立； 当时，，即在恒成立， 则，因为在上单调递减，所以时，，解得：， 因为对任意的，不等式恒成立， 则综上可知：实数的值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 中，内角的对边分别为，且. （1）若，求； （2）若的面积为，求. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）已知三边求角由余弦定理可得； （2）由三角形面积公式可得，分锐钝两类情况分别求解可得. 【小问1详解】 由余弦定理知 ，又，故； 【小问2详解】 由三角形的面积公式， 从而， 若，， 由余弦定理可得； 若，， 由余弦定理可得； 综上，或. 16. 在数列中，是其前项和，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，作差得到，从而得到是以为首项，为公比的等比数列，即可求出其通项公式； （2）由（1）求出，再根据指数函数的性质求出的最值，即可得解. 【小问1详解】 因为， 当时，，解得； 当时，，所以，所以； 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 又在上单调递减，则在上单调递增， 所以当为偶数时，， 当为奇数时，， 所以当时取得最大值为，当时取得最小值为， 因为，恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围为. 17. 习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得一些数据图如下表所示: 第天 1 2 3 4 5 高度 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 （1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明； （2）求关于的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度. 参考数据:. 参考公式:相关系数， 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 【答案】（1）由，，， 所以， 因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系． （2），预测当年份序号为第7天这株幼苗的高度为4.5 【解析】 【分析】（1）求出，结合公式求出r，即可下结论； （2）利用最小二乘法求出回归直线方程，令计算，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可得：， 所以关于的回归直线方程为． 当时，， 由此预测当年份序号为第7天这株幼苗的高度为4.5. 18. 函数. （1）若，求函数在处的切线方程； （2）证明：存在实数使得曲线关于点成中心对称图形； （3）讨论函数零点的个数. 【答案】（1） （2） 由， 若存在这样的，使得为的对称中心， 则， 现在只需证明当时，， 事实上，， 于是 即存在实数使得即是的对称中心. （3） ， 当时，时，，故在上单调递增， 时，，在单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，而，根据零点存在定理在上有一个零点； ①若，即， 在无零点，从而在上有1个零点； ②若，即，，在有一个零点， ，故在有一个零点， 从而在上有3个零点； ③若，即，在有一个零点，从而在上有2个零点； 当时，在上单调递增，， 时，， 从而在上有一个零点； 当时，时，故在上单调递增，时，，在上单调递减. 而，，故在无零点， 又，由， 故，，从而在有一个零点， 从而在上有一个零点. 综上：当时，在上只有1个零点； 时，在上有2个零点； 时在上有3个零点. 【解析】 【分析】（1）把代入并求导，求出切线斜率和切点坐标利用点斜式写出直线方程即可； （2）首先利用在上，求出的值，再证明即可； （3）求导利用导函数判断单调性，再结合零点存在性定理判断零点的个数. 【小问1详解】 当时，，， 则，， 故在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且， 还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点； (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 19. 已知. （1）当时，求的单调递增区间； （2）若有两个极值点，. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）; （ii） ， 要证，即证， 令， 则， 令，则， 则在上单调递减， 又，， 故存在，使，即，则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， 又，则，故， 即，即. 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，化简后求的解集； （2）（ⅰ）首先求函数的导数，令，换元后转化为方程有两个正根，利用判别式以及韦达定理，求参数的取值范围； （ⅱ）首先求，根据（1）的换元结果，以及韦达定理，转化为关于的函数，并构造函数，利用导数判断函数的单调性，转化为函数的最大值，即证明不等式. 【小问1详解】 当时，， ， 当，即时，， 故单调递增区间为； 【小问2详解】 ，令，即， 令，，则、是方程的两个正根， 则，即， 有，，即， （ii）略 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用换元的思想，利用换元转化为其他函数，利用导数，转化为隐零点问题求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $