江西景德镇市乐平市第一中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

2025—2026学年下学期期末考试 高二数学试卷 时长：120分钟 总分：150分 座位号 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可.为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的城市分别随机调查了20名市民，得到如下列联表： A 总计 认可 13 5 18 不认可 7 15 22 总计 20 20 40 附：. P（K2≥k） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 根据表中的数据，下列说法中正确的是（ ） A. 没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” B. 有99%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” C. 可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” D. 可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” 4. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”问：“马主出几何？”意思是“现有羊､马､牛三畜，吃了人家田里的禾苗，禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半，”马主人说：“我的马所吃数是牛吃的一半.”问马主人应赔偿多少更合理？（ ） A. 斗 B. 斗 C. 斗 D. 斗 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知变量，之间的一组相关数据如下表所示： 6 8 10 12 6 3 2 据此得到变量，之间的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） A. 变量，之间成负相关关系 B. 可以预测，当时， C. D. 该回归直线必过点 7. 点P是曲线上一个动点，则点P到直线的距离的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在R上的函数，当时，，又，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知为等差数列的前项和，公差为．若，，则下列数大于0的是（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 时，的值域为 C. 有三个零点 D. 曲线关于点对称 11. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知，则的极大值为______. 13. 已知二次函数的两个零点为，，若，，三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则为______. 14. 已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为______. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知关于的不等式的解集记为集合，集合． （1）当时，求，； （2）已知，若命题：“，”是假命题，写出命题的否定并求a的取值范围． 16. 已知数列满足，且. （1）若，证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式以及前n项和. 17. 随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，若该公司收集了2026年前5个月x与对应销售金额y（单位：万元）的数据，并且成线性相关，具体如下表所示： 月份代码x 1 2 3 4 5 销售金额y（单位：万元） 80 150 210 260 300 （1）求样本相关系数r（精确到0.001），并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱； （2）求销售金额y关于月份x的回归方程，若投入总成本z（单位：万元）满足，当x为何值时，总成本z的投入值最低？ 附：相关系数，，. 当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当它接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 其中，． 18. 已知函数，. （1）若，求的图象在处的切线方程（写成一般式）； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）是否存在实数a，对任意的，，都有恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由. 19. 已知是定义在上的函数的导函数，若正项数列满足，且对任意，都有，则称为的衍生数列. （1）若，，判断是否是的衍生数列，并说明理由. （2）若为的衍生数列，证明：. （3）若为的衍生数列，证明：. 2025—2026学年下学期期末考试 高二数学试卷 时长：120分钟 总分：150分 座位号 一、单选题（每小题5分，共40分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、多选题（每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】AD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题（每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】##2.5 【14题答案】 【答案】 四、解答题（共5小题，共77分） 【15题答案】 【答案】（1）， （2）命题的否定为“，”，的取值范围是 【16题答案】 【答案】（1）已知， 则， 又，所以， 故数列是以2为首项，2为公比的等比数列. （2）； 【17题答案】 【答案】（1）样本相关系数，变量与的线性相关程度极强； （2）回归方程为，当时总成本的投入值最低． 【18题答案】 【答案】（1） （2）若，函数在内单调递增，在内单调递减； 若，函数在内单调递增； 若，函数在内单调递增，在内单调递减. （3）假设存在这样的实数a满足条件， 因为，则， 由可得，即， 令，， 可知函数在上单调递增， 则，即在上恒成立， 又因为，当且仅当时，等号成立， 则，即， 故存在这样的实数a满足题意，实数a的取值范围为． 【19题答案】 【答案】（1）是的衍生数列，理由如下： 已知，导函数，数列，即，， 因此，， 所以，且， 根据题意，是的衍生数列. （2）已知，导函数， 根据衍生数列定义，有正项数列满足且， 即， 化简得，所以是首项为，公差为的等差数列，即， 令， 利用错位相减法：，， 两式相减得， 即，解得， 由于，所以，故，即. （3）已知，导函数， 根据衍生数列定义，有正项数列满足且， 即， 化简得， ①先证明： 由递推式可知，说明数列单调递增， 由于，， 所以，，，， 所以， 化简得，当时严格大于，当时取等号， 因此； ②再证明： 已知，由于，所以， 所以， 利用放缩：当时，， 则， 所以，即， 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $