上海市南洋模范中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷

南洋模范中学高三开学考数学试卷 2024.09 一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1.已知a,b均为实数，(2+i)1+ai=i(b+i),则ab= 2.(x2+)3的展开式中，常数项为 3.已知平面向量a,方的夹角为，|a上2,11，则1a+2bF 4.不等式，一 x 21的解集为 x2-4x+6 5.设A={x|x2-5x+4=0},B={x|ax-1=0},若AUB=A,则实数a的取值集合为 6.圆x2+y2+ax+2y+2a2+a-1=0的半径的最大值为 7已知sma+学+ma-=9,则s2a-马- 6 &已奥点P为双自线三是-1(0>0，b>0)右支上的-点，点5、E分别为双由 线的左、右焦点，若M为△PFE的内心，且S△PM=S△Pw+ 2aws5’则双曲线的离 心率为 9.在一座尖塔的正南方向地面某点A,测得塔顶的仰角为30°，又在此尖塔北偏东30°地 面某点B,测得塔顶的仰角为45°，且A,B两点距离为7，在线段AB上的点C处测得塔 顶的仰角为最大，则C点到塔底O的距离为 10.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且任意x∈R,都有f(x)=f(2-x),当 -1≤x<0时，f(x)=l1og2(-x),则函数g(x)=f(x)+2在区间(-1,8)内所有零点之和为 3x,0≤x≤1 11.己知函数f(x)= Inx,x>1 ,若存在实数x,名满足0≤x<x,且fx)=f(), 则x,-6x的取值范围为 12.定义：对于函数y=f(x)和数列{xn},若(x1-xn)f"(x)+f(x)=0,则称数列{x} 具有“f(x)函数性质”.已知二次函数y=f(x)图象的最低点为(0，-4)，且 f(x+1)=f(x)+2x+1,若数列{x}具有“f(x)函数性质”，且首项为1的数列{an}满足 a,=n(x,+2)-n(x,-2),记{a,}的前n项和为S。,则数列{S.(号-5}的最小值为一 二.选择题（本大题共4题，满分20分） 13.某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，抽得10个班的比赛得 分如下：91,89,90,92,94,87,93,96,91,85，则这组数据的75%分位数为() A.93 B.93.5 C.94 D.94.5 14.已知两条不同的直线m,n,两个不同的平面a,B,则() A.若a∥B,mca,ncB,则m∥n B.若mca,ncB,m⊥n,则⊥B C.若m⊥a,n⊥m,则n∥a D.若a∩B=n,mca,m∥B,则m∥n 15.已知函数f(x)=V3sin2x+cos2x.若存在t、t2∈[-π，2π]，使得f(G)f(2)=4, 则t-2的最大值为() A B.π C.3ie D.2π 16.在平面直线坐标系中，定义d(A,B)=max{x-x2l乃-y2}为两点A(x,乃)、 B(x22)的“切比雪夫距离”，又设点P及1上任意一点Q,称d(P,Q)的最小值为点P 到直线1的“切比雪夫距离”，记作d(P,),给出下列命题：①已知点P(3,1)和直线 1:2x-y-1=0,则d(P,)=行②定点F(-c,0)、E(c,0),动点P(x)满足 |d(P,F)-d(P,F)=2a(2c>2a>0),则点P的轨迹与直线y=k(k为常数)有且 仅有2个公共点，下列说法正确的是() A.命题①成立，命题②不成立 B.命题①不成立，命题②不成立 C.命题①②都成立 D.命题①②都不成立 三.解答题（本大题共有5题，满分76分】 17.如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，所有棱长均为4，D是AB的中点. (1)求证：BC,∥平面ADC; (2)求异面直线AD与BC所成角的正弦值， 18.己知函数f)=a-3 一是定义在R上的奇函数(a>0,b>0). 3+ (1)求y=f(x)的解析式： (2)求当x∈[0,1]时，函数g(x)=f(x)·(3+1)+9-1的值域. 19.某大学数理教学部为提高学生的身体素质，并加强同学间的交流，特组织以“让心灵沐 浴阳光，让快乐充满胸膛”为主题的趣味运动比赛，其中A、B两名学生进入趣味运动比赛 的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每场比赛不存在平局，获胜者得1分，失 败者不得分，其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利，但本次比赛最多进行6场.假 设每场比赛中A同学获胜的概率均为，且各场比赛的结果相互独立 (1)求趣味比赛进行到第2场时比赛就结束的概率： (2)此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的场数为X,求X的分布列及数学期望， 20.已知椭圆C:)+y=1,点F、乃分别为椭圆的左、右焦点 (1)若椭圆上点P满足PF⊥FF2,求|PF|的值： (2)点A为椭圆的右顶点，定点T(t,0)在x轴上，若点S为椭圆上一动点，当ST取得最 小值时点S恰与点A重合，求实数t的取值范围： (3)已知m为常数，过点F,且法向量为(L,-m)的直线1交椭圆于M、N两点，若椭圆C 上存在点R满足OR=OM+uON(元、μeR),求μ的最大值. 21.我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为y=[(x)] ((x)>0)·对幂指函数求导时，可以将函数“指数化”再求导，例如：对于幂指函数 y=x*,yx)=[(elx)*=(exlnx)'=exx(Inx+1). x+ (1)已知f(x)=x:（x>0),求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程： 2)）若a>0且a1,所究函数g()=(牛0)(x>0)的单调性 (3)已知m,,5,!均大于0.且m≠m,讨论("于y和(“青”y的大小关系答案 一、填空题 1.已知a,b均为实数，(2+i)(1+ai)=i(b+i),则ab= 【答案】21 【解析】根据(2+i)(1+ai)=i(b+i)可得到2+2ai+i-a=-1+bi, 故2-a=-1,2a+1=b,求得a=3,b=7,所以ab=21. 的展开式中，常数项为 【答案】3 【解折】由+展开式中的通项公式为：=c9广-c, 令6-3张=0，则k=2, 展开式中的常数项为：I=Cx°=3 3.己知平面向量a.5的夹角为且1a2,11,则a+25- 【答案】25 【解折】由愿意，可得1a+25aP+41+48-6=4+4+41a1cos号=2，所以a+25125. 4.不等式-4x+6 ≥1的解集为 【答案】2,3] 【解析】因为x2-4x+6=(x-2+2>0,所以x2-4x+6>0恒成立， 所以-4+6≥1台x≥-4r+6,所以-5x+6≤0，(x-2r-列s0,所以2≤x≤3. 5.设A={x2-5x+4=0,B={ax-1=0},若AUB=A,则实数a的取值集合为 【答案】 【解析】由A={x2-5x+4=0可得A=1,4,由于AUB=A,故B={,{4,0, 因此B=,a-1=0→a=1,B={4,4a-1=0→a=4 1 第1页共12页 B=②0=0，故实数0的取值跳合为l} 6.圆x2+y2+a+2y+2a2+a-1=0的半径的最大值为一 【答案】25 3 【解折1由+y户+a+2g+2a2+a-1=0可得+八+0+o=-2-a1, 当一女-+10表示圆，甲解得的取位范图是(-2号引 半径为-a1-o+号 y=引a+号)+号是开口肉下对称轴为a=号的地物线，在(2-引严格递游， 在（骨到严格递减，所以a=-子时最大值为2 【答案】-日 【解折1+}a=a+ 2 4 5ma+oa=则5a+a-故ma+片 2 2 ma}a+号}-a+到-l-2a+-1名 8. 答一台=1（如>0，b>0)右支上的一点，点R,5分别为双线的左、右焦点，若M 已知点P为双曲线- 为aPFB的内心，且S听=S。s+2a,则双曲线的离心率为 【答案】2 【解析】设内切圆半径为R,由题意知Sa听=SaP+与a5' 所PFR=PFR+号FR, 即PF-PF=c,由点P为双曲线右支上的一点， 第2页共12页 则PE-PF=2a=c, 故双曲线的离心率e=二=2。 a 9.在一座尖塔的正南方向地面某点A,测得塔顶的仰角为30°，又在此尖塔北偏东30°地面某点B,测得 塔顶的仰角为45，且A,B两点距离为7m,在线段AB上的点C处测得塔顶的仰角为最大，则C点到塔 底O的距离为 m. 【答案】 2 【解析】设塔高为OP,如下图所示， 由题意知：∠AOB=90°+(90-30)=150°，∠PA0=30°，∠P0B=45,P0⊥平面A0B,AB=7, 若在C处的仰角最大，即∠PCo最大，则tan∠PCO取得最大值， an∠Pc0=C,当OC取得最小值时，an∠Pco最大， i设OP=h,则OA=OP=5h,OB= OP tan∠PAo tan∠PBo=h, 4B=0+08-204o8os乙408=4-259}7m=0, 解得：h=√万，OA=√2i,OB=√万， a-01.0Bn∠40B=x75x5 2 4 7w5 当oc1B时，0c最小，(0c)=0= 1 2 21 即若在C处的仰角最大，则C点到塔底O的距离为5 m. 10.已知f()是定义在R上的奇函数，且xeR,都有f(x)=∫(2-x),当-1≤x<0时，f(x)=log(-x), 则函数g(x)=(x)+2在区间(-1,8)内所有零点之和为一 【答案】9 【解析】：奇函数y=fx),对于xeR都有∫(x)=f(2-x), ∴f(x)=∫(2-x)=-f(x-2),则f(2+x)=-∫(x),即f(4+x)=f(x), 第3页共12页 则函数f(x)是周期为4的周期函数.且关于直线x=1+2k(k∈Z)对称， 作出函数y=f(x)与y=-2的图象知共有5个交点，其横坐标从小到大依次为为，2，，4，， 所以0g,(←)=-2，=-}，+=3，+5=7， 4’ 2 2 则斯+名3++x+=一 +20-召，故在(-1)内所有的零点之2 4 4 11.已知函数f(x)= 3x,0≤x≤1， Inx,x>1, 若存在实数x,满足0≤，<，2，且∫(：)=∫(，)，则，-6x的取值范 围为 【答案】[2-2h2,e3-6] 【解析】结合解析式可知当0≤x≤1时，f(x)∈[0,3引：当x>1时，f(x)∈(0，+). 因为f(x)=f(x),所以3x=h 令lnr=3,得x=e3,则1<x≤e3, 故-6x=2-2lny3. 令80=1-2h1<1se以.则g0=1-子=号， 令g()<0得1<x<2:令g(t)>0得2<x≤e3, 所以函数g)=1-2n1在(1,2)上严格递减，在(2，e3]上严格递增， 所以g0=8(2)=2-2h2,当1→1时，g(0→1， 因为g(e)=e3-6>l,所以g0r=e3-6. 所以-6x的取值范围为[2-2n2,e3-6]. 12.定义：对于函数∫(x)和数列{x},若(x1-x)'(x)+∫(x)=0,则称数列{x}具有“∫(x)函数性质” 已知二次函数∫(x)图象的最低点为(0，-4)，且∫(x+1)=∫(x)+2x+1,若数列{x}具有“f(x)函数性 质，且首项为1的数列a,}满足a,=h(区+2习小-a(化-2小，记a,}的前n项和为5，则数列行-》 的最小值为」 第4页共12页 【答案】型 【解析】由二次函数最低点为(0，-4)可知：∫(x)=a2-4(a>0), 又(x+1)-f(x)=a(x+1)-4-amr2+4=a(2x+1)=2x+1,所以a=1, 则/创=r-4.由题意得a,=h(x+2引-h(k,-2)=h+2 n-2 又由(x1-xn)∫'(x)+f(xn)=0,得(x1-xn)2xn+x-4=0, 因为x。-2>0,所以xn≠0， 装，又x+2=2-2=区-2， 即=--4+4 2x 2x。 所g克号怎+以，则+？加2 xa*1-2(xn-2 xn1-2 h-2,即a1=2a, 故{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an=2,Sn=2”-1. 令c=s爱--8-5小2-.则c-c=m-别2- 故当n≤8时，c+1<Cn,当n≥9时，Ca1>Cn, 故(c,=6=- 2 二、单选题 13.某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，抽得10个班的比赛得分如下： 91,89,90,92,94,87,93,96,91,85,则这组数据的75%分位数为( 7 A.93 B.93.5 C.94 D.94.5 【答案】A 【解析】将比赛得分从小到大重新排列：85,87,89,90,91,91,92,93,94,96， 因为75%×10=7.5，所以这组数据的75%分位数是第8个数93，故选：A. 14.已知两条不同的直线m,n,两个不同的平面a,B,则() A.若aIp,mCa,ncB,则mlm B.若mCa,nCB,m⊥n,则a⊥B C.若m⊥a,n⊥m,则n∥a D.若c∩B=n,mCa,mlp,则mllm 第5页共12页 【答案】D 【解析】对于A,若ap,mCa,nCB,则m,n可能平行，也可能异面，A错误： 对于B,若aca,bcB,a⊥b,则可能有a⊥P,也可能有aIIB,也可能平面a,B相交，B错误； 对于C,若m⊥a,n⊥m,则有可能是nlWa,也可能nCa,C错误， 对于D,根据线面平行的性质定理可知若a∩B=n,mCa,mlp,则mm,正确， 故选：D 15.已知函数f(x)=√3sin2x+cos2x,若存在4,12∈[-π，2π，使得f()∫(2)=4，则，-42的最大值为 A月 B.π C. D.2π 【答案】D 【解折】由/)=5如2x+cos2x=2s2x+君引 因f6)f,)=4,必有f()=2,f)=2或者f6)=-2,f)=-2, 由2x+培=2版+受2x+培2版-受分别得到=+名=-骨 6 得1-4的最大值为2π，故选：D, 16.在平面直角坐标系中，定义d(A,B)=mx{:-xb以，-为两点A(:,),B(x,乃)的“切比雪夫距 离"，并对于点P与直线1上任意一点Q,称d(PQ)的最小值为点P与直线1间的“切比雪夫距离"，记作 d(P,),给定下列四个命题： ①若点PB,,直线1：2x-y-1=0,则dP,)=行 ②若点F(-c,0),F(c,0),则满足d(P,F)-d(P,F)=2a(2c>2a>0)的点M的轨迹与直线y=k(k为 常数)有且仅有2个公共点： 下列说法正确的是( A.命题①成立，命题②不成立 B.命题①不成立，命题②成立 C.命题①②都成立 D.命题①②都不成立 【答案】D 【解析】对于①，设点9是直线y=2x-1上一点，且(x,2x-1), 可得d(P,Q)=mrx-3引，2-2x}, 第6页共12页 5 由x-32-2,解得-1≤x≤亏，即有d2,Qx-3, 当x=时，取得最小值手： 由x-32-2x,解得x>或r<-1, 即有(P,Q)2x-2引， 2的范周是g+ou(传+n-信+n 无最值， 综上可得，P,两点的切比雪夫距离”的最小值为行， 故①正确： 对于②，定点F(-c,0)、F(c,0),动点P(xy) 满足I(P,)-d(P,F)2a(2c>2a>0), 可得P不y轴上，P在线段FF间成立， 可得x+c-(c-x)=2a,解得x=a, 由对称性可得x=一a也成立，即有两点P满足条件： 若P在第一象限内，满足I(P,F)-d(P,F)2a, 即为r+c-y=2a,为射线， 由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线， 则点P的轨迹与直线y=k(伏为常数)有且仅有2个公共点，故②正确： 综上可得，故选：C. 三、解答题 17.如图，在直三棱柱ABC-4BC中，所有棱长均为4，D是AB的中点. B (1)求证：BC/1平面A,DC: (2)求异面直线A,D与BC所成角的正弦值. 【答案】(1)见解析；(2) 4 【解析】(1)连接AC交AC于O, 在直三棱柱ABC-A,BC中，所有棱长均为4， 因此四边形AACC是正方形，所以O是AC,的中点，而D是AB的中点， 第7页共12页 因此有OD//BC,而ODc平面ADC,BC,文平面A,DC, 所以BCI平面A,DC: (2)由(1)可知：OD/1BC, 因此异面直线AD与BC所成角为∠4，DO(或其补角)， 因为44CC是正方形，所以40=4C=F+=25, 在直三棱柱ABC-ABC中，所有棱长均为4， 因此因边形BaCc是正方形，因此有0D:8C=分+年=25， 在直三棱柱ABC-A,B,C,中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线， 因此有AD=√44+AD=， 由余弦定理可知：cos∠AD0= 8+20-8-0 2×2W2×254 图先40-小c40:g9 18.已知函数f付=-3 是定义在R上的奇函数(a>0,b>0). 3+b (1)求f(x)的解析式： (2)求当x∈[0，时，函数g(x)=f(x)(3+1)+9"-1的值域. 【答案】D=0-2,2)【2到 1+3* 【解行】0由插数网=号 一是R上的奇函数， 则有0=子=0，解得0=3， 即/=3-3 3"+b eR,f八-=33“=3-3.3-3m 3+663*+13+6-, 即xeR,b3+1=3+b,解得b=1,经验证得a=3,b=1时，(x)是奇函数， 所以j)=30-3】 1+3* 第8页共12页 （2)由（1)知，8)=f0-(6+0+9-1=3-3+9-1=(3y2-3x3+2=6r--寻， 当xe[0,时，1≤3≤3， 因此当”=号时，g6=-片当x=1时，8e=2, 2 所以所求值城为[-子2。 19.某大学数理教学部为提高学生的身体素质，并加强同学间的交流，特组织以“让心灵沐浴阳光，让快 乐充满胸膛”为主题的趣味运动比赛，其中A、B两名学生进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累 计得分制，规则如下：每场比赛不存在平局，获胜者得1分，失败者不得分，其中累计得分领先对方2 2 分即可藏得最终胜利，但本次比赛最多进行6场.假设每场比赛中A同学获胜的概率均为号，且各场比 赛的结朵相互独立. (1)求趣味比赛进行到第2场时比赛就结束的概率； (2)此次趣味比赛中记比赛停止时己比赛的场数为X,求X的分布列及数学期望. 【答案】号2贸 【解析】《)由愿可知，4同学连鞋2场或连败2场，则共概率P一号+号多 (2)由题可知，X的取值可能是2,4,6， 由D知，Px=2)=号 当X=4时，前2场打平，后两场A连胜或连败， PX=6=l-PX=2)-Px=4=6 1 2 4 6 所以分布列为： 5 20 16 9 81 81 所以数学拥塑E引刈=2号+ 20 +6× 16_266 81 8181 已知椭圆C号+少=1，点、R分别为椭圆的左、右焦点 20. (I)若椭圆上点P满足PF⊥FF,求PF的值： 第9页共12页 (2)点A为椭圆的右顶点，定点T(亿，0)在x轴上，若点S为椭圆上一动点，当ST取得最小值时点s恰与 点A重合，求实数t的取值范围： (3)已知m为常数，过点F且法向量为(1，-m)的直线/交椭圆于M、N两点，若椭圆C上存在点R满足 O丽=O+ON(元，HeR),求知的最大值. 【俗案】09：2,9)42 2 4 【解析】(1)因为PF⊥FF,所以设点P(L,), 则时，所以盟p号 所以P=2a-PF=2w5-5=32, 2 2)设sa小则罗+r=1,me[反同， 则7=(m-+㎡2=m2-2m+12+1-m=m 22 -2m+2+1, 所以57=m-2-r+1,me[-巨，]， A 要m=5时ST取最小值，则必有21≥√反， 所当， (3)设过点F且法向量为1，-m)的直线1的方程为x-1-=0,M(:,),N(x,y), [x-1-my=0 )+y2=1,消去x得(m2+2)y2+2my-1=0， 联立 -2m -1 则为+乃2 m2+2 m2+21 m2*2+24 则+6=m0y+⅓)+2=二2m m2+2' 5=m+m0y+2)+1=二m2 ,-2m2 =m2+2m2+ +1=-2m2+2 m2+2 又O原=OM+uO=(x+4x,y+), 又点R在椭题c上，则2西+++广=1 所以x+2a4x出+口x+2(产y+2y2+4)=2, 第10页共12页