指数、对数、幂函数讲义-2025届高三数学一轮复习

指数、对数、幂函数 【答题技巧】 1.指数型代数式大小的比较方法 （1）化同底，化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底. （2）取中间值法，不同底、不同指数时比较大小，先与中间值0或1比较大小，再间接地得出大小关系. （3）图解法，根据指数式的特征，在同一坐标系中作出它们相应的函数图象，在图象上找出相应的位置，进行比较. （4）比较法，有作差比较法与作商比较法两种. 2.对数函数值大小比较的方法 （1）单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底. （2）中间量过渡法，即寻找中间数连接要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”. （3）图象法，根据图象观察得出大小关系. 3.解决指数函数与对数函数综合问题的技巧 （l）解决指数函数与对数函数的综合问题时，一般运用指数、对数函数的图象与性质等知识，并结合研究函数的性质的思想方法来分析解决问题. （2）解决与指数函数、对数型函数有关的问题时，要注意数形结合思想的应用. （3）在给定条件下求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式的知识及函数单调性在这类问题中的应用. 【练习应用】 1.已知幂函数为偶函数，则( ) A.1 B.-1 C.3 D.-3 2.函数的部分图象大致是( ) A. B. C. D. 3.已知，，，则的最小值是( ) A.3 B. C. D.9 4.若幂函数的图象过点，且，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.已知函数过点，若，的反函数为，则的值域为( ) A. B. C. D. 6.已知函数，则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 7.函数是定义在上的单调函数，且对定义域内的任意x，均有，则( ) A. B. C. D. 8.函数（，，），若，则a的值为( ) A.4 B.4或 C.2或 D.2 9.（多选）已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则( ) A. B. C.是偶函数 D.在上单调递增 10.（多选）已知函数，则下列说法正确的是( ) A.函数的图象关于点对称 B. C.函数在定义域上单调递增 D.若实数a，b满足，则 11.已知，，则__________.（用m，n表示） 12.已知函数是幂函数，则的值为_____. 13.已知函数，则不等式的解集是__________. 14.已知函数若对任意的，均存在使得，则实数a的取值范围是___________. 15.已知函数. （1）若，求的值域； （2）若在区间上的最小值为1，求实数m的值. 答案以及解析 1.答案：D 解析：因为为幂函数，所以，解得或，又因为是偶函数，所以.故选D. 2.答案：B 解析：因为函数的定义域为R，，所以是偶函数，排除A，D.令，得，根据只有一个解，排除C.故选B. 3.答案：A 解析：因为，，，所以，即，则，当且仅当且，即，时取等号，则的最小值是3. 4.答案：B 解析：由已知条件可得，解得，则，所以函数在R上为增函数.由可得，解得.故选B. 5.答案：D 解析：函数过点，则，解得，所以.由的反函数为，得，由，得的定义域为，当时，有，则的值域为. 6.答案：A 解析：因为与在R上均为减函数，所以在R上为减函数.因为，所以为奇函数，所以等价于，所以，解得.所以不等式的解集为. 7.答案：B 解析：设，则，而是定义在上的单调函数，故t为常数，所以且，故，设，因为，均为上的增函数，所以为上的增函数.因为，故的解为，所以，故，故选B. 8.答案：C 解析：由题意得，， 令，则，则函数，，即，.当时，在上单调递增，由可得，解得；当时，在上单调递减，由可得，解得.故a的值为2或，故选C. 9.答案：AC 解析：函数的图象过原点，则，即，故A正确；函数的图象无限接近直线，但又不与该直线相交，故，所以，即，故B错误；函数的定义域为R，，故是偶函数，故C正确；当时，，所以在上单调递减，故D错误. 10.答案：ABD 解析：，故，即的图象关于点对称，故，故A，B正确；的定义域为R，由于单调递减，且，而单调递增，所以为减函数，C错误；由，及为减函数，得，故，D正确. 11.答案： 解析：由，得，又， 所以. 12.答案：8 解析：依题意得，，，则，. 故答案为：8. 13.答案： 解析：，即.由解得或画出，的图象如图所示.由图可知，不等式的解集是. 14.答案： 解析：当时，，的值域为.又对任意的，均存在，使得，所以当时，的值域包含.当时，，解得，则.当时，，解得，则.综上，实数a的取值范围为. 15.答案：（1） （2） 解析：（1）当时，. 令，则且， 所以， 所以的值域为. （2）令，则. 又，所以， 令，. 当时，在上单调递增，最小值为，不合题意，舍去； 当时，在上单调递减，最小值为，令，解得，不合题意，舍去； 当时，的最小值为，令，得，所以. 综上，. 学科网（北京）股份有限公司 $$