专题02 对数重难点题型专训（6大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019必修第一册）

专题01 重难点题型专训（大题型+20道拓展培优） 题型一 对数的概念判断与求值 题型二 指数式与对数式的互化 题型三 对数的运算 题型四 对数的运算性质的应用 题型五 运用换底公式化简计算 题型六 运用换底公式证明恒等式 知识点一：对数概念 1、对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数． 注：对数式中各字母的取值范围是：且，，． 2、对数（ 且）具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即； （2）1的对数为0，即； （3）底的对数等于1，即． 3、两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为． 4、对数式与指数式的关系 由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 知识点二：对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 注：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立． （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： ， ， ． 知识点三：对数公式 1、对数恒等式： 2、换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有： （1） 令，则有，，即，即，即：． （2），令，则有，则有 即，即，即 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：． 【经典例题一 对数的概念判断与求值】 【例1】（23-24高一·江苏·假期作业）方程的根为（    ） A． B． C．或 D．或 1．（21-22高一上·江苏常州·期末）已知，，那么2x+y的值为（    ） A．8 B．3 C．1 D．log23 2．（22-23高一上·上海浦东新·期中）若，则 . 3．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题二 指数式与对数式的互化】 【例2】（22-23高三上·天津河西·期末）已知，若，，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 1．（21-22高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C．2 D．3 2．（21-22高一下·江西赣州·期中）的值 . 3．（24-25高一上·全国·课前预习）把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：，，，. 【经典例题三 对数的运算】 【例3】（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知函数，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 1．（23-24高一下·福建南平·期中）设，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）计算： ． 3．（23-24高一上·江苏南通·期中）求下列各式的值： (1)； (2). 【经典例题四 对数的运算性质的应用】 【例4】（24-25高一·上海·课堂例题）若方程的两根为、，则（    ） A． B． C．35 D． 1．（23-24高一上·重庆·期末）已知实数，且，则以下说法正确的是（    ） A． B．的值为4或8 C． D．的值为 2．（24-25高三上·江苏连云港·开学考试） . 3．（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)求的值. 【经典例题五 运用换底公式化简计算】 【例5】（23-24高一下·广东河源·期中）已知，则正整数的最小值为（    ）（参考数据：取） A．8 B．9 C．10 D．11 1．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若实数，满足，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏常州·期中） . 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知，，求（用a，b表示）． 【经典例题六 运用换底公式证明恒等式】 【例6】（19-20高一上·全国·课后作业）若实数、、满足，则下列式子正确的是 A． B． C． D． 1．（18-19高一·全国·课后作业）下列计算恒成立的是 A． B． C． D． 2.（22-23高一·全国·随堂练习）已知，则：2/x+1/y= ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）设a、b是两个不等于1的正数，求证：. 1．（2023高一·全国·专题练习）在中，实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 2．（21-22高一上·全国·课后作业）有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D．3 4．（23-24高一上·北京海淀·期末）科赫曲线是几何中最简单的分形．科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线……在分形中，一个图形通常由N个与它的上一级图形相似，且相似比为r的部分组成．若，则称D为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形维数是（    ） A． B． C．1 D． 5．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 6．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（23-24高一上·江苏连云港·期中）在下列选项中，不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 8．（24-25高一上·全国·课后作业）若实数a，b满足，则下列关系正确的有（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高一上·江苏镇江·期中）下列各式正确的是（   ） A．设，则 B．已知，则 C．若 D．，则 11．（24-25高一上·全国·课前预习）对数的定义：如果（且），那么b叫作以a为底，（正）数N的对数，记作 ，这里，a叫作对数的 ，N叫作对数的 ．    12．（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： （1），指数式为 ； （2），指数式为 ； （3），对数式为 ； （4），对数式为 ． 13．（22-23高一下·浙江杭州·期中）通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，，则 14．（24-25高三上·广东·开学考试）若，则 ． 15．（24-25高一上·上海·随堂练习） ． 16．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（23-24高一·上海·课堂例题）把下列指数式写成对数式： (1)； (2). 18．（24-25高一上·全国·课堂例题）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 19．（24-25高一·上海·课堂例题）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．（23-24高一上·江苏南京·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 重难点题型专训（大题型+20道拓展培优） 题型一 对数的概念判断与求值 题型二 指数式与对数式的互化 题型三 对数的运算 题型四 对数的运算性质的应用 题型五 运用换底公式化简计算 题型六 运用换底公式证明恒等式 知识点一：对数概念 1、对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数． 注：对数式中各字母的取值范围是：且，，． 2、对数（ 且）具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即； （2）1的对数为0，即； （3）底的对数等于1，即． 3、两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为． 4、对数式与指数式的关系 由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 知识点二：对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 注：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立． （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： ， ， ． 知识点三：对数公式 1、对数恒等式： 2、换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有： （1） 令，则有，，即，即，即：． （2），令，则有，则有 即，即，即 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：． 【经典例题一 对数的概念判断与求值】 【例1】（23-24高一·江苏·假期作业）方程的根为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据对数把原方程转化为一元二次方程，注意对数的真数大于0. 【详解】由，得， 即，解得， 所以方程的根为. 故选：B 1．（21-22高一上·江苏常州·期末）已知，，那么2x+y的值为（    ） A．8 B．3 C．1 D．log23 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用指数运算求解作答. 【详解】由，得，而，因此， 所以 故选：B 2．（22-23高一上·上海浦东新·期中）若，则 . 【答案】 【分析】由对数的概念运算求解即可. 【详解】由对数运算的定义，有 ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 3．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)27 (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）将对数化为指数，结合指数运算求解； （3）（4）根据对数的定义逐步去对数，进而可得结果. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为，可得， 又因为且，得． （3）因为，得， 则，所以． （4）因为，可得， 则，所以． 【经典例题二 指数式与对数式的互化】 【例2】（22-23高三上·天津河西·期末）已知，若，，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】设并由条件求出的范围，代入化简后求出的值，得到与的关系式代入化简后列出方程，求出的值，进而求解. 【详解】设，由可得：，代入，可得：，即，解得：或（舍去）. 所以，即，又因为，所以，则， 解得：，，所以， 故选：. 1．（21-22高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题意整理可得，分析可得，运算求解即可. 【详解】设，则， ∵，即，整理得， 注意到，则， 解得，即. 故选：D. 【点睛】本题考查指数式与对数式的互化、指数的运算. 2．（21-22高一下·江西赣州·期中）的值 . 【答案】12 【分析】根据对数恒等式计算即可. 【详解】由对数恒等式得， 故答案为：12. 3．（24-25高一上·全国·课前预习）把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：，，，. 【答案】答案见解析 【分析】利用对数定义，进行指对互化即可. 【详解】；；；. 【经典例题三 对数的运算】 【例3】（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知函数，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据指数幂运算法则，先求出为一个定值，从而可得结果. 【详解】， 所以 故选：C. 1．（23-24高一下·福建南平·期中）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用可比较，利用，可比较. 【详解】由题意可得, 又所以, 又， 所以. 故选：D. 2．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）计算： ． 【答案】11 【分析】根据指数与对数的运算性质，直接求即可 【详解】. 故答案为： 3．（23-24高一上·江苏南通·期中）求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）进行分数指数幂的运算即可; （2）进行对数的运算即可. 【详解】（1）原式； （2）原式 【经典例题四 对数的运算性质的应用】 【例4】（24-25高一·上海·课堂例题）若方程的两根为、，则（    ） A． B． C．35 D． 【答案】D 【分析】运用一元二次方程根的求法，结合对数性质可解. 【详解】，分解因式得到， 则，则. 解得或，所以. 故选：D. 1．（23-24高一上·重庆·期末）已知实数，且，则以下说法正确的是（    ） A． B．的值为4或8 C． D．的值为 【答案】B 【分析】由，且可得或，后验证各选项即可得答案. 【详解】因，则，又， 则或. 则或，结合，得或. A选项，当时，；当时，，故A错误； B选项，当时，；当时，，故B正确； C选项，当时，；当时，，故C错误； D选项，当时，；当时，，故D错误. 故选：B 2．（24-25高三上·江苏连云港·开学考试） . 【答案】/0.5 【分析】根据，，再根据对数的运算即可得出答案. 【详解】因为， ， 所以. 故答案为：. 3．（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)求的值. 【答案】(1) (2)偶函数，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用换元法或拼凑法求解解析式即得； （2）利用函数奇偶性的定义分析判断即得； （3）利用（2）的结论，得出，简化计算即可. 【详解】（1）（方法一）令，得， 则， 所以. （方法二）因为， 所以. （2）函数的定义域为关于原点对称， 且 故，即为偶函数. （3）因， 则由（2）可得，， 故. 【经典例题五 运用换底公式化简计算】 【例5】（23-24高一下·广东河源·期中）已知，则正整数的最小值为（    ）（参考数据：取） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】先对两边取对数得到，再利用换底公式将不等式右边对数用来表示即可求解. 【详解】由，则， 因为， 即，又，所以的最小值为8. 故选：A. 1．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若实数，满足，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把指数式转化为对数式，利用对数的运算法则进行计算. 【详解】因为，所以，， 由换底公式得：，. 所以. 故选：A 2．（23-24高一上·江苏常州·期中） . 【答案】 【分析】根据对数的运算性质和换底公式求解即可 【详解】 . 故答案为：3 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知，，求（用a，b表示）． 【答案】 【分析】根据对数的换底公式及运算性质计算即可. 【详解】因为，所以． 所以 ． 【经典例题六 运用换底公式证明恒等式】 【例6】（19-20高一上·全国·课后作业）若实数、、满足，则下列式子正确的是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数式化对数式，然后利用换底公式得出，，，利用对数的运算性质和可得出成立. 【详解】由已知，得 ，得 ， ，，所以，，， 而，则， 所以，即 . 故选A. 【点睛】本题考查对数式的运算，同时也考查了指数式与对数式的互化以及换底公式的应用，解题时要需要注意各真数之间的关系，考查计算能力，属于中等题. 1．（18-19高一·全国·课后作业）下列计算恒成立的是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算性质一一验证选项即可得正确答案. 【详解】因为，所以A不对； 因为，所以B不对； 因为，所以C不对； 因为，D正确. 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题. 2.（22-23高一·全国·随堂练习）已知，则：2/x+1/y= ． 【答案】1/z 【分析】根据对数的定义和运算性质分析证明. 【详解】设，可知且， 则， 可得， 所以， 即. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）设a、b是两个不等于1的正数，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用换底公式转化、化简即得证. 【详解】因a、b是两个不等于1的正数，则， 即. 1．（2023高一·全国·专题练习）在中，实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】由对数的定义，真数大于，底数大于且不等于，得到关于的不等式组，求解不等式即可. 【详解】由对数的定义可知， 解得，且， 故选：B． 2．（21-22高一上·全国·课后作业）有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据对数的相关概念和性质，一一判断每个选项，可得答案. 【详解】根据常用对数以及自然对数的概念可知①③正确，根据对数的性质可知④正确， 只有当且时，指数式才可以化成对数式，②错误， 故选：C 3．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的定义求出的解析式，再代入求出函数值即得. 【详解】由函数为偶函数，得，则， 由函数为奇函数，得， 因此，所以. 故选：A 【点睛】关键点睛：利用奇偶函数定义建议关于的方程组，借助方程思想求出函数解析式是解决本题的关键. 4．（23-24高一上·北京海淀·期末）科赫曲线是几何中最简单的分形．科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线……在分形中，一个图形通常由N个与它的上一级图形相似，且相似比为r的部分组成．若，则称D为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形维数是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据题意得出曲线是由把全体缩小的4个相似图形构成的，再根据题设条件即可得出结果. 【详解】由题意曲线是由把全体缩小的4个相似图形构成的， 因为，即，则， 所以分形维数是. 故选：D. 5．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】把指数式化为对数式后，利用对数的运算性质进行计算即可. 【详解】由，可得， 所以 故选：B． 6．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】对于ABC：根据对数的定义结合指数幂运算求解；对于D：举反例即可. 【详解】对于选项A：若，所有，故A正确； 对于选项B：若，则， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C错误； 对于选项D：例如，则，可得， 符合题意，但，故D错误； 故选：AB. 7．（23-24高一上·江苏连云港·期中）在下列选项中，不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据指数幂的运算性质，及指数式与对数式的互化进行计算即可. 【详解】，故A正确； ，故B错误； 若，则，故C错误； 若，则，故D错误. 故选：BCD. 8．（24-25高一上·全国·课后作业）若实数a，b满足，则下列关系正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】将指数化为对数可得，，利用换底公式结合对数运算性质逐项分析判断. 【详解】因为，则，， 可得. 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项CD：，故C，D不正确． 故选：AB. 9．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据可推出，依此并结合对数运算，一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由，得，且， 即，而此时不总是成立，则C错误； 由于，即，结合以上分析可知A错误； 由于，即为，故B正确； 又，D正确， 故选：BD 10．（22-23高一上·江苏镇江·期中）下列各式正确的是（   ） A．设，则 B．已知，则 C．若 D．，则 【答案】BD 【分析】利用根式与分数指数幂的运算计算可判断A；由分数指数的运算性质计算可判断B；利用完全平方公式计算可判断C；利用对数的换底公式与对数运算公式计算可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由，两边平方得，两边再平方可得，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 11．（24-25高一上·全国·课前预习）对数的定义：如果（且），那么b叫作以a为底，（正）数N的对数，记作 ，这里，a叫作对数的 ，N叫作对数的 ．    【答案】 底数 真数 【分析】略 【详解】略 12．（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： （1），指数式为 ； （2），指数式为 ； （3），对数式为 ； （4），对数式为 ． 【答案】 ； ； ； . 【分析】运用指对互化规则，“底不变，其他换”即可解题. 【详解】运用指对互化规则，“底不变，其他换”得到. （1），指数式为； （2），指数式为； （3），对数式为； （4），对数式为. 故答案为：；；；. 13．（22-23高一下·浙江杭州·期中）通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，，则 【答案】1000 【分析】首先根据题意得到，再作差即可得到答案. 【详解】由题知：. 故答案为：1000 14．（24-25高三上·广东·开学考试）若，则 ． 【答案】/0.5 【分析】根据指数幂的运算化简，再由对数的运算性质求解. 【详解】因为， 所以． 故答案为：． 15．（24-25高一上·上海·随堂练习） ． 【答案】 【分析】利用对数换底公式和对数运算性质化简计算即得. 【详解】． 故答案为：. 16．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2)0 (3)5 (4)441 【分析】（1）（2）根据对数的定义运算求解即可； （3）（4）根据对数恒等式结合指数运算求解即可. 【详解】（1）由题意可得：. （2）由题意可得：. （3）由题意可得：. （4）由题意可得：. 17．（23-24高一·上海·课堂例题）把下列指数式写成对数式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】利用指数式与对数式的互化即可得解. 【详解】（1）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. （2）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. 18．（24-25高一上·全国·课堂例题）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据对数的运算计算即可. 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 19．（24-25高一·上海·课堂例题）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)1 (4) 【分析】根据对数以及指数运算法则计算即可得到结果； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 20．（23-24高一上·江苏南京·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）9；（2）1 【分析】（1）根据对数的运算性质和分数指数幂的运算性质求解； （2）由求出，然后代入中化简计算即可. 【详解】（1） ； （2）∵， ∴，， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $$