专题01 指数重难点题型专训（4大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019必修第一册）

专题01 指数重难点题型专训（4大题型+20道拓展培优） 题型一 根式的化简求值 题型二 指数幂的运算 题型三 分数指数幂与根式的互化 题型四 指数幂的化简、求值 知识点一：整数指数幂的概念及运算性质 1、整数指数幂的概念 2、运算法则 （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点二：根式的概念和运算法则 1、次方根的定义： 若，则称为的次方根． 为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为． 为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为． 2、两个等式 （1）当且时，； （2） 注：①要注意上述等式在形式上的联系与区别； ②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误． 知识点三：有理数指数幂的运算 1、有理数指数幂的运算性质 （1） （2） （3） 当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用． 注：（1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； （2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换．如； （3）幂指数不能随便约分．如． 2、指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算． 【经典例题一 根式的化简求值】 【例1】（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）若，则的值为（　　） A．－1 B．0 C．1 D．2 1．（23-24高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022高一下·江苏南京·竞赛），求 ． 3．（2023高一·全国·课后作业）化简. 【经典例题二 指数幂的运算】 【例2】（23-24高一上·江苏泰州·期中）已知，则等于（    ） A．6 B．12 C．14 D．16 1．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知地球的质量约为吨，木星的质量约是地球的318倍，则木星的质量为 吨．（用科学记数法表示） 3．（24-25高一上·上海·课前预习）当指数幂从正整数拓展到实数时，对底数的要求有变化吗？ 【经典例题三 分数指数幂与根式的互化】 【例3】（23-24高一上·四川宜宾·期中）将写成根式，正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·上海·期中）已知，将表示成有理指数幂，其结果是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海金山·期中）将表示为有理指数幂的形式，可以表示为 . 3．（2023高一·上海·专题练习）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4). 【经典例题四 指数幂的化简、求值】 【例4】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·江苏镇江·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏盐城·期末）计算 . 3．（2022高一上·全国·专题练习）已知，计算：. 1．（2023高一·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D．当为奇数时，；当为偶数时， 2．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）下列运算结果中，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（17-18高一·全国·课后作业） (　　) A． B．1－ C．3－3 D．3－3 4．（19-20高一上·全国·课后作业）已知，则的值是 A． B． C． D． 5．（17-18高一·全国·课后作业）化简(a2－2＋a－2)÷(a2－a－2)的结果为(　　) A．1 B．－1 C． D． 6．（22-23高一上·云南曲靖·阶段练习）若，则下列四个式子中有意义的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）下列选项中正确的有（    ） A． B．若，则 C． D． 8．（23-24高一·江苏·假期作业）下列结论中正确的有（　　） A．＝ B．＝ C．当时， D．＝ 9．（2023高一·全国·专题练习）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 10．（21-22高一上·江苏南京·期中）已知实数a满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·全国·课后作业）计算下列各式． （1）＝ ； （2）＝ ； （3）＝ . 12．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知则， . 13．（23-24高一上·上海闵行·期末）用有理数指数幂的形式表示 .（其中） 14．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知，则 ． 15．（19-20高一上·吉林长春·期中）设函数，则 . 16．（19-20高一·上海·课后作业）化简：（1）；          （2）． 17．（23-24高一·江苏·假期作业）计算下列各式． (1)； (2). 18．（22-23高一上·广东广州·期中）计算或化简： (1)； (2). 19．（2023高一·全国·专题练习）（1）计算：； （2）已知，求的值. 20．（20-21高一上·全国·课后作业）（1）若，求的值； （2）已知，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 指数重难点题型专训（4大题型+20道拓展培优） 题型一 根式的化简求值 题型二 指数幂的运算 题型三 分数指数幂与根式的互化 题型四 指数幂的化简、求值 知识点一：整数指数幂的概念及运算性质 1、整数指数幂的概念 2、运算法则 （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点二：根式的概念和运算法则 1、次方根的定义： 若，则称为的次方根． 为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为． 为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为． 2、两个等式 （1）当且时，； （2） 注：①要注意上述等式在形式上的联系与区别； ②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误． 知识点三：有理数指数幂的运算 1、有理数指数幂的运算性质 （1） （2） （3） 当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用． 注：（1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； （2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换．如； （3）幂指数不能随便约分．如． 2、指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算． 【经典例题一 根式的化简求值】 【例1】（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）若，则的值为（　　） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用进行求解. 【详解】因为，所以. 故选：C 1．（23-24高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根式的运算性质即可判断出正误. 【详解】，，故A错误； ，故B错误； ∵，∴当为奇数时，；当为偶数时，，故C错误； 成立，故D正确. 故选：D. 2．（2022高一下·江苏南京·竞赛），求 ． 【答案】 【分析】通过根式的化简与运算即可得出结论. 【详解】法一：因为，，所以. 法二：. 故答案为： 3．（2023高一·全国·课后作业）化简. 【答案】 【分析】根据给定的式子，有理化分母并求和作答. 【详解】， 原式. 【经典例题二 指数幂的运算】 【例2】（23-24高一上·江苏泰州·期中）已知，则等于（    ） A．6 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】对两边同时平方，即可得出答案. 【详解】由可得：， 则. 故选：C. 1．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂运算法则直接求解即可. 【详解】，，. 故选：D. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知地球的质量约为吨，木星的质量约是地球的318倍，则木星的质量为 吨．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】结合题意求解并用科学计数法求解即可. 【详解】 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·课前预习）当指数幂从正整数拓展到实数时，对底数的要求有变化吗？ 【答案】答案见解析 【分析】根据指数幂的性质分析判断. 【详解】有变化．当指数幂为正整数时，底数可以为任意实数； 当指数幂拓展到实数时，底数为正数． 【经典例题三 分数指数幂与根式的互化】 【例3】（23-24高一上·四川宜宾·期中）将写成根式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分数指数幂与根式的互化，即可解题. 【详解】. 故选：D 1．（23-24高一上·上海·期中）已知，将表示成有理指数幂，其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将根式化为分数指数幂形式，再进行指数运算. 【详解】由，则， 故选：C. 2．（23-24高一上·上海金山·期中）将表示为有理指数幂的形式，可以表示为 . 【答案】 【分析】根式与分数指数幂的互化得到答案. 【详解】 故答案为： 3．（2023高一·上海·专题练习）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)1 (2). (3) (4) 【分析】根据指数幂公式化简即可. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. 【经典例题四 指数幂的化简、求值】 【例4】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据式子结构，对所求式子平方后即可求解. 【详解】由，可得. 故选：B. 1．（23-24高一上·江苏镇江·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两边平方得代入所求的式子可得答案. 【详解】将两边平方，得，即， 所以. 故选：A. 2．（23-24高一上·江苏盐城·期末）计算 . 【答案】/ 【分析】根据指数幂的运算法则，直接计算即可得出结果. 【详解】 . 故答案为： 3．（2022高一上·全国·专题练习）已知，计算：. 【答案】4 【分析】对两边平方，求出，再对此式两边平方，化简可得，从而代入可求结果. 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以，即， 所以，所以. 1．（2023高一·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D．当为奇数时，；当为偶数时， 【答案】D 【分析】当为奇数时，；当为偶数时，，即可求解. 【详解】当为奇数时，； 当为偶数时，. 故选：D 2．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）下列运算结果中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算性质和分数的运算性质逐个分析判断. 【详解】对于A，，所以A错误， 对于B，，所以B错误， 对于C，，所以C错误， 对于D，，所以D正确， 故选：D 3．（17-18高一·全国·课后作业） (　　) A． B．1－ C．3－3 D．3－3 【答案】A 【分析】由题意结合根式的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由于， ，， 故原式. 本题选择A选项. 【点睛】本题主要考查分数指数幂的运算法则，属于基础题. 4．（19-20高一上·全国·课后作业）已知，则的值是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意结合根式的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意知， ， 由于，故，则原式. 故选B. 【点睛】本题主要考查根式的运算法则及其应用，属于中等题. 5．（17-18高一·全国·课后作业）化简(a2－2＋a－2)÷(a2－a－2)的结果为(　　) A．1 B．－1 C． D． 【答案】C 【分析】利用乘法公式与指数幂的运算性质计算. 【详解】 故选C. 【点睛】本题考查了乘法公式与指数幂的运算性质, 熟练掌握运算法则是解本题的关键 6．（22-23高一上·云南曲靖·阶段练习）若，则下列四个式子中有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据根式的意义逐一判断可得. 【详解】因为，所以为偶数，，所以有意义，A正确； 取，则，所以无意义，B错误； 因为的根指数为奇数，所以有意义，C正确； 若，则，所以无意义，D错误. 故选：AC 7．（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）下列选项中正确的有（    ） A． B．若，则 C． D． 【答案】BD 【分析】结合指数运算法则及其性质逐项判断即可得. 【详解】对A：当为偶数时，，故不一定成立，故A错误； 对B：，故，故B正确； 对C：显然不成立，如当时，左边为，右边为，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：BD. 8．（23-24高一·江苏·假期作业）下列结论中正确的有（　　） A．＝ B．＝ C．当时， D．＝ 【答案】CD 【分析】由根式、指数幂的定义和运算性质对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，＞0，而无意义，A错误； 对于B，左侧＝，右侧无意义，B错误； 对于C，当时，，C正确； 对于D，＝，故D正确. 故选：CD. 9．（2023高一·全国·专题练习）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】BC 【分析】根据指数幂和根式的的概念相互转化. 【详解】对于A，（），故A错误； 对于B，（），故B正确； 对于C，（），故C正确； 对于D，，而无意义，故D错误. 故选：BC 10．（21-22高一上·江苏南京·期中）已知实数a满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由结合完全平方公式分别求出各个选项式子的值，即可判断正误． 【详解】,，，故选项A正确; ，，故选项B错误; ,，故选项C正确; ,且 ，，，故选项D正确. 故选：ACD 11．（23-24高一上·全国·课后作业）计算下列各式． （1）＝ ； （2）＝ ； （3）＝ . 【答案】 【分析】（1）根据根式的运算性质直接求解即可； （2）根据根式的运算性质直接求解即可； （3）先化带分数为假分数、小数化分数，再根据根式的运算性质直接求解即可； 【详解】（1）. （2）. （3）. 故答案为：（1）；（2）；（3） 12．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知则， . 【答案】 【分析】对平方，进行求解. 【详解】， 又，所以. 故答案为： 13．（23-24高一上·上海闵行·期末）用有理数指数幂的形式表示 .（其中） 【答案】 【分析】先将根式化为分数指数幂，再根据指数幂的运算求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 14．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知，则 ． 【答案】/0.5 【分析】利用已知结合立方和公式可得出结果， 【详解】因为， ． 故答案为：0.5. 15．（19-20高一上·吉林长春·期中）设函数，则 . 【答案】 【分析】根据指数的运算律计算出的值，由此可计算出所求代数式的值. 【详解】，， ， 因此，. 故答案为. 【点睛】本题考查指数幂的化简计算，解题的关键在于观察代数式结构并计算出为定值，考查计算能力，属于中等题. 16．（19-20高一·上海·课后作业）化简：（1）；          （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由于，所以直接开方可得结果； （2）由于，所以直接开方化简即可 【详解】（1）原式 ． （2）原式=， ∵， ∴， 所以，原式＝． 【点睛】此题考查了二次根式的化简，属于中档题. 17．（23-24高一·江苏·假期作业）计算下列各式． (1)； (2). 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用指数的运算性质即可求解. （2）利用指数的运算性质即可求解. 【详解】（1）原式. （2）原式 . 18．（22-23高一上·广东广州·期中）计算或化简： (1)； (2). 【答案】(1)0 (2)-7 【分析】（1）根据n次根式的性质化简即可； （2）根据实数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 19．（2023高一·全国·专题练习）（1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由分数指数幂的运算求解即可； （2）利用，应用完全平方公式和立方和公式找到与及的关系，整体代入求解即可. 【详解】（1）原式= =； （2）由， 则， 则 则， 即. 20．（20-21高一上·全国·课后作业）（1）若，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用立方差公式将分解为，结合已知即可求得答案; （2）将化为，化简并结合，可求得答案. 【详解】（1）， 则． （2）， 且, ． 学科网（北京）股份有限公司 $$