精品解析：陕西省西安市经开第一中学2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试题

2023-2024学年陕西省西安市经开一中九年级（上）第二次月考数学试卷 一、选择题（共10小题，计30分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据：“只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，进行判断即可． 【详解】解：A、不是整式方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、当时，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2. 下列数学曲线中（不含x，y轴），既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形、轴对称图形，熟练掌握中心对称图形（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心）、轴对称图形（如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形）的定义是解答本题的关键．根据中心对称图形、轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 3. 如果，，那么下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．根据不等式的性质判断，即可解题． 【详解】解：A、由，得到：，故本选项不符合题意． B、由，得到：，故本选项不符合题意． C、由，得到：，故本选项不符合题意． D、由，得到，所以，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 能判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据平行四边形的判定方法一一判断即可得出答案． 【详解】解：A、若，，无法判定四边形为平行四边形，故此选项错误； B、，，无法判定四边形为平行四边形，故此选项错误； C、，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项正确； D、，，此条件下四边形还可能是等腰梯形，故此选项错误． 故选：C． 5. 若关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a的取值范围即可． 【详解】∵不等式组无解， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集，熟知一元一次不等式组的解集的确定方法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”是解题的关键． 6. 如图，以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是，如果，那么的长是（　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，对应点所连线段的长即为平移的距离，进行求解即可． 【详解】解：∵以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 7. 如图，已知直线过点，过点的直线交轴于点，则关于的不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于x的不等式组的解集与一次函数图象之间的关系，即可得到答案． 【详解】过点A作ACy轴，交x轴于点C， ∵， ∴C（-2，0）， 根据图象可知：直线AC与y轴之间的函数图像上的点所对应的x的取值范围（包含-2，不包含0）就是关于x的不等式组的解集， ∴不等式组的解集是： ． 故选D. 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解集与一次函数图象之间的联系，把不等式组化为一次函数图象的位置关系，是解题的关键． 8. 如图，在中，，、分别为、的中点，平分，交于点，若，，则的长为（　　） A. 2 B. 1 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据勾股定理得到，根据三角形中位线定理得到，，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，得到，于是得到结论． 【详解】解：在中，，，， ， 、分别为、的中点， 是的中位线， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故选：A． 9. 某商店为了促销一种定价为4元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价八折付款．如果小颖有44元钱，那么她最多可以购买该商品（ ） A. 10件 B. 11件 C. 12件 D. 13件 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，列出不等式求解即可．购买商品的钱不能超过44元． 【详解】解：∵， ∴她购买的商品超过了5件， 设她购买了x件商品， ， 解得：， ∴她最多可以购买该商品12件． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出不等式求解． 10. 如图，中，对角线、相交于点O，平分，分别交、于点E、P，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质即可得，又因为平分，则可得，即为等边三角形，再结合三角形外角性质和等腰三角形性质即可判断①；根据平行四边形性质，结合勾股定理即可判断③；，，则为三角形的中位线，利用中位线的性质和平行四边形性质即可判断②；与为同底等高的三角形，根据面积关系即可判断④． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 又平分， ， 为等边三角形， ， 又， ，， ， ， ， ， 故①正确； ， ， ，， ， 故③正确； ，， 为三角形的中位线， ，， ， 又， ，故②正确； 与为同底等高的三角形， ， ，故④正确， 综上，正确的有①②③④． 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形外角性质，平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，根据已知条件，巧妙运用相关知识判断． 二、填空题（共6小题，计18分） 11. 因式分解： _______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：． 12. 陕西某民间灯会活动中，主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，如图，与为该正多边形的一组相邻边，小丽量得，则这个正多边形的边数为_____． 【答案】##十二 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，正多边形的内角和等知识．熟练掌握等边对等角，三角形内角和定理，正多边形的内角和是解题的关键． 由题意知，，则，可求，设这个正多边形的边数为，依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴， 设这个正多边形的边数为， 依题意得，， 解得，， 故答案为：． 13. 若关于x的分式方程无解，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解求参数，去分母得，由原方程无解得，即可求解；理解分式方程无解（增根）满足的条件：“①增根是化简后对应整式方程的根，②使最简公分母的值为零．”是解题的关键． 【详解】解：方程两边同乘以，得 ， ， 原方程无解， ， ∴ 解得：， 故答案：． 14. 如图将沿对角线折叠，使点落在处，若，，则________°． 【答案】110 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理及外角性质等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，根据折叠的性质可得，进一步可得，根据已知条件可得的度数，进一步求出的度数即可求解． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴ 在中，， ∴ 故答案为：110． 15. 如图，中，，对角线绕着对称中心O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交于点E、F，若，则图中阴影部分的面积是 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和旋转的性质，熟练掌握平行四边形的性质和旋转的性质是解题的关键． 连接，先求出的面积，根据平行四边形的性质求出的面积，根据求出的面积，同理得到的面积，得到答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， ∵点O是的中点， ∴点O在上，且点O是的中点， ∴的面积＝的面积， ∵， ∴的面积＝的面积， 再由旋转性质同理可得，的面积， ∴图中阴影部分的面积 故答案为：． 16. 如图，在中，，，．如果在三角形内部有一条动线段，且，则的最小值为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】在上取一点，使得连接．首先证明，将绕点C顺时针旋转得到，连接，过点T作交的延长线于H．证明，求出可得结论． 【详解】解：在上取一点，使得，连接． ， ∴四边形是平行四边形， ， 将绕点C顺时针旋转得到，连接，过点T作交的延长线于H，则，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，旋转变换，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（共8小题，计72分，解答题应写出必要的解答过程） 17. （1）解分式方程：； （2）用配方法解一元二次方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查解分式方程及一元二次方程，熟练掌握解方程及一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据解分式方程的步骤对所给分式方程进行求解即可； （2）根据配方法一元二次方程的步骤对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：（1）， 原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 当时，， 所以是原方程的解； （2）， 移项，得， 方程两边都除以4，得， 方程两边都加上，得， 即， 开方，得， 解得：，． 18. 如图，在中，，请用尺规作图的方法在上找一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 点D即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了复杂作图，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边．作的平分线即可． 【详解】解：如图：点D即为所求． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∴． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式， ， ， 当时，原式． 20. 如图，在中，点E是的中点，的延长线与的延长线相交于点F．连结、．请判断四边形的形状，并说明你的理由． 【答案】 四边形为平行四边形， 理由：如图所示：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定， 连接，，首先由平行四边形的性质得到，然后证明出，得到，进而证明即可． 【详解】略 21. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，那么该商场节前最多购进多少千克A粽子？ 【答案】（1）该商场节后每千克A粽子的进价是10元 （2）该商场节前最多购进300千克A粽子 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程和不等式． （1）设该商场节后每千克A粽子的进价为元，则节前每千克A粽子的进价为元，根据节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同，列出方程，解方程即可； （2）设该商场节前购进千克A粽子，则节后购进千克A粽子，根据总费用不超过4600元，列出不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设该商场节后每千克A粽子的进价为元，则节前每千克A粽子的进价为元，根据题意，得： ， 解得． 检验：当时，是原分式方程的根，且符合题意． 答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元． 【小问2详解】 解：设该商场节前购进千克A粽子，则节后购进千克A粽子，根据题意得： ， 解得：． 答：该商场节前最多购进300千克A粽子． 22. 如图，在四边形中，分别是的中点．已知，求四边形的周长． 【答案】14 【解析】 【分析】此题重点考查三角形中位线定理、中点四边形等知识． 由分别是的中点，，根据三角形中位线定理得，，即可求得四边形的周长为14． 【详解】解：∵分别是的中点，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长为14． 23. 如图，在中，两点分别在边 上，连接， 且． （1）判断线段和的关系，并说明理由； （2）若平分，，且，，求的长． 【答案】（1），， 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形为平行四边形， ∴，； （2） 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定可得，，再根据平行四边形的性质，可得，证明四边形为平行四边形，进而可得线段和的关系； （2）根据题意可得，根据垂直可得平行四边形是矩形，设，在和中，运用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∵，且四边形为平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，， 在中，，则， ∴， ∴， 解得，， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等角对等边，勾股定理的运用，掌握矩形的判定和性质是解题的关键． 24. 问题提出 （1）如图1，在中，，，P为此三角形内的一点，且，，，将绕点C沿顺时针方向旋转至，则的度数为______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，，，探究线段、、之间的数量关系并写出解答过程． 问题解决 （3）如图3是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知四边形中，，，，平分交于点P，于点E，于点F，按设计要求，四边形内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，若的长为，则阴影部分的面积为______________． 【答案】（1）135°； （2）AD+BD＝CD．理由： 延长DA至点E，使EA＝BD，连接EC，如图2， ∵∠ACB＝∠ADB＝90°， ∴∠ACB+∠ADB＝180°． ∴A、D、B、C四点在同一个圆上． ∴∠EAC＝∠BDC． ∵AC＝BC， ∴∠ADC＝∠BDC＝45°． 在△EAC和△DBC中， ， ∴△EAC≌△DBC（SAS）． ∴EC＝CD，∠CEA＝∠CDB＝45°． ∴∠ECD＝180°﹣∠CEA﹣∠CDA＝180°﹣45°﹣45°＝90°． ∴△CED为等腰直角三角形． ∴DE＝CD． ∵DE＝AD+AE＝AD+BD， ∴AD+BD＝CD． （3）1825 【解析】 【分析】（1）由旋转不变性，可得△AQC≌△APB，∠PAQ＝90°，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理的逆定理可求； （2）利用（1）的解题思路，构造△EAC≌△DBC，利用等腰直角三角形的性质可得结论； （3）利用以上的结论，将△APE逆时针旋转90°至△PMF处，这样，阴影部分的面积就是S△ABC+S△PMB，结论可求． 【详解】解：（1）如图，连接PQ， ∵将△CPB绕点C沿顺时针方向旋转90°至△CQA， ∴△AQC≌△APB，∠PAQ＝90°． ∴CQ＝PB＝1，AQ＝AP＝2． ∴PQ＝． ∵AQ＝AP，∠PAQ＝90°， ∴∠AQP＝∠APQ＝45°． ∵CQ2+PQ2＝1+8＝9，PC2＝32＝9， ∴CQ2+PQ2＝PC2． ∴∠PQC＝90°． ∴∠AQC＝∠AQP+∠PQC＝45°+90°＝135°． ∵△AQC≌△APB， ∴∠APB＝∠AQC＝135°． 故答案为：135°． （2略 ） （3）∵DC平分∠ADB，PE⊥AD，PF⊥BD， ∴PE＝PF． ∵PE⊥AD，PF⊥BD，∠ADB＝90°， ∴四边形PEDF为正方形． ∴∠EPF＝90°． 在FD上截取FM＝AE，连接PM，如图3， ∵， ∴△APE≌△MPF（SAS）． ∴PM＝PA＝30 m，∠APE＝∠MPF． ∵∠EPF＝90°， ∴∠EPM+∠MPF＝90°． ∴∠EPM+∠APE＝90°． ∴∠MPB＝90°． 即MP⊥PB． ∵△APE≌△MPF， ∴S△APE＝S△PMF． ∴S△APE+S△PBF＝S△PMF+S△PBF＝S△PMB． ∵AB＝70m，AP＝30m， ∴PB＝40m． ∴S△PMB＝×PM×PB＝×30×40＝600（m2）． ∵AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝70m， ∴AC＝BC＝35m． ∴S△ABC＝AC2＝×1225×2＝1225（m2）． ∴S阴影＝S△ABC+S△APE+S△PBF＝S△ABC+S△PMB＝1225+600＝1825（m2）． 故答案为：1825． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，三角形的全等判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的知识点，是一道综合性很强的题目，利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年陕西省西安市经开一中九年级（上）第二次月考数学试卷 一、选择题（共10小题，计30分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列数学曲线中（不含x，y轴），既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果，，那么下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 能判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 若关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是，如果，那么的长是（　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 7. 如图，已知直线过点，过点的直线交轴于点，则关于的不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，、分别为、的中点，平分，交于点，若，，则的长为（　　） A. 2 B. 1 C. 4 D. 9. 某商店为了促销一种定价为4元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价八折付款．如果小颖有44元钱，那么她最多可以购买该商品（ ） A. 10件 B. 11件 C. 12件 D. 13件 10. 如图，中，对角线、相交于点O，平分，分别交、于点E、P，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（共6小题，计18分） 11. 因式分解： _______． 12. 陕西某民间灯会活动中，主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，如图，与为该正多边形的一组相邻边，小丽量得，则这个正多边形的边数为_____． 13. 若关于x的分式方程无解，则______． 14. 如图将沿对角线折叠，使点落在处，若，，则________°． 15. 如图，中，，对角线绕着对称中心O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交于点E、F，若，则图中阴影部分的面积是 ____________________． 16. 如图，在中，，，．如果在三角形内部有一条动线段，且，则的最小值为_________________． 三、解答题（共8小题，计72分，解答题应写出必要的解答过程） 17. （1）解分式方程：； （2）用配方法解一元二次方程：． 18. 如图，在中，，请用尺规作图的方法在上找一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在中，点E是的中点，的延长线与的延长线相交于点F．连结、．请判断四边形的形状，并说明你的理由． 21. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，那么该商场节前最多购进多少千克A粽子？ 22. 如图，在四边形中，分别是的中点．已知，求四边形的周长． 23. 如图，在中，两点分别在边 上，连接， 且． （1）判断线段和的关系，并说明理由； （2）若平分，，且，，求的长． 24. 问题提出 （1）如图1，在中，，，P为此三角形内的一点，且，，，将绕点C沿顺时针方向旋转至，则的度数为______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，，，探究线段、、之间的数量关系并写出解答过程． 问题解决 （3）如图3是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知四边形中，，，，平分交于点P，于点E，于点F，按设计要求，四边形内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，若的长为，则阴影部分的面积为______________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $