第三章《代数式》同步单元基础与培优高分必刷卷-2024-2025学年七年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版2024）

第三章《代数式》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．用代数式表示“x与y的2倍的和”，正确的是(    ) A．2x+y B．x+2y C．2(x+y) D．2xy 2．若，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．当时，代数式的值为10，则时，这个代数式的值为（    ） A． B． C．8 D．4 4．正方体的每条棱上放置相同数量的小球，且正方体8个顶点处均有一个小球，如图所示的是每条棱上放置4个小球的情况，若每条棱上的小球数为m，则下列表示正方体上小球总数的代数式正确的是（　 　） A． B． C． D． 5．已知，则多项式的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知，则整式的值是（    ） A．5 B． C． D． 7．已知则的值是（   ） A．2 B． C． D． 8．若，互为相反数，的倒数是4，则的值为（    ） A． B． C．1 D．16 9．如果代数式的值为1，那么代数式的值等于（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 10．如图所示，将形状、大小完全相同的“”和线段按摇一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“•“的个数为a1，第2幅图形中“•”的个数为，第3幅图形中“•”的个数为......以此类排，的值为（   ） A． B． C． D． 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．一个三位数，个位上的数字8，十位数的数字b，百位上的数字是a，表示这个三位数的式子是 ． 12．已知的绝对值为3，与互为相反数，与互为倒数，则的值为 ． 13．已知，则 ． 14．如图，摆一个正方形要用4根小棒，摆两个正方形要用7根小棒，按此规律，摆8个正方形要用 根小棒，摆 个正方形用了37根小棒． 15．某城市青菜价格在六、七两个月中起伏较大．每日的平均菜价与前一日不是上涨，就是下降，且7月31日的平均菜价不低于6月1日的平均菜价，那么在这两个月中最少有 天的平均菜价高于前一日的平均菜价． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．用代数式表示： (1)a，b两数平方的差； (2)a，b两数的和与a，b两数的差的积； (3)x的相反数与y的平方的和； (4)比x的平方的2倍小a的数； (5)被5除所得的商为m、余数为2的整数． 17．如图是一个正方体纸盒的展开图，已知这个正方体纸盒相对面上的代数式的值相等． (1)求a，b，c的值； (2)求代数式的值． 18．某中学计划安排两位老师带领部分学生参加红色旅游．甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人1000元，经过协商，甲旅行社的优惠条件是：老师、学生都按8折收费；乙旅行社的优惠条件是：老师全额收费，学生按7.5折收费．设参加这次红色旅游的老师、学生共x人，（元），（元）分别表示选择甲、乙两家旅行社所需的费用． (1)直接写出，的表达式（用含有x的代数式表示）； (2)若老师、学生共有12人，选择哪家旅行社更省钱？ 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19． (1)第5个式子是_______；第个式子是_______． (2)从计算结果中找规律，利用规律计算：_______； (3)计算：（由此拓展写出具体过程）： ①； ②． 20．理解与思考：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想，它在整式的化简与求值中应用极为广泛．例如：已知，求代数式的值． 我们可以将作为一个整体代入： ． 请仿照上面的解题方法，完成下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 21．某单位在5月份期间组织部分员工到某地旅游，现在联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为3000元/人，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠措施：甲旅行社对每位员工七折优惠；而乙旅行社是免去一位带队员工的费用，其余员工八折优惠， (1)若设参加旅游的员工共有x（）人，则甲旅行社的费用为________元，乙旅行社的费用为________元；（用含x的代数式表示并化简） (2)如果计划在5月份外出旅游七天，设最中间一天的日期为m，则这七天的日期之和为________．（用含m的代数式表示，并化简） (3)假如这个单位组织包括带队员工在内的共40名员工到某地旅游，该单位选择哪一家旅行社比较优惠？并说明理由. 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．如图，下列图形是由边长为1个单位长度的小正方形按照一定规律摆放的“”形图形，观察图形：    (1)按此规律，图4中小正方形的数量是______个； (2)我们把图1中小正方形个数记作，图2中小正方形图个数记作，图中小正方形个数记作，若，求的值． 23．将正方形（如图1）作如下划分： 第次划分：分别连接正方形对边的中点（如图2），得线段和，它们交于点，此时图中共有个正方形； 第次划分：将图左上角正方形再作划分，得图，则图中共有个正方形； (1)若每次都把左上角的正方形一次划分下去，则第次划分后，图中共有______ 个正方形； (2)继续划分下去，第几次划分后能有个正方形？写出计算过程； (3)能否将正方形划分成有个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由； (4)如果设原正方形的边长为，通过不断地分割该面积为的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果吧． 计算．（直接写出答案即可） 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章《代数式》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．用代数式表示“x与y的2倍的和”，正确的是(    ) A．2x+y B．x+2y C．2(x+y) D．2xy 【答案】B 【分析】所列代数式应为：x+（y的2倍），即可求解． 【详解】解：∵y的2倍为2y， ∴x与y的2倍的和为x+2y. 故选B． 【点睛】考查列代数式；根据关键词得到相应的运算顺序是解决本题的关键． 2．若，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查求代数式的值，将变形为，整体代入计算即可得出答案，采用整体代入的思想是解此题的关键． 【详解】解：，， ， 故选：C． 3．当时，代数式的值为10，则时，这个代数式的值为（    ） A． B． C．8 D．4 【答案】A 【分析】将代入，得到，再将代入，将原代数式变形为，结合计算即可． 【详解】解：∵当时，代数式的值为10， 则， ∴， 当时， ． 故选A． 【点睛】本题考查了代数式的求值，解题的关键是灵活运用整体思想，并细心计算． 4．正方体的每条棱上放置相同数量的小球，且正方体8个顶点处均有一个小球，如图所示的是每条棱上放置4个小球的情况，若每条棱上的小球数为m，则下列表示正方体上小球总数的代数式正确的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式，根据正方体一共有12条棱，每条棱上的小球数为m，且每个顶点处一共计算了3次，且共有8个顶点列式计算即可． 【详解】解：∵正方体一共有12条棱，每条棱上的小球数为m， ∴一共有个小球， 又∵每个顶点处一共计算了3次，且共有8个顶点， ∴多计算了个小球， ∴一共有的小球数量为， 故选：D． 5．已知，则多项式的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】已知等式变形后，代入所求式子，再次变形再次带入计算即可求出值． 【详解】 故答案为C 【点睛】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．已知，则整式的值是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整体代入法，代数式求值，将化为包含的式子，再将代入求解，即可解题． 【详解】解：， 将代入得： 故选：C． 7．已知则的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由得．将变为，然后将整体代入即可得解． 本题考查了已知代数式的值，求式子的值，熟练掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 8．若，互为相反数，的倒数是4，则的值为（    ） A． B． C．1 D．16 【答案】A 【分析】先根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）、倒数的定义（乘积为1的两个数互为倒数）可得，，再代入计算即可得． 【详解】解：，互为相反数，的倒数是4， ，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数、倒数、代数式求值，熟记相反数和倒数的定义是解题关键． 9．如果代数式的值为1，那么代数式的值等于（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键．先根据题意得到，再由进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 将代入得：原式， 故选：B． 10．如图所示，将形状、大小完全相同的“”和线段按摇一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“•“的个数为a1，第2幅图形中“•”的个数为，第3幅图形中“•”的个数为......以此类排，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求出即可． 【详解】由已知，，，， 以此类推可知：， 则有， ∴ = =+ =+ =+， 当n=23时， 有， 故选：D． 【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题． 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．一个三位数，个位上的数字8，十位数的数字b，百位上的数字是a，表示这个三位数的式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，百位上的数字乘100，10位上的数字乘10，个位上数字乘1，然后把得到的数加起来，即为所表示的是三位数． 【详解】解：∵个位，十位，百位上的数字分别是8，b，a， ∴这个三位数为：． 故答案为：． 12．已知的绝对值为3，与互为相反数，与互为倒数，则的值为 ． 【答案】0或6/6或0 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、相反数、倒数的性质和应用等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 根据题意，可得：，然后分、两种情况分别求解即可． 【详解】解：∵的绝对值为3，与互为相反数，与互为倒数， ∴， 当时，； 当时，． 故答案为：0或6． 13．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查整体代入的思想，熟练利用运算法则对式子整理时解题的关键； 整理式子，再整体代入即可求解； 【详解】解：根据题意得： ， 则 故答案为： 14．如图，摆一个正方形要用4根小棒，摆两个正方形要用7根小棒，按此规律，摆8个正方形要用 根小棒，摆 个正方形用了37根小棒． 【答案】 25 12 【分析】本题主要考查了图形类的规律，观察图形、探索图形的排列规律，并从中获取第n项需要小棒的根数的表达式成为解题的关键． 第1个图需要4根小棒，第2个图需要7根小根，第3个图需要10根小棒，，所以第n个图需要根小棒,然后运用此规律求解即可． 【详解】解：根据题意可得：第n个图需要根小棒， 当时，， 当第n个图需要37根时，可得：，解得：． 故答案为：25，12． 15．某城市青菜价格在六、七两个月中起伏较大．每日的平均菜价与前一日不是上涨，就是下降，且7月31日的平均菜价不低于6月1日的平均菜价，那么在这两个月中最少有 天的平均菜价高于前一日的平均菜价． 【答案】32 【分析】此题考查列代数式问题，6月1日至7月31日共61天，如果上涨日与下降日各30天，设7月31日的菜价是6月1菜价的，分几种情况进行解答即可．本题的关键是分几种情况解答． 【详解】解：6月1日至7月31日共61天，如果上涨日与下降日各30天，设7月31日的菜价是6月1菜价的， 可得：， 如果上涨日比下降日多2天，则为：， 如果上涨日比下降日多4天，则为： ， ， 答：至少有32天的平均菜价高于前一日的平均菜价． 故答案为：32． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．用代数式表示： (1)a，b两数平方的差； (2)a，b两数的和与a，b两数的差的积； (3)x的相反数与y的平方的和； (4)比x的平方的2倍小a的数； (5)被5除所得的商为m、余数为2的整数． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）根据题意，先表示出a，b两数的平方，再表示差即可； （2）根据题意，先表示出a，b两数的和与a，b两数的差，再表示积； （3）根据题意，先表示出x的相反数与y的平方，再表示和； （4）根据题意，先表示出x的平方的2倍，再表示比其小a的数； （5）根据题意，可以用相应的代数式表示出被5除所得的商为m、余数为2的整数． 【详解】（1）解：a，b两数平方的差；； （2）a，b两数的和与a，b两数的差的积：； （3）x的相反数与y的平方的和：； （4）比x的平方的2倍小a的数：； （5）被5除所得的商为m、余数为2的整数：； 【点睛】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 17．如图是一个正方体纸盒的展开图，已知这个正方体纸盒相对面上的代数式的值相等． (1)求a，b，c的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)a的值，b的值为，c的值为﹣2 (2) 【分析】（1）根据正方体的表面展开图找相对的面的方法：一线隔一个，“Z”字两端是对面，可得，，，从而求出a，b，c的值； （2）先去括号，再合并同类项，然后把a，b，c的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： 与8相对，4与相对，与相对， ∴，，， 解得：，，， ∴a的值，b的值为，c的值为； （2）解： ， 当，，，时， 原式 ． 【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，代数式求值，整式的加减，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对的面的方法是解题的关键． 18．某中学计划安排两位老师带领部分学生参加红色旅游．甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人1000元，经过协商，甲旅行社的优惠条件是：老师、学生都按8折收费；乙旅行社的优惠条件是：老师全额收费，学生按7.5折收费．设参加这次红色旅游的老师、学生共x人，（元），（元）分别表示选择甲、乙两家旅行社所需的费用． (1)直接写出，的表达式（用含有x的代数式表示）； (2)若老师、学生共有12人，选择哪家旅行社更省钱？ 【答案】(1)； (2)选择乙旅行社更省钱 【分析】（1）根据两家旅行社的优惠条件，直接写出，的表达式即可解答； （2）把代入（1）中的结论，进行计算比较即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ， ， ∴；； （2）解：当时， ， ， ∵， ∴选择乙家旅行社更省钱． 【点睛】本题考查了列代数式，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19． (1)第5个式子是_______；第个式子是_______． (2)从计算结果中找规律，利用规律计算：_______； (3)计算：（由此拓展写出具体过程）： ①； ②． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）观察一系列等式得到一般性规律，写出第5个式子与第个式子即可； （2）原式利用得出的规律化简，计算即可得到结果； （3）①原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果； ②原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴第5个式子是：； 第个式子是； 故答案为：；； （2）解： ； （3）解：① ． ② ． 20．理解与思考：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想，它在整式的化简与求值中应用极为广泛．例如：已知，求代数式的值． 我们可以将作为一个整体代入： ． 请仿照上面的解题方法，完成下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代数式求值，灵活应用整体思想是解题关键． （1）把代入式子求值即可； （2）将原式变形为，再把代入求解即可． 【详解】（1）解：， 原式． （2）解：， 原式 ． 21．某单位在5月份期间组织部分员工到某地旅游，现在联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为3000元/人，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠措施：甲旅行社对每位员工七折优惠；而乙旅行社是免去一位带队员工的费用，其余员工八折优惠， (1)若设参加旅游的员工共有x（）人，则甲旅行社的费用为________元，乙旅行社的费用为________元；（用含x的代数式表示并化简） (2)如果计划在5月份外出旅游七天，设最中间一天的日期为m，则这七天的日期之和为________．（用含m的代数式表示，并化简） (3)假如这个单位组织包括带队员工在内的共40名员工到某地旅游，该单位选择哪一家旅行社比较优惠？并说明理由. 【答案】(1)， (2) (3)该单位选择甲旅行社比较优惠，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值； （1）根据两家旅行社不同的优惠方式分别列代数式即可； （2）根据最中间一天的日期为m列代数式即可； （3）分别求出时甲旅行社的费用和乙旅行社的费用，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：甲旅行社的费用为元， 乙旅行社的费用为元， 故答案为：，； （2）这七天的日期之和为：， 故答案为：； （3）该单位选择甲旅行社比较优惠； 理由：当时， 甲旅行社的费用为（元）； 乙旅行社的费用为（元）； 因为， 所以该单位选择甲旅行社比较优惠． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．如图，下列图形是由边长为1个单位长度的小正方形按照一定规律摆放的“”形图形，观察图形：    (1)按此规律，图4中小正方形的数量是______个； (2)我们把图1中小正方形个数记作，图2中小正方形图个数记作，图中小正方形个数记作，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据前三个图形中小正方形数量的变化规律即可解决问题． （2）利用（1）中发现的规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 图1中小正方形的数量为：； 图2中小正方形的数量为：； 图3中小正方形的数量为：； …， 所以图n中小正方形的数量为：（个）． 当时， （个）． 即图4中小正方形的数量是个． 故答案为：． （2）解：由题知， ，，，…，， 又因为， 所以， 又因为； ； ； …， 所以， 则， 解得：（负值舍去）． 所以n的值为． 【点睛】本题考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现图n中小正方形的数量为个是解题的关键． 23．将正方形（如图1）作如下划分： 第次划分：分别连接正方形对边的中点（如图2），得线段和，它们交于点，此时图中共有个正方形； 第次划分：将图左上角正方形再作划分，得图，则图中共有个正方形； (1)若每次都把左上角的正方形一次划分下去，则第次划分后，图中共有______ 个正方形； (2)继续划分下去，第几次划分后能有个正方形？写出计算过程； (3)能否将正方形划分成有个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由； (4)如果设原正方形的边长为，通过不断地分割该面积为的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果吧． 计算．（直接写出答案即可） 【答案】(1) (2) (3)不能；理由见解析 (4) 【分析】本题考查了用代数式表示数、图形的规律，一元一次方程的应用，掌握从特殊到一般的探究规律的方法是解答本题的关键． （1）探究每次划分所得正方形个数的规律，即可得到答案； （2）利用第（1）题得到的规律列方程求解，即可得到答案； （3）利用第（1）题得到的规律列方程求解，可判断是否符合题意，即可得出答案； （4）由题干的划分方法得到启发，作类似的分割，利用数形结合的思想，计算每次分割后左上角正方形的面积和剩余部分图形的面积，即可从所得规律中得出答案． 【详解】（1）解：第一次划分可得个正方形，第二次划分可得个正方形，第三次划分可得个正方形， 第次划分可得个正方形， 第次划分可得正方形：个； 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 解得：， 第次划分后能有个正方形； （3）解：不能， ， 解得：， 不是整数，不合题意， 不能将正方形划分成有个正方形的图形； （4）解：由题意，我们也将正方形进行如上相同得分割， 那么第一次分割后，左上角正方形的面积为，剩余图形的面积为，第二次分割后，左上角正方形的面积为，剩余图形的面积为，第三次分割后，左上角正方形的面积为，剩余图形的面积为， 所以第次分割后，左上角正方形的面积为，剩余图形的面积为， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$