浙江省嘉兴市2024-2025学年高三上学期9月基础测试数学试题

2024年高三基础测试 数学试题卷 (2024.9) 本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。 考生注意： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在 试题卷和答题纸上规定的位置， 2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答， 在本试题卷上的作答一律无效 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合U={1<x<9,xeN},CA=4,5,6,则 A.2∈A B.3A C.6∈A D.7在A 2.在复平面内，复数对应的点和复数z2=1+2i对应的点关于实轴对称，则2= A.-3+41i B.-3-4i C.5 D.5 3.己知向量a=(1,2),b=(2,-),c=(4,-1),若(a+c)∥b,则元+4= A.-2 B.-1 C.0 D.1 4.嘉兴河流众多，许多河边设有如图所示的护栏，护栏与 护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一条均 匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬 链线(Catenary).已知函数f(x)= a>0)的部 分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是 A.f(x)为奇函数 B.f(x)的最大值是a C.f(x)在(-o,+o)上单调递增 D.方程f(x)=2a有2个实数解 高三基础测试数学试题卷第1页（共6页） 5.已知sin(a+f)=3cos(a-B),tanctanB=- ,则tana+tanB= A号 B.-5 c号 D.12 6.已知四面体P-ABC的每条棱长都为2，若球O与它的每条棱都相切，则球O的体积 为 A. B. C.25 D.2π 6 7.将数字1,2,3,4,5,6,7,8,9随机填入3×3的正方形格子中，则每一横行、 每一竖列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等的概率为 N B. 2 91 D. 48 91 8.《测圆海镜》是金元之际李治所著中国古代数学著作，这是中国古代论述容圆的一部专 著，也是论述天元术的代表作，天元术与现代数学中列方程的方法基本一致，先立“天元 一”为…，相当于“设x为…”，再根据问题的已知条件列出两个相等的多项式，最 后通过合并同类项得到方程a+a,x++a。x+an=0.设 f(x)=ax+a,x-+…+a,x+an(n∈N),若f(2)=5×2m1-3n-8,则f()= A.3n2+4n B. 3n2+11n C.3n2+5n+4 D.3n2+7n+4 2 2 2 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是 A.样本数据20,19,17,16,22,24,26的下四分位数是17 B.在比例分配的分层随机抽样中，若第一层的样本量为10，平均值为9，第二层的 样本量为20，平均值为12，则所抽样本的平均值为11 C.若随机变量X-4》则PX-2小 D.若随机变量X-N{4o2)(o>0),若P(⊙2)=0.8，则P(x>6)=02 高三基础测试数学试题卷第2页（共6页） 0,已知椭圆C:二+1a>b>0)的左右焦点分别是F-c,0),5(c,0),以FB为 直径的圆与C在第一象限交于点P,延长线段PE交C于点Q.若PF=2QE,则 A.OF+PF=OF B.△PO5的面积为4 3 C.椭圆C的离心率为 3 D.直线Q5的斜率为- 11 L.定文在0+四上的数问满足)-f(a} 其值域是M,若对于任何满足 上述条件的f(x)都有{y=f(x)x∈[0，]}=M,则实数a的取值必可以为 A. c D.1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若(x-13=a+ax+a2x2+ax3+ax+ax,则a2= 13.已知直线y=2x-m与圆C:(x-m)2+y2=4交于A,B两点，写出满足“4B=25” 的实数m的一个值： 14.在长方体ABCD-ABCD中，AB=2,AD=AA=1,点M满足AM=A4C(0≤I), 平面MAB与底面ABCD的夹角为a:,平面MBC与底面ABCD的夹角为B,当a+B最小 时，1= 高三基础测试数学试题卷第3页（共6页） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(b+c-a)(b+c+a)=bc, (1)求A: (2)若D为BC边上一点，∠BAD=3∠CAD,AC=4,AD=V3,求sinB. 16.(15分) 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，侧面PCD⊥底面 ABCD,PC=PD=5,点E,G分别是DC,DP的中点，点F在棱AB上且AF=3FB. (1)求证：FGI∥平面BPE; (2)求直线FG与平面PBC所成的角的正弦值. G 高三基础测试数学试题卷第4页（共6页） 17.(15分) 己知函数f(x)=2xr-alnx(aeR),g(x)=-x2-x (1)讨论f(x)的单调性： (2)若存在x∈(1，+o),使得函数f(x)g(x)成立，求证：a>5e: 参考数据：7.3<e2<7.4,20<e3<20.1. 18.(17分) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(t,2)是C上的一点，且MF=2. (1)求抛物线C的方程： (2)设点A(x,y),B(x,y)(其中x<x)是C上异于M的两点，∠AMB的 角平分线与x轴垂直，N为线段AB的中点： (i)求证：点N在定直线上： (ⅱ)若△M4B的面积为6，求点A的坐标 高三基础测试数学试题卷第5页（共6页） 19.(17分) 当，n乃2，…，neN,且h<h2<<时，我们把an，a，，am叫做数列{an} 的k阶子数列，若a,a，,an成等差（等比）数列，则称a，a，…,a为数列{an} 的k阶等差（等比）子数列.已知项数为n(m>4,且n∈N)的等差数列{b,}的首项=V2, 公差d=2. (1)写出数列b,b2,…,b的所有3阶等差子数列： (2)数列{b}中是否存在3阶等比子数列？若存在，请至少写出一个：若不存在，请说明 理由： (3)记数列{b}的3阶和4阶等差子数列个数分别为A,B,求证：A≤2B. 高三基础测试数学试题卷第6页（共6页）2024年高三基础测试 数学参考答案 (2024.9) 一、单选题(40分) 1~8 ACBD CBAD: 第8题：令Tn=f(2)=a,2”+a2"-+…+&2+an=5×21-3n-8, 当21时，2Tn1=a2”+a,2"-+…+8-2=5×21-6n-10, 两式相减可得T,-2T1=a,=3n+2(①，当n=0时，T=a,=2,满足①式， 所以f0=a+a+4,++a,=2+5++3+2=(6n+4n+)_3m2+7n+4 故选D. 2 2 (注：资料来源于人教版初中七年级上册“方程”史话) 二、多选题(18分) 9.ABD: 10.答案ACD: 11.AB: 第11题：因为{y=f)xe[0,1]}=M，设当x∈(L,+o)时，f(x)∈N,则NsM, 当a-,o)=(》-”:当e)时， 4x+ 当a时，=◆当e时。 (=,3∈0.)s0满足条件： 2x+ 则始终有 6, 2 即= 无 2 法转到定义域[0，]求解，故不满足： 当a=时，=(》令品则锋有小回-，即6=反无法转 到定义域[0，求解，故不满足. (注：本题改编自2022上海高考题) 高三基础测试数学参考答案第1页（共10页） 三、填空题(15分) 12.-10: 13.-5或5： 14.2-0 第14题：作MN⊥AC,垂足N,则MN⊥底面ABC,再作NE⊥AB,NF⊥BC,则垂足 分别为E,F,则a=∠ME邓=∠M1,又正方体中AA2,ADA4,设 NE60≤c.则NF=20-9,所以ama=anB=,1 21-x) 1,1 所以tan(a+)=ana+tanE-x2l-)。2-x 2-x 1-tanatan B 1-1.1 2x1-)-1-2x2+2x-1’ x21-x) 设1=-2-xe,2],则aa+m=-2r+6-524- 1 3+V10 +66-210 2 当且仅当1=0，即x=2-时，ama+)取到最小值，又<a+B<元 2 所以当x=2-0时，Q+B取到最小，此时无=AM=x=2-@ 2 AC 四、解答题：本题共6小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(b+c-a)(b+c+a)=bc· (1)求A: (2)若D为BC边上一点，∠BAD=3∠CAD,AC=4,AD=√3，求simB. 15.【解析】(1)(b+c-ab+c+a)=(b+c2-a2=b2+2bc+c2-a2=bc,则 B+2-d2=-c,所以cosA-2+c2-心.-，因为0<A<,所以A=2年 2be (2)法①：如图在△ACD中，由余弦定理 CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos∠DAC =3+16-2N5×4×5=7,即CD=5, C 2 高三基础测试数学参考答案第2页（共10页） 在△ACD中由正弦定理，CD sDAc=sn无·即-3】 1 sinC 所以sinc= 2W万 ,因为 2 0<C<,cosc=-sin2 C=-5 在△MBc中snB=sin(A+C)=sinC+6 eos Asin C=5x5-x5-回 2272^2√77 法②：同解法①CD=√万，在△4CD中由正弦定理 CD AC ,即 sin∠DAC sin∠ADC √万4 T=nADC所以sin☑ADC cos∠ADc2=-2I 77, 又因为0c0B=8号即aa:到引-何，所以如B 7 法③同上CD=√万，在直角△ABD中BD=VC2+3,所以a=Vc2+3+√万， 由(1)间知d2=b+c2+b,所以2+3+万=c2+4c+16,即 c2+2√7Nc2+3+10=c2+4c+16,得7V2+3=2c+3,即c2-4c+4=0,所以c=2, BD=,sin B=4D_2 BD 7 法④如图由(1)知A=,,则∠CAD=严， 6 因为SAABC=SAABD+S△4CD,所以 csm号×反+45即反c=c+5,解得e=2,所以 32 a2=b2+c2+bc=16+4+8=28,即a=2万， s咖m9'即23 在△ABC中，由正弦定理a=b 4 ,解得sinB= 3 sin B √万7 2 16.(15分) 如图，己知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，侧面PCD⊥底面 ABCD,PC=PD=5,点E,G分别是DC,DP的中点，点F在棱AB上且AF=3FB. 高三基础测试数学参考答案第3页（共10页） (1)求证：FG/∥平面BPE: (2)求直线FG与平面PBC所成的角的正弦值. 解：（方法一） (1)取PE的中点H,连接GH,BH, 因为点G是DP的中点，所以GH∥DE,且GH=DE, 2 正方形中，点E是CD的中点，AF=3FB, 所以BF=}AB=DE,且AF II DE, 2 所以GH∥BF,且GH=BF,所以四边形BHGF是平行 四边形，所以GF∥BH,又GF丈平面BPE,BHS平面 BPE,所以FGI∥平面BPE. (2)过点H作HK⊥PC,垂足为K,连接BK,由题意 知BC⊥DC,又侧面PCD⊥底面ABCD,侧面PCD∩底面ABCD=DC,BCS平面ABCD, 所以BC⊥底面PCD,又HK∈平面PCD,所以BC⊥HK, 又BC∩PC=C,BC,PC∈平面PBC,所以HK⊥底面PBC, 所以∠HBK为直线BH与平面PBC所成的角， 记直线FG与平面PBC所成的角为O,由(1)知GF∥BH,所以B=∠HBK, .36 又由题意知，EH=PH=PE=2,所以HK=PH·sin∠HPK=2×=S 55 又BE=√BC2+EC=3√5，所以BH=√BE+EH=V45+4=7, 所以sin0=sim∠HBK=K-6， BH 35 所以直线FG与平面PBC所成的角的正弦值为 5 (方法二) (1)PC=PD=5,点E是DC的中点，所以PE⊥CD,A B 又侧面PCD⊥底面ABCD,侧面PCD∩底面ABCD=CD,PEC平面PCD,所以PE⊥平 面ABCD, 如图以点E为坐标原点，直线EC,EP为y轴和z轴建立空间直角坐标系， 高三基础测试数学参考答案第4页（共10页） 则E0.0,0.A0.4.F60D0-3,0630,C03,0 所以G0,-2,所以G=(632,EP=00,4,B=63.0) n-P=42=0 设平面BPE的一个法向量为m=(x,y,z),则 n.EB=6x+3y=0 取y=2得x=-1,z=0,所以n=(⊥，2,0)，所以G·n=-1×(-6)+2×(-3)=0,即G立， 又FG不在平面BPE内，所以FG∩平面BPE=O,所以FGI∥平面BPE, (2)由(1)知FG=(-6,-3,2),BP=(-6,-3,4),BC=(-6,0,0) n.BC=-6x=0 设i=(x,y,2)是平面PBC的一个法向量，则 n·BP=-6x-3y+4z=0 取z=3得x=0,y=4,所以n=(0,4,3), 所以cos<n,G>= n·rG -12+6 、.6 nFG136+9+4×535' 设直线FG与平面PBC所成的角为0，则sin0cos<h,FGH,名 35F351 所以直线FG与平面PBC所成的角的正弦值为 35 17.(15分) 已知函数f(x)=2x-alnx(a∈R),g(x)=-x2-x. (1)讨论∫(x)的单调性： (2)若存在xe(1,+∞)，使得函数f(x)≤g(x)成立，求证：a>5c. 参考数据：7.3<e2<7.4,20<e3<20.1. 解：(1)函数f)=2x-alnx的定义域为(0，+o),则f'()=2-a 当a≤0时，f'(x)=2-“>0,所以fx)单调递增，即f()的单调递增区间是(0，+o), 高三基础测试数学参考答案第5页（共10页） 当a>0时，令f)=2-=0得x=号，分析得fx)的单调递减区间是(0，？，f)的单 调递增区间是（兮，+o, 综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递增区间是(0，+∞)，无单调递减区间： 当a>0时，f()的单调递减区间是0，？f)的单调递增区间是兮+四)· (2)方法一：由f(x)≤gx)得2x-an≤-x-x,所以alnx≥x+3x, 因为rL,+切，所以a≥+3，由题意知a≥+3 Inx Inx -)min 记函数r=+3x(e>》,则r)=2x+3n-+》 Inx In2x 记p=2x+3nx-x+3),则当x>1时，p)=2nx+2x+3-1=2nx+3+1>0 所以函数p(x)=(2x+3)lnx-(x+3)在(L,+o)上单调递增， 又pe)=(2e+3)-(e+3)=e>0, 因为27=128，e3=e2c3>7×20=140,所以p(2)=7n2-5<0 所以存在。∈2e,使得p)=0,即2+3h-化+3)=0，则n=+3 2x+3 所以当xe(0,x)时，r'(x)<0,r(x)单调递减：当x∈(，+∞)时，r'(x)>0,r(x)单调递 增： 所以r=r)=5+3=G+3X2+)=无2+3)>14>50， Inxo 七+3 所以a≥x9>5e,证毕. 方法二：存在x∈(1，+o),使得函数f(x)≤g(x)成立 一存在x∈(1，+o),使得函数anx-x2-3x≥0成立， i记h=anx-r-3≥D,则h)=9-2x-3=a-2r-3x≥. 当a≤5时，h'(x)≤0，所以h(x)单调递减，则h(x)≤I)--4<0,不合题意： 当a>5时，存在6，+w),h)=a-2-3死=0，即a=2+3 Xo 高三基础测试数学参考答案第6页（共10页） 所以h(x)在区间(1，x)上单调递增，在(x,+o)上单调递减， h(x)=h(xo)=alnxo-x-3x=(2x+3x)Inxox-3x(x>1), 所以H(x)=(4x+3)nx+2x,+3-2x,-3=(4x+3)lnx,>0,则y=h(x)单调递增， 2=14n2-10=2hn2<0,Me=e>0,所以2<<c 所以a=2x+3x>14>5e. 18.(17分) 已知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,点M(L,2)是C上的一点，且MF=2. (1)求抛物线的方程： (2)设点A(x,y),B(x,y)(其中x<x)是C上异于M的两点，∠AMB的角平 分线与x轴垂直，N为线段AB的中点. (i)求证：点N在定直线上： (ii)若△MAB的面积为6，求点A的坐标. 【解析】：(1)因为MF=2,由抛物线的定义得1+号=2，又2pm=4,所以1=2 因此2+卫=2，即p-4p+4=0,解得p=2,从而抛物线的方程为少=4x. P 2 (2)(i)由(1)知点M的坐标为M(1,2),因为∠AMB的角平分线与x轴垂直，所以 可知MM,MB的倾斜角互补，即MA,MB的斜率互为相反数，k4=上-2=兰-2-。4 x1星-1%+2 4 同理kM= 4 4,4 +2：则如+长n乃+2妈+2 =0,化简得片+马=4，则 5w=4十5=-2， 2 所以点N在定直线y=-2上. （ⅱ）k=业=上当=4=-1，则直线B:y-片=-(x-x),即 x-x3片片+2 44 高三基础测试数学参考答案第7页（共10页） x+y-乃 -0 4 线段AB的长度：AB=2y-l,点M(L,2)到直线AB的距离dM→ √2 可得△MA.的面积为Sw=方刘xd,w--小k ,因为 另+乃=-4，且-2<片<2，化简得 5wx*42-g-+2明6-+2j门-6， 令1=y+2∈(0,4)，则-640=，即(1-)(+2-卫到 ,解得t=2或t=-1士√13， y=3-3. 由1=男+2eQ)知1=2或1=-1+店，所以径0或”3后所求点4的坐标 x=0,1 2 为A(0,0),或者A (注：本题改编自2022新高考1卷) 19.(17分) 当m,n2,…,∈N”,且h<n2<<:时，我们把a,a’…,am叫做数列{an} 的k阶子数列，若an’a,…,an成等差（等比）数列，则称a4，a’…，a为k阶等 差（等比）子数列.已知项数为n(心4，且n∈N)的等差数列{b.}的首项么=√2，公差d=2. (1)写出数列，b2,…,b的所有3阶等差子数列： (2)数列{b}中是否存在3阶等比子数列？若存在，请至少写出一个：若不存在，请说明 理由： (3)记数列{bn}的3阶和4阶等差子数列个数分别为A,B，求证：A长2B. 高三基础测试数学参考答案第8页（共10页） 19.【解析】(1)所求三阶等差子数列为h,b2,b；b2,b,b:b,b,b:b4,b,b%；6,b,b: b2,b4,b% (2)由题意得等差数列{b}的通项为b,=V2+2(n-1),假设存在三阶等比子数列 b41,b1(0<x<八<≤n-,则=b,1,即(V2+2=(（2+2x)2z）化 简得 25-42-小0，消告-，--0，所 以x=z与0<x<y<≤n-1矛盾，故假设不成立，因此数列{b}不存在三阶等比子数列. (3)先求A的值 当n为奇数时，A=(n-2)+n-4)+…+3+1= a-2a- 2 4 n-2 当n为偶数时，A三n-2)+n-4+…+4+2三，2-"n-2 4 (n-)2 所以A= 4=2%+机 (kEN). n(n-2 2,n=2k1+2, 4 再求B的值 nxn-3 当n=3(keN)时B=a-3(a-6++3=3=an-到 2 6 ，(m-2 当n=3k2+1时，B=(n-3)+(n-6)++4+1= 3=n-1(n-2 2 6 ，a-a-a-2, 当n=3张2+2时B=(n-3)+(n-6列++5升2=2 6 高三基础测试数学参考答案第9页（共10页） n(n-3 6 2,n=3k2 所以B= a-ln-2m=3k+h,(keN）: 6 (n-1(n-2 2,n=3k2+2, 6 n(n-3) 所a=e)味号心号引》国-引+司 4 在(1，+0)上单调递增，所以此时B≥×3_1， 即A≤2B成立： A3×42 同理当n=6k+1时，8=2.”-2>2x55、1 43n-13x69>2,即4K28成立： 当n=6k+2时，8-2.n-≥2×7-7>，即长2B成立： A3n3×8122 当n=6k+3时，员号a- B_2.n(m-3) 要证4长2B成立，只需证明4n2-3n3n2-2n+1 →n2-6n-320,因为n=6k+3(k∈N）,故n2-6n-3>240,即42B成立： 当n=6-2时，号号"5为，即长28成立 A3n3×422 当n=6k-1时， 号子芳国立综上8成立 (注：本题第(2)问为教材习题) 高三基础测试数学参考答案第10页（共10页）